FUNKCJE ELEMENTARNE

Zadanie 1 Rozwiązać równania i nierówności kwadratowe lub sprowadzalne do kwadratowych:

1. a) x

2

= 4x,

b) x

2

= 9,

c) x

2

− 2x = 0

2. a) x

2

− 8x + 7 = 0,

b) −x

2

+ 3x − 12 = 0

3. a) −3x

2

+ 2x + 5 = 0,

b) 12x

2

− 5x = 9x

2

+ 7x

4. (3x − 8)

2

− (4x − 6)

2

+ (5x − 2)(5x + 2) = 96

5. 10(x − 2) + 19 = (5x − 1)(1 + 5x)

6. 6x +

(3+5x)

2

2

=

8−2x

5

−

(x+3)(x+7)

2

7. a*) x

4

+ 2x

2

− 3 = 0,

b*) x − 5

√

x + 4 = 0,

c*) (x

2

− 9)(x

2

− 16) = 15x

2

8. a) x

2

− 1 ­ 0,

b) x

2

< −3x,

c) 9 < x

2

9. a) x

2

− 2x − 3 < 0,

b) x

2

+ 3x − 4 ­ 0,

c) (x + 4)(4x + 3) < −3

10. a) 2x

2

+ 3x − 1 ¬ 0,

b) 3 − 2x − x

2

­ 0

11. (2x − 7)

2

+ (3x − 5)

2

+ (4x − 9)(4x + 9) ¬ 2(64 − 29x)

12.

x(x−5)

3

− 1 >

11x

10

−

x+3

3

13.

5x−x

2

3

−

(x−1)

2

2

¬

3
2

−

(2−x)

2

6

14. (x + 5)

2

+ (x − 2)

2

+ (x − 7)(x + 7) ­ 11x + 30

15. a*) x − 4

√

x + 2 + 5 < 0,

b*) x

4

− 3x

2

− 4 < 0

Zadanie 2 Rozwiązać równania i nierówności wielomianowe:

1. a) x

3

+ 3x

2

− x − 3 = 0,

b) x

3

− 2x

2

− 5x + 6 = 0

2. a) x

3

+ x

2

− 16x − 16 = 0,

b) x

3

− 4x

2

+ 3x = 0

3. a) 3x

3

+ 6x

2

+ 7x + 14 = 0,

b) x

3

− 3x

2

− 6x + 8 = 0

4. a) x

4

+ 5x

3

− x − 5 = 0,

b) x

3

+ 5x

2

+ 4x ­ 0

5. a) x

3

− x

2

− x + 1 ¬ 0,

b) x

3

+ 2x

2

− 13x + 10 > 0

6. a) x

3

+ 6x

2

+ x + 6 ­ 0,

b) x

4

− x

3

­ 0

7. a) x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4 < 0,

b) x

2

> x

2

(x

2

− 3)

8. a) −2x

2

­ x

4

− 3x

3

,

b) −x

4

+ x

3

+ 2x

2

¬ 0

9. a) (x

2

− 7x + 6)(x

2

− 8x + 7) ¬ 0,

b) (4 − 4x + x

2

)(−x

2

+ 3x + 4) ¬ 0

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

1

FUNKCJE ELEMENTARNE

Zadanie 3 Rozwiązać równania i nierówności wymierne:

1. a)

2x−2

1−x

= 3,

b)

x−1
x−2

= 4,

c)

2x+1

x−3

= −1

2. a)

1
x

− 2x = 0,

b) x + 5 =

6

x

+

6+4x

3

,

c)

4−x
x+1

+ 3 =

2

x−1

3. a)

2x−1

x

− 1 =

6

x

2

,

b)

x−7
x+3

=

x−3
x−2

,

c)

5−x

2x−1

=

15−4x

3x+1

4. a)

2x−3

x−1

+ 1 =

6x−x

2

−6

x−1

,

b)

x+1

x

+

2x−1

x−1

= 3,

c)

12

1−9x

2

=

1−3x
1+3x

+

1+3x
3x−1

5. a)

x−5
x+1

­ 0,

b)

1
x

− x ­ 0,

c)

x

2

−2x

x

2

−7x+10

­ 0

6. a)

2x−1

x+2

­ 2,

b)

−x+1

x−3

¬ −2,

c)

6x−3

x−7

­ 3

7. a)

3

x+2

¬

2

x−1

,

b) 5 ¬

2x+1

x

+

4x

2x+1

,

c) −

1
x

+

3

2x+2

¬ −1

8. a) 1 +

x

x+1

<

3

x−2

,

b)

2x−3
x

2

−1

­ 2,

c)

2

x

2

+x

−

1

x

2

­

1

6x

Zadanie 4 Rozwiązać równania i nierówności z wartością bezwzględną:

1. a) |x + 4| = 3,

b) |3 − x| = 5,

c) |4x − 2| = 10,

d) |x

2

− 2x| = −10

2. a) |x + 2| + x = 3x + 4,

b) | − x + 4| = 3x,

c) |2x + 6| − 2x = 2

3. a*) 2|x| − |x − 1| = 2,

b) −x

2

+ 4|x + 1| = 0,

c) x

2

− 4|x| + 3 = 0

4. a) |x + 4| ¬ 1,

b) |4 − 2x| < 5,

c) |2x + 2| > 8

5. a) |x

2

+ 4x| ¬ 0,

b) |x

2

− x − 2| > 0,

c) |x

2

+ 4x − 5| < 0

6. a) |x

2

− 2x| ­ 3,

b) |x

2

+ x − 2| ­ 2,

c*) |x + 2|x − x − 2 ¬ 0

7. a) |1 − x| + 2x > −3,

b*) |x + 1| − |x| > 0,

c*) |x| + |x − 1| > 5

8. a*) |x

2

− 2x| + 3x ¬ 0,

b) x

2

− 3|x| + 2 > 0

9. a*)

√

x

2

> 3x − 2,

b*)

√

x

2

+ 4x + 4 > 2x − 4

10. a)





x−1
x+1





< 1,

b)





−x−5

x+5





> 2,

c*)





x−1

2x

−

1
x





­ 1

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

2

FUNKCJE ELEMENTARNE

Zadanie 5 Rozwiązać równania wykładnicze:

1. a) (8

√

8)

x−3

=



2

√

2

8



x+1

,

b)



2
5



x−4

=



5
2



x

2

−x

,

c) (9

√

3)

x+2

=

1

9

−x+1

2. a) 2

x

2

+5x

=

1

16

,

b) 4

6x

2

+x

= 16

−3x−0,5

,

c) (0, 5)

x+3

=

5

√

8

4x+1

3. a)



1
3



x+1
x−1

= 81

−1

,

b) 4

x

x+3

= 2 ·



2

x

8



1

2x+5

,

c) (

3

√

4)

x−3

= 16

1
5

x+2

4. a)



9

√

3



x

= 3

x+1

,

b)



3
2



x

3

=



2
3



x

2

+x

,

c) (0, 5)

x

2

· 2

2x+2

=

1

16

5. a)



2
3



4
x

·



3
2



2−x

=

4
9

,

b)

1
9

· 3

x+3
x+1

= 9

x+1
x−1

,

c) 3

x+1

− 3

x−2

=

26

9

6. a) 8 · 3

x−2

+ 9

x−1

= 17,

b) 3 · 5

x+1

− 2 · 5

x

= 5

x+2

− 12 · 5,

c) 2

x+2

+ 3 · 2

x

− 5 · 2

x+1

+ 24 = 0

7. a) 3·9

x

+9

x−1

−9

x−2

= 251,

b) 5·(

√

2)

2x+4

−3·4

1
2

x+1

+8

1
3

x+1

= 16,

c) 3

2x

+

4

27

= 2·3

2x+1

−9

x

8. a) 5 · 3

3x

+ 27

x

− 2 · 9

1,5x

= 36,

b*) 6

x+1

+ 6

1−x

− 37 = 0,

c*) 3

2x

− 6 · 3

x

= 27

9. a*) 2

2x

− 6 · 2

x

+ 8 = 0,

b*) 5 · 2

x+1

− 4

x

− 16 = 0,

c*) 5

2x

− 20 · 5

x

− 125 = 0

10. a*) 4

3x

−4

2x

+4

x

−1 = 0,

b*) 3

3x

−12·3

2x

+27 · 3

x

= 0,

c*) 3

x

−2

x+2

= 3

x−1

−2

x−1

−2

x−3

Zadanie 6 Rozwiązać nierówności wykładnicze:

1. a) 2

2x−3

< 4

x+5

,

b) (0, 1)

4x+3

> 10

x+2

,

c) (0, 5)

−x

− 4

x+2

< 0

2. a) 4

x

2

−2x+2

> (0, 25)

3−x−x

2

,

b) (

3

√

2)

x−3

> 16

1
3

x+2

,

c)



3
4



x

2

¬



4
3



x

2

+6x

3. a) 3

x+2

· 9

3x−1

< 27

x+4

,

b) 3

x

2

+4

> 27

x

,

c) 2

x

3

+x

2

­ 16

2x+3

4. a)



1
3



x+1
1−x

­ 243,

b)



1
e



−9x

2

−8x+3

< e

−7x

2

,

c) 2

x

x+3

­ (4 · 2

x

)

1

x−1

5. a*) 4

2|x|

> 2

|x−1|+1

,

b) (0, 2)

1
x

· 5

3

x+1

> 25,

c)

6

q

4

x

· 0, 125

1
x

­

4

3

√

2

(

√

2)

x

6. a*)

q

(0, 25)

5−

x
4

¬ 2

√

x+1−4

,

b*)



5
2



√

9−x−1

> (0, 4)

4+

√

9−x

√

9−x

−5

,

c) 2

2+

x−3

x

−5·



1
2



3−x

x

+2

¬ 11

7. a) 2

x+5

+ 2

x+4

+ 5 · 2

x+2

¬ 34,

b) 8 · 5

x

+ 7 · 5

x−1

> 22 + 5

x+1

,

c)

4
3

·



2
3



x+2

+

4
9

·



2
3



x+1

­

8
9

8. a) 3

x+1

+ 3

x−1

­ 30,

b*) 3 ·



1
3



2x

− 4 ·



1
3



x

+ 1 ¬ 0,

c*) 2

2x+1

− 17 · 2

x

+ 8 > 0

9. a*) 2

2x

− 2

x+1

− 8 ­ 0,

b*) 4

2x+1

− 65 · 4

x−1

+ 1 ­ 0,

c*) 16

x

+ 3 · 2

2x+1

+ 8 ¬ 0

10. a*) 8

3x

− 3 · 8

2x

− 6 · 8

x

+ 8 ­ 0,

b*) 5

3x

− 4 · 5

2x

− 5

x+1

¬ 0,

c*) 7

−x

− 3 · 7

x+1

­ 4

11. a*) 3

12x

−11·3

8x

+19·3

4x

−9 ­ 0,

b*)



1
2



3x

+64 <



1
2



x−2

·(1+2

2−x

),

c*) 5

x

−5

3−x

¬ 20

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

3

FUNKCJE ELEMENTARNE

Zadanie 7 Obliczyć x, jeżeli:

1. a) log

2

(x + 1) = 2,

b) log

2

(2x − 4) = −1,

c) log

1
3

(2x + 5) = −1

2. a) 4

x+2

= 3,

b) 6

2x+4

= 4,

c) 2

3−x

= 9

3. a) log

x

64 = −3,

b) log

x

2 =

1
3

,

c) log

x+2

1
9

= −2

4. a) log

x+3

25 = 2,

b) log

x

x+2

x

= 1,

c) log

x

(4x

2

+ x − 4) = 3

5. a) log

1
2

(x

2

− 4x) − log

1
2

5 = 0,

b) log(x + 3) − log(x − 6) = 1

6. a) ln(2x − 6) + ln(x + 2) = ln 24 − ln 2,

b) log

3

(x

2

− 6) = log

3

(x − 2) + 1

7. a) log

1
4

x

2

−2x

x+2

= − log

1
4

1
3

,

b) log(x − 3) + log(2 − x) = log(x

2

− 4)

8. a) log

2

(x + 2) + log

2

(x + 4) = log

2

x

2

,

b) log

√

2

(x + 1) + log

√

2

x = 2

9. a) log

5

(1 − x) = log

5

6 − log

5

(2 − x),

b) log

3

(x + 1) + log

3

(2 − x) = 2 log

3

x

10. a)

1
2

log(x − 5) + log

√

2x − 3 = log 30 − 1,

b) log(x + 3) − log 0, 4 = 2 log(x − 2)

11. a*) log

2

(4

x

+ 4) = log

2

(2

x+1

+ 3),

b*) log

2

(9

x−1

+ 7) = 2 + log

2

(3

x−1

+ 1)

12. a*) log

2

(25

x+3

− 1) = 2 + log

2

(5

x+3

+ 1),

b*) log

5

(7

2x

− 1) = log

5

(4 · 7

x

+ 4)

13. a) log

2
3

x + 2 log

3

x − 8 = 0,

b) log

2
2

x − 6 log

2

x + 5 = 0

14. a*) ln

3

x + 2 ln x + 3 = 0,

b) 3 − 4 ln x + ln

2

x = 0

15. a) ln x − 2 ln

2

x = 0,

b*) ln

3

x − 2 ln

2

x − ln x + 2 = 0

Zadanie 8 Rozwiązać nierówności logarytmiczne:

1. a) log

2

(x − 1) > 2,

b) log(x + 5) ¬ 1,

c) log

1
2

(2x + 4) < −3

2. a) log

1
2

(3x − 8) > −2,

b) log

1
5

(3x − 4) < −2,

c) log

1
7

(x

2

+ 2x − 1) ¬ −1

3. a) log

3

(x

2

− 5x + 6) < 0,

b) log

1
2

(5 + 4x − x

2

) ­ −3,

c) log

π

25

x−1

­ log

π

1
8

4. a) log

1
2

(5x + 10) < log

1
2

(x

2

+ 6x + 8),

b) log

1
2

2x

2

−4x−6

4x−11

¬ −1,

c) log

7

2x−6
2x−1

­ 0

5. a) log

1
2



x −

1
2



¬ 1 − log

1
2

(x − 1),

b) log

3

(2x − 1) − log

3

(x − 2) < 1

6. a) log 5 + log(x + 10) ¬ 1 − log(2x − 1) + log(21x − 20),

b) 2 + log

3

2−x

9

­ log

3

x

2

7. a) log(x

2

− 9) ­ log(4 − x

2

) + 2,

b) log

6

(3 − x) + 2 log

6

√

4 + x ¬ 1

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

4

FUNKCJE ELEMENTARNE

8. a) log

5

(1 − x) < log

5

6 − log

5

(2 − x),

b) log

2

1
4

x − 2 log

1
4

x − 3 < 0

9. a) −2 log

2

√

2

x + 3 log

√

2

x − 1 > 0,

b*)

8

log

2

x−1

­ 1 + log

2

x

10. a*) log

1

√

5

(6

x+1

− 36

x

) ­ −2,

b*) log

2

(9

x−1

+ 7) ¬ 2 + log

2

(3

x−1

+ 1)

11. a)



2
5



log

1

4

(x

2

−5x+8)

¬ 2, 5,

b*) (0, 3)

log

2

3x−1
3x+2

­ 1

12. a) ln x ¬ −1,

b) ln x ­ 3,

c) | ln x − 3| ¬ 2

13. a) ln

2

x − 2 ln x ­ 0,

b) ln

2

x + ln x ­ 0,

c)* ln

2

x − ln

3

x ¬ 0

14. a) ln

2

x − 4 ln x + 3 ¬ 0,

b) ln

2

x − 5 ln x − 6 ¬ 0,

c*) x ·



ln

2

x − 4



­ 0

Zadanie 9 (*) Rozwiązać równania i nierówności trygonometryczne:

1. a) sin x = −1,

b) cos x = 0,

c) sin x =

√

3

2

,

d) sin 2x = 1

2. a) cos 3x = −1,

b) | sin x| =

√

2

2

,

c) cos x = −

√

3

2

,

d) sin x = −

1
2

3. a) tg x = −1,

b) tg 3x =

√

3,

c) ctg 2x =

√

3

3

,

d) sin

2

x =

3
4

4. a) cos x >

1
2

,

b) cos

2

x < 1,

c) sin x −

1
2

¬ 0,

d) tg

2

x − 1 ­ 0

5. a) cos x − cos

2

x ­ 0,

b) 2 sin

2

x + sin x − 1 > 0,

c) −2 cos

2

x + 3 cos x − 1 ¬ 0

Zadanie 10 Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

1. f (x) = ln(−x) + arcsin

x

x−1

+

3

√

x − 2 + ln(x

2

+ 1)

2. f (x) = x

√

x

2

− 3x + 4

√

2

x

− 16 +

x

ln(9−x)

3. f (x) = 2x

2

q

log

1
2

(x − 2) + log(4x − x

2

) +

q

5 − |x|

4. f (x) =

q

2 ln x − ln

2

x +

4

x−1

+

x+3

ln x

2

−2

5. f (x) =

ln x

ln x−1

+ x

√

81 − 3

x−1

+

q

2+x
8−x

6. f (x) = log

x+5

(x

2

− 4x − 5) + 2

q

x+3

x

2

−3x−4

7. f (x) = ln x

2

+ x ln

x−4

x

2

−5x+6

+

√

1 − ln x

8. f (x) = ln(4 − |2x + 4|) +

q

4 −

2x

x−1

+ e

3

x+2

9. (*) f (x) =

√

4

x

− 4 · 2

x

+ 3 +

x

√

x

2

−1

·

q

log(3 − x)

10. f (x) =

x+4

3−6x

+ ln



x − 3 ·

5−x

4−2x



− 2

q

1 + log

1
2

(x + 4)

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

5

FUNKCJE ELEMENTARNE

11. f (x) =

q

1 − log

1
2

x +

√

2

x

− 32 −

ln(6−x)

x

12. f (x) = log

5−x

(−x

2

+ 7x − 6) −

√

4

x

− 8 +

√

x

3

− x

2

+ x − 1

Zadanie 11 Dana jest funkcja:

1.

f (x) =

x

2

− x − 20

x

2

+ x − 6

.

(a) Wyznaczyc dziedzinę funkcji f.

(b) Obliczyć f (−2).

(c) Rozwiązać równanie f (x) =

7
2

.

(d) Rozwiązać nierówność f (x) < 1.

2.

f (x) =



























x

2

+x−2

x

2

−4x+3

gdy x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, 3),

2

gdy x = 1,

x

2

− 3x

gdy x ­ 3.

(a) Naszkicować wykres funkcji f.

(b) Podać przedziały monotoniczności funkcji f.

(c) Podać zbiór tych punktów x, dla których f (x) ­ −1 lub f (x) ¬ −2.

(d) Podać miejsca zerowe funkcji f .

3.

f (x) =



























3

−x

gdy x ¬ 0,

cos x

gdy x ∈ (0, π),

−1

gdy x ­ π.

(a) Naszkicować wykres funkcji f.

(b) Podać miejsca zerowe oraz przedziały monotoniczności funkcji f.

(c) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale h−1, 4i.

(d) Rozwiązać nierówność 0 < f (x) ¬ 1.

(e) Podać wartości: f (0), f (1), f (6).

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

6

FUNKCJE ELEMENTARNE

4.

f (x) =



























2

x

gdy x ¬ 0,

(1 − x)

2

gdy x ∈ (0, 1),

ln x

gdy x ­ 1.

(a) Naszkicować wykres funkcji f.

(b) Podać przedziały monotoniczności funkcji f.

(c) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale h−1, ei.

(d) Rozwiązać nierówność f (x) ­ 1.

(e) Podać wartości: f (0), f (−1), f (e

3

).

5.

f (x) =





























1
2



x

+ 8

gdy x ∈ (−∞, 0),

(x − 3)

2

gdy x ∈ h0, 2i,

ln(x − 2)

gdy x > 2.

(a) Naszkicować wykres funkcji f.

(b) Podać przedziały monotoniczności funkcji f.

(c) Sprawdzić, czy funkcja jest różnowartościowa. Odpowiedź uzasadnić.

(d) Podać miejsca zerowe funkcji f .

(e) Podać zbiór wartości funkcji f.

(znakiem * oznaczone są zadania nieobowiązkowe)

Literatura uzupełniająca:

• M.Terepeta, K.Dems, I.Jóźwik, D.Szymczak Analiza matematyczna i algebra. Kolokwia

i egzaminy cz.1 - rozdział 1

• A.Just, W.Walas, A.Kondratiuk-Janyska, J.Pełczewski, M.Małolepszy, A.Niedziałkowska

Matematyka dla studentów Politechnik. Teoria, przykłady, zadania z wykorzystaniem pa-

kietów matematycznych.

• Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień fizyki pod red. A.Justa

• K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow Matematyka 0 (rok wyd. 2002 lub później)

• K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow Matematyka 1 (rok wyd. 2002 lub później) -

rozdział: Podstawowe wiadomości o funkcjach

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

7

ODPOWIEDZI

Zadanie 1

1. a) x = 0 lub x = 4, b) x = 3 lub x = −3, c) x = 0 lub x = 2.

2. a) x = 1 lub x = 7, b) brak roz-

wiązań.

3. a) x =

5
3

lub x = −1, b) x = 0 lub x = 4.

4. x = 2 lub x = −2.

5. x = 0 lub x =

2
5

.

6. x = −1 lub x = −

67
65

.

7. a) x = 1 lub x = −1, b) x = 1 lub x = 16, c) x = 2 lub x = −2 lub x =

6 lub x = −6.

8. a) x ∈ (−∞, −1i∪h1, ∞), b) x ∈ (−3, 0), c) x ∈ (−∞, −3)∪(3, ∞).

9. a) x ∈

(−1, 3), b) x ∈ (−∞, −4i∪h1, ∞), c) x ∈ (−

15

4

.−1).

10. a) x ∈ h

−3−

√

17

4

,

−3+

√

17

4

i, b) x ∈ h−3, 1i.

11. x ∈ h−

q

135

29

,

q

135

29

i.

12. x ∈ (−∞, 0) ∪ (

73
10

, ∞).

13. x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, ∞).

14. x ∈

(−∞, −

10

3

i ∪ h5, ∞).

15. a) x ∈ (−1, 7), b) x ∈ (−2, 2).

Zadanie 2

1. a) x = −3 lub x = −1 lub x = 1, b) x = −2 lub x = 1 lub x = 3.

2. a) x = −4 lub x = −1

lub x = 4, b) x = 0 lub x = 1 lub x = 3.

3. a) x = −2, b) x = −2 lub x = 1 lub x = 4.

4. a) x = −5 lub x = 1, b) x ∈ h−4, −1i ∪ h0, ∞).

5. a) x ∈ (−∞, −1i ∪ {1},

b) x ∈ (−5, 1) ∪ (2, ∞).

6. a) x ∈ h−6, ∞), b) x ∈ (−∞, 0i ∪ h1, ∞).

7. a) x ∈ (−∞, −2) ∪

(−1, 2), b) x ∈ (−2, 0) ∪ (0, 2).

8. a) x ∈ h1, 2i ∪ {0}, b) x ∈ (−∞, −1i ∪ h2, ∞) ∪ {0}.

9. a) x ∈ h6, 7i ∪ {1}, b) x ∈ (−∞, −1i ∪ {2} ∪ h4, ∞).

Zadanie 3

1. a) brak rozwiązań, b) x =

7
3

, c) x =

2
3

.

2. a) x = −

√

2

2

lub x =

√

2

2

, b) x = 6 lub x = 3, c)

x = −3 lub x =

3
2

.

3. a) x = −2 lub x = 3, b) x =

23

9

, c) x = 2.

4. a) x = 2, b) x =

1
2

,

c) x = −1.

5. a) x ∈ (−∞, −1) ∪ h5, ∞), b) x ∈ (−∞, −1i ∪ (0, 1i, c) x ∈ (−∞, 0i ∪ (5, ∞).

6. a) x ∈ (−∞, −2), b) x ∈ (3, 5i, c) x ∈ (−∞, −6i ∪ (7, ∞).

7. a) x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, 7i,

b) x ∈ h−1, −

1
2

) ∪ (0,

1
2

i, c) x ∈ h−2, −1) ∪ (0,

1
2

i.

8. a) x ∈ (−1,

3−

√

19

2

i ∪ (2,

3+

√

19

2

i, b)

x ∈ (−1, 1), c) x ∈ (−∞, −1) ∪ h2, 3i.

Zadanie 4

1. a) x = −1 lub x = −7, b) x = −2 lub x = 8, c) x = −2 lub x = 3, d) brak rozwiązań.

2. a) x = −2, b) x = 1, c) brak rozwiązań.

3. a) x = −3 lub x = 1, b) x = 2 − 2

√

2 lub

x = 2 + 2

√

2 lub x = −2, c) x = −1 lub x = −3 lub x = 1 lub x = 3.

4. a) x ∈ h−5, −3i,

b) x ∈



−

1
2

,

9
2



, c) x ∈ (−∞, −5) ∪ (3, ∞).

5. a) x = 0 lub x = −4, b) x 6= −1 i x 6= 2,

c) brak rozwiązań.

6. a) x ∈ (−∞, −1i ∪ h3, ∞), b) x ∈ (−∞,

−1−

√

17

2

i∪h−1, 0i∪h

−1+

√

17

2

, ∞), c)

x ∈ (−∞, 1i.

7. a) x ∈ (−4, ∞), b) x ∈



−

1
2

, ∞



, c) x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞).

8. a) x ∈ h−1, 0i, b) x ∈ (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, ∞).

9. a) x ∈ (−∞, 1), b) x ∈ (−∞, 6).

10. a) x ∈ (0, ∞), b) brak rozwiązań, c) x ∈ h−3, 0) ∪ (0, 1i.

Zadanie 5

1. a) x = 2, b) x = −2 lub x = 2, c) x = −14.

2. a) x = −1 lub x = −4, b) x = −1 lub

x = −

1
6

, c) x = −

18
17

.

3. a) x =

5
3

, b) x = −2 lub x = 3, c) x = −75.

4. a) x = 2, b) x = 0, c)

x = 1 −

√

7 lub x = 1 +

√

7.

5. a) x = 2, b) brak rozwiązań, c) x = 0.

6. a) x = 2, b) x = 1,

c) x = 3.

7. a) x = 2, b) x = 0, c) x = −

3
2

.

8. a) x =

2
3

, b) x = −1 lub x = 1, c) x = 2.

9.

a) x = 1 lub x = 2, b) x = 1 lub x = 3, c) x = 2.

10. a) x = 0, b) x = 1 lub x = 2, c) x = 4.

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

8

ODPOWIEDZI

Zadanie 6

1. a) x ∈ R, b) x ∈ (−∞, −1), c) x ∈ (−4, ∞).

2. a) x ∈ (−∞,

5
3

), b) x ∈ (−∞, −9), c)

x ∈ (−∞, −3i ∪ h0, ∞).

3. a) x ∈ (−∞, 3), b) x ∈ R, c) x ∈ {−2} ∪ h3, ∞).

4. a) x ∈ (1,

3
2

i,

b) x ∈



−

3
4

,

1
4



, c) x ∈ (−∞, −3) ∪ h−1, 1).

5. a) x ∈ (−∞, −

2
3

) ∪ (

2
5

, ∞), b) x ∈ (−1, 0), c)

x ∈ h−

1
5

, 0) ∪ h3, ∞).

6. a) x ∈ h0, 24i, b) x ∈ (−∞, −7) ∪ (8, 9), c) x ∈ (−∞, −3i ∪ (0, ∞).

7. a) x ∈ (−∞, −1i, b) x ∈ (1, ∞), c) x ∈ (−∞, 0i.

8. a) x ∈ (2, ∞), b) x ∈ h0, 1i, c)

x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞).

9. a) x ∈ h2, ∞), b) x ∈ (−∞, −2i ∪ h1, ∞), c) brak rozwiązań.

10.

a) x ∈ (−∞, 0i ∪ h

2
3

, ∞), b) x ∈ (−∞, 1i, c) x ∈ (−∞, −1i.

11. a) x ∈ h

1
2

, ∞) ∪ {0}, b)

x ∈ (−4, −1), c) x ∈ (−∞, 2i.

Zadanie 7

1. a) x = 3, b) x =

9
4

, c) x = −1.

2. a) x = −2 + log

4

3, b) x = −2 + log

6

2, c) x = 3 − log

2

9.

3. a) x =

1
4

, b) x = 8, c) x = 1.

4. a) x = 2, b) x = 2, c) x = 4.

5. a) x = −1 lub x = 5, b)

x = 7.

6. a) x = 4, b) x = 3.

7. a) x = −1 lub x = 6, b) brak rozwiązań.

8. a) x = −

4
3

,

b) x = 1.

9. a) x = −1, b) x =

1+

√

17

4

.

10. a) x = 6, b) x = 7.

11. a) x = 0, b) x = 1 lub

x = 2.

12. a) x = −2, b) x = log

7

5.

13. a) x =

1

81

lub x = 9, b) x = 2 lub x = 32.

14. a)

x =

1
e

, b) x = e lub x = e

3

.

15. a) x = 1 lub x =

√

e, b) x =

1
e

lub x = e lub x = e

2

.

Zadanie 8

1. a) x ∈ (5, ∞), b) x ∈ (−5, 5i, c) x ∈ (2, ∞).

2. a) x ∈ (

8
3

, 4), b) x ∈ (

29

3

, ∞), c) x ∈

(−∞, −4i ∪ h2, ∞).

3. a) x ∈ (

5−

√

5

2

, 2) ∪ (3,

5+

√

5

2

), b) x ∈ (−1, 1i ∪ h3, 5), c) x ∈ (1, 201i.

4.

a) x ∈ (−2, 1), b) x ∈ h2,

11

4

) ∪ h4, ∞), c) x ∈ (−∞,

1
2

).

5. a) x ∈ h

3
2

, ∞), b) x ∈ (5, ∞).

6.

a) x ∈ h

3
2

, 10i, b) x ∈ h−2, 0) ∪ (0, 1i.

7. a) brak rozwiązań, b) x ∈ (−4, −3i ∪ h2, 3).

8. a)

x ∈ (−1, 1), b) x ∈ (

1

64

, 4).

9. a) x ∈ (

4

√

2,

√

2), b) x ∈ (0,

1
8

i ∪ (2, 8i.

10. a) x ∈ (−∞, 0i, b)

x ∈ h1, 2i.

11. a) x ∈ h1, 4i, b) x ∈ (

1
3

, ∞).

12. a) x ∈ (0,

1
e

i, b) x ∈ he

3

, ∞), c) x ∈ he, e

5

i.

13. a) x ∈ (0, 1i ∪ he

2

, ∞), b) x ∈ (0,

1
e

i ∪ h1, ∞), c) x ∈ {1} ∪ he, ∞).

14. a) x ∈ he, e

3

i, b)

x ∈ h

1
e

, e

6

i, c) x ∈ (0, e

−2

i ∪ he

2

, ∞).

Zadanie 9 Zakładamy, że k ∈ Z

1. a) x =

3
2

π + 2kπ, b) x =

π

2

+ kπ, c) x =

π

3

+ 2kπ lub x =

2π

3

+ 2kπ, d) x =

π

4

+ kπ.

2. a) x =

π

3

+

2
3

kπ, b) x =

π

4

+kπ lub x =

3π

4

+kπ, c) x =

5π

6

+2kπ lub x =

7π

6

+2kπ, d) x =

7π

6

+2kπ

lub x =

11π

6

+ 2kπ.

3. a) x = −

π

4

+ kπ, b) x =

π

9

+

1
3

kπ, c) x =

π

6

+

1
2

kπ, d) x =

π

3

+ kπ lub

x =

2π

3

+ kπ.

4. a) x ∈ (−

π

3

+ 2kπ,

π

3

+ 2kπ), b) x 6= kπ, c) x = h

5π

6

+ 2kπ,

13π

6

+ 2kπi, d)

x = h

π

4

+kπ,

π

2

+kπ)∪(

π

2

+kπ,

3π

4

+kπi.

5. a) x ∈ h−

π

2

+2kπ,

π

2

+2kπi, b) x = (

π

6

+2kπ,

5π

6

+2kπ),

c) x = h

π

3

+ 2kπ,

5π

3

+ 2kπi ∪ {2kπ}.

Zadanie 10

1. D = (−∞, 0).

2. D = h4, 8) ∪ (8, 9).

3. D = (2, 3i.

4. D = (1, e) ∪ (e, e

2

i.

5. D = (0, e) ∪ (e, 5i.

6. D = h−3, −1) ∪ (5, ∞).

7. D = (2, ei.

8. D = (−4, −2) ∪ (−2, 0).

9. D = (−∞, −1) ∪ hlog

2

3, 2i.

10. D = ∅.

11. D = h5, 6).

12. D = h

3
2

, 4) ∪ (4, 5).

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

9