1

Całka krzywoliniowa zorientowana

Definicja

(Łuk zorientowany)

• Łuk, na którym ustalono poczatek i koniec, nazywamy łukiem

zorientowanym.

• Łuk zorientowany oznaczamy symbolem

L

.

• Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku

L

oznaczamy

−L

.

• Jeżeli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się

po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że paranetryzacja łuku

jest zgodna z orientacją.

2

Definicja

Całkę krzywoliniową z funkcji

~

F = [P, Q, R]

ciągłej

na łuku gładkim zorientowanym

L

:

~

r = ~

r(t), t ∈ [α, β]

o

parametryzacji zgodnej z orientacją, oznaczamy symbolem

Z

L

~

F ◦ d~

r

lub

Z

L

P dx + Q dy + R dz








Z

L

P dx + Q dy








i określamy wzorem:

Z

L

~

F (~

r) ◦ d~

r

def

=

β

Z

α





~

F (~

r(t)) ◦ ~

r

0

(t)





dt.

3

Przypadki szczególne:

• Jeżeli łuk gładki

L

ma parametryzację zgodną z jego orientacją:

~

r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] , t ∈ [α, β]

, to

Z

L

P dx + Q dy + R dz =

=

β

Z

α

"

P (x(t), y(t), z(t)) · x

0

(t) + Q (x(t), y(t), z(t)) · y

0

(t) +

+ R (x(t), y(t), z(t)) · z

0

(t)

#

dt.

• Jeżeli łuk gładki

L

ma parametryzację zgodną z jego orientacją:

~

r(t) = [ x(t) , y(t) ] , t ∈ [α, β]

, to

4

Z

L

P dx + Q dy =

=

β

Z

α

"

P (x(t), y(t)) · x

0

(t) + Q (x(t), y(t)) · y

0

(t)

#

dt

• Jeżeli łuk gładki

L

jest wykresem funkcji klasy

C

1

([a, b ])

danej

wzorem

y = y(x), x ∈ [a, b]

, gdzie orientacja łuku

L

jest od

y(a)

do

y(b)

, to

Z

L

P dx + Q dy =

b

Z

a

"

P (x, y(x)) + Q (x, y(x)) · y

0

(x)

#

dx.

5

Przykład

Oblicz całkę

Z

L

y

2

dx + 2xy dy

wzdłuż odcinka zorientowanego o początku w punkcie

A(0, 2)

i końcu

w punkcie

B(4, 2)

.

Przykład

Oblicz całkę

Z

L

−y dx + x dy

gdzie łuk zorientowany

L

jest wykresem funkcji

y =

√

3x

dla

0

6 x 6 3

.

6

Własności całki krzywoliniowej zorientowanej

•

Z

L





~

F + ~

G





◦ d~r =

Z

L

~

F ◦ d~

r +

Z

L

~

G ◦ d~

r

•

Z

L





C · ~

F





◦ d~r = C ·

Z

L

~

F ◦ d~

r

•

Z

−L

~

F ◦ d~

r = −

Z

L

~

F ◦ d~

r

7

• Jeżeli

łuk

zorientowany

L

jest

kawałkami

gładki

i

L = L

1

∪ L

2

∪ . . . ∪ L

n , to

Z

L

~

F ◦ d~

r

=

Z

L

1

~

F ◦ d~

r +

Z

L

2

~

F ◦ d~

r + . . . +

Z

L

n

~

F ◦ d~

r.

Przykład

Oblicz całkę

Z

L

(y

2

− 2xy) dx + (y

2

− 2xy) dy

gdzie łuk zorientowany

L

jest wykresem funkcji

y = 1 − |1 − x|

dla

0

6 x 6 2

.

8

Niezależność całki krzywoliniowej od drogi

Twierdzenie

Załóżmy, że pole wektorowe

~

F

jest potencjalne w

obszarze

D ⊂ R

3

(R

2

)

i

~

F = grad f

. Wówczas

Z

_

AB

~

F ◦ d~

r

=

f (B) − f (A).

gdzie

_

AB

jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem

o początku

A

i końcu

B

, całkowicie zawartym w

D

.

Przykład

Oblicz całki

a)

Z

_

AB

3y dx + 3x dy,

A = (1, 2), B = (4, 0)

9

b)

Z

_

AB

(2x − yz) dx + (2y − xz) dy + (2z − yx) dz,

A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 0)

Uwaga

Jeżeli pole wektorowe

~

F

jest potencjalne w obszarze

D ⊂ R

3

(R

2

)

i łuk

L

zorientowany, kawałkami gładki i całkowicie

zawarty w

D

jest zamknięty, to

Z

L

~

F ◦ d~

r

=

0.

10

Twierdzenie Greena

Niech

L ⊂ R

2

będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym.

Obszar płaski ograniczony krzywą

L

oznaczmy

D

.

Mówimy, że orientacja łuku

L

jest dodatnia względem

D

, gdy

poruszając się po łuku

L

, zgodnie z orientacją, obszar

D

mamy

po lewej stronie.

11

Twierdzenie

(Twierdzenie Greena)

Załóżmy, że:

• obszar domknięty

D ⊂ R

2

jest normalny względem obu osi

układu,

• brzeg

L

obszaru

D

jest łukiem zorientowanym dodatnio,

• pole wektorowe

~

F = [P, Q]

jest różniczkowalne w sposób ciągły

na

D

.

Wówczas

Z

L

P dx + Q dy =

Z

D

Z








∂Q

∂x

−

∂P

∂y








dxdy.

12

Przykład

Oblicz całkę

Z

L

y dx − (x + y) dy

jeżeli

L

jest krzywą zamkniętą zorientowaną dodatnio złożoną z

łuków:

y = x

2 i

y = 4

.

Przykład

Oblicz całkę

Z

L

(3x − y) dx + (x + 2y) dy

jeżeli

L

jest okręgiem zorientowanym ujemnie:

x

2

+ y

2

= 36

.