PRzeglĄd budowlany

2/2010

noRMalIzaCJa

51

a

RT
y

K

u

Ł

y

PR
oble

M

owe

wiązującymi normami [1] i [2].

Z uwagi na różnice w zapisach

normowych, otrzymuje się w zasa-

dzie różne zbrojenie przy ich sto-

sowaniu. W niniejszym artykule

dokonano porównania algorytmów

wymiarowania wykonanych przy

użyciu obu norm. Miarą służącą

do porównywania wyników analizy

są miarodajne momenty zginające,

na podstawie których określa się

zbrojenie w przekroju płyty [3].

Prezentowany w artykule problem

został zastosowany w autorskim

1. Wprowadzenie

Przedmiotem analizy jest płyta

żelbetowa zbrojona ortogonalnie,

parametryzowana układem współ-

rzędnych {x,y} na powierzchni

środkowej płyty. Zgodnie z proce-

durą stosowaną w praktyce pro-

jektowej, dla przyjętego schematu

statycznego i obciążenia wyko-

nuje się analizę statyczną płyty

traktowaną zwykle jako sprężysta,

cienka płyta Kirchhoffa otrzymując

w efekcie rozkład przemieszczenia

Problem nośności granicznej płyt

żelbetowych w ujęciu aktualnych

przepisów normowych

Prof. dr hab. inż. Piotr Konderla, Politechnika wrocławska

i sił wewnętrznych. W przypad-

ku stosowania do analizy metody

numerycznej MES, otrzymuje się

rozwiązania w postaci dyskretnej.

Kolejnym etapem jest wymiarowa-

nie płyty, co w praktyce sprowadza

się do doboru zbrojenia płyty tak,

aby spełnione były warunki stanu

granicznego zgodnie z obowiązu-

jącymi normami.

W artykule analizowano problem

wymiarowania płyt żelbetowych

w zakresie spełnienia I stanu gra-

nicznego zgodnie z aktualnie obo-

PRzeglĄd budowlany

2/2010

52

noRMalIzaCJa

a

RT

y

K

u

Ł

y

PR

oble

M

owe

ortogonalną, przy czym orienta-

cja siatki jest zgodna z przyjętym

układem współrzędnych {x,y}.

Dla pojedynczego zestawu obcią-

żeń w wyniku analizy statycznej

otrzymano stan sił wewnętrznych

w wybranych punktach płyty (m

x

,

m

y

, m

xy

=m

yx

), który jest podstawą

wymiarowania płyty w tym punk-

cie. W przypadku rozwiązywania

płyty MES tymi punktami w spo-

sób naturalny są punkty węzło-

we modelu MES. We wszystkich

dotychczasowych normach zwią-

zanych z konstrukcjami żelbeto-

wymi, płytę wymiaruje się nieza-

leżnie na dwóch ortogonalnych

kierunkach traktując ją jako belkę

o szerokości jednostkowej. Jeżeli

do wymiarowania zbrojenia przy-

jąć odpowiednio momenty m

x

i m

y

to wówczas pomijamy wpływ

momentów skręcających m

xy

na wytężenie płyty. Norma PN-B-

03264 [1] w zasadzie bezpośred-

nio nie odnosi się do tego oczywi-

stego faktu. Zgodnie z [1] projek-

tant powinien tak dobrać orientacje

zbrojenia, aby była ona zgodna

z kierunkami głównymi momen-

tów zginających, a wówczas znika

wpływ momentów skręcających,

które na kierunkach głównych są

równe zeru. Tego typu procedu-

ra jest nieefektywna w praktyce,

szczególnie kiedy jest ona imple-

mentowana w programach kom-

puterowych. Stąd konieczność sfor-

mułowania uniwersalnego algo-

rytmu, który uwzględniałby wpływ

momentów skręcających m

xy

na

wytężenie płyty niezależnie od

wzajemnej orientacji siatki zbro-

jeniowej i kierunków momentów

głównych.

Odmiennie do powyższego pro-

blemu podchodzi norma PN-EN

1992 [2] wywodząca się z Euro-

kodu 2. W przepisach tej normy

po raz pierwszy bezpośrednio przy

wymiarowaniu płyty uwzględnia się

fakt występowania w płycie pła-

skiego stanu naprężenia co impli-

kuje sprzężenie stanu wytężenia

na obu kierunkach (x,y). Stąd

w normie pojawiają się wyraź-

nie zdefiniowane pojęcia miaro-

Rys. 1. Dwuwymiarowy model płyty oraz schemat redystrybucji naprężeń

w warstwie

Rys. 2. Schemat blokowy wyznaczania miarodajnych momentów wg Eurokodu 2

Rys. 3.

programie komputerowym o ko-

mer cyjnej nazwie PL-WIN 2. Pro-

gram ten jest programem wspo-

magania projektowania złożonych

układów płytowo-żebrowo-słupo-

wych. W programie tym zaimple-

mentowano równolegle dwa algo-

rytmy wymiarowania. Pierwszy al-

gorytm jest zgodny z Eurokodem 2

i normą [2], natomiast drugi algo-

rytm bazujący na normie [1] był

sformułowany przez autora.

2. Miarodajne momenty zgina-

jące

W dalszych rozważaniach zakłada

się, że płyta jest zbrojona siatką

PRzeglĄd budowlany

2/2010

noRMalIzaCJa

53

a

RT
y

K

u

Ł

y

PR
oble

M

owe

sin

)

ˆ

(

cos

)

ˆ

(

sin

)

ˆ

(

cos

)

ˆ

(

2

2

2

2

i

i

uy

i

i

ux

i

i

uy

i

i

ux

m

m

m

m

m

m

m

m

ϕ

ʹ

Δ

+

ʹ

+

ϕ

ʹ

Δ

+

ʹ

ϕ

Δ

+

+

ϕ

Δ

+

,

,

i

i

m

m

ʹ

Δ

⇒

−

=

ϕ

,

,

i

i

m

m

Δ

⇒

=

ϕ

(3)

stąd

.

ˆ

,

ˆ

}

max{

,

ˆ

,

ˆ

}

max{

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

uy

uy

ux

ux

i

uy

uy

ux

ux

i

ʹ

Δ

+

ʹ

=

ʹ

ʹ

Δ

+

ʹ

=

ʹ

⇒

ʹ

Δ

=

ʹ

Δ

Δ

+

=

Δ

+

=

⇒

Δ

=

Δ

(4)

W dalszym ciągu powyższe spo-

soby wyznaczania miarodajnych

momentów będą nazywane Meto -

da-1

(wg Eurokodu 2) oraz Meto-

da-2

(wg autorskiego algorytmu

na bazie PN-B-03264).

3. Analiza porównawcza miaro-

dajnych momentów

Porównywano wartości miaro-

dajnych momentów wyznaczane

Metodą-1

i Metodą-2. Zakłada się,

że w analizowanym punkcie płyty

szczegółowy algorytm wyznacza-

nia miarodajnych momentów zgi-

nających, którego schemat bloko-

wy pokazany jest na rysunku 2.

Miarodajne momenty zginające wg

algorytmu autora, a bazujące na

normie PN-B-03264, wyznaczono

posiłkując się następującym wy -

wodem:

a) w analizowanym punkcie płyty

siły wewnętrzne są równe: m

x

, m

y

,

m

xy

; wstępnie przyjmuje się miaro-

dajne momenty równe:

^

m

ux

:= m

x

,

^

m

uy

:= m

y

, oraz

^

m’

ux

:= m

x

,

^

m’

uy

:= m

y

,

b) dla każdej wartości ze zbioru f

i

∈ (0,p), w praktyce dla dyskretne-

go zbioru wartości f

i

= ip/n (i=0, 1,

2, ..., n

) wyznacza się moment zgi-

nający na kierunku osi x

ϕi

transfor-

mując tensor momentów do ukła-

du lokalnego {x

ϕi

,y

ϕi

}; w przypadku

wielu wariantów obciążenia tym

sposobem otrzymuje się obwied-

nię momentu m

ϕ

jak to pokazano

na rysunku 3b,

c) miarodajne momenty są pod-

stawą obliczenia ilości zbrojenia,

a tym samym są miarą nośno-

ści płyty na określonym kierunku,

w takim razie po transformacji par

momentów (

^

m

ux

,

^

m

uy

) i (

^

m’

ux

,

^

m’

uy

)

na kierunek osi x

ϕi

powinny być

spełnione następujące warunki

,

sin

ˆ

cos

ˆ

,

sin

ˆ

cos

ˆ

2

2

2

2

i

i

uy

i

ux

i

i

uy

i

ux

m

m

m

m

m

m

ϕ

ϕ

−

≥

ϕ

ʹ

+

ϕ

ʹ

≥

ϕ

+

ϕ

(2)

d) jeżeli powyższe warunki nie

są spełnione, to należy zwiększyć

wartości miarodajnych momentów

o moment ∆m, tak aby warunki (2)

były spełnione dla każdego ϕ

i

dajnych momentów zginających.

Przez miarodajne momenty zgina-

jące m

ux

oraz m

uy

, rozumie się ekwi-

walentne momenty odpowiednio

na kierunkach x i y, których war-

tości uwzględniają wpływ pełnego

tensora momentów na wytężenie

płyty i są bezpośrednio wykorzy-

stywane przy wymiarowaniu płyty

traktowanej jak belka prostokątna

o wysokości h i szerokości jed-

nostkowej.

Miarodajne momenty zginające wg

Eurokodu 2, jak również wg PN-EN

1992 wyznacza się przy założeniu

dwuwarstwowego modelu płyty,

której warstwy są w stanie granicz-

nym. Szczegółowy wywód takie-

go podejścia, podany jest między

innymi w [3], składa się z następu-

jących kroków:

– w analizowanym punkcie płyty

siły wewnętrzne są równe: m

x

, m

y

,

m

xy

(rys. 1a),

– w stanie granicznym w każdej

z warstw pojawia się rysa pod

kątem θ i θ odpowiednio w war-

stwie dolnej i górnej,

– z warunku stanu granicznego

dla każdej z warstw, wyznacza się

miarodajne momenty (m

ux

, m

uy

)

i (m’

ux

, m’

uy

)

odpowiednio dla

wymiarowania zbrojenia dolnego

i górnego (rys. 1b)

ctg

tg

θ

+

=

θ

+

=

xy

y

uy

xy

x

ux

m

m

m

m

m

m

ctg

tg

θʹ

+

−

=

ʹ

θʹ

+

−

=

ʹ

xy

y

uy

xy

x

ux

m

m

m

m

m

m

(1)

Miarodajne momenty mają sens

fizyczny, jeżeli są nieujemne

i w tym kontekście należy inter-

pretować równania (1). Kąty θ i θ’

w wyrażeniach (1) nie są określone.

Wyznacza się je zwykle z warun-

ku minimalizacji sum (m

ux

+ m

uy

)

i (m’

ux

+ m’

uy

)

. Optymalne wielkości

kątów θ i θ’ zależą od wzajemnych

relacji pomiędzy składowymi ten-

sora momentów, przy czym w więk-

szości przypadków są to kąty θ

opt

=

θ’

opt

= p/4.

Na podstawie przedstawione-

go wywodu można sformułować

Rys. 4.

Rys. 5.

PRzeglĄd budowlany

2/2010

54

noRMalIzaCJa

a

RT

y

K

u

Ł

y

PR

oble

M

owe

xy

y

uy

xy

x

ux

m

m

m

m

m

m

+

=

+

=

,

(6)

Miarodajne momenty Metodą-2

wyznaczono zgodnie z algorytmem

przedstawionym w p. 2:

a) Wstępnie przyjmuje się mia ro-

dajne momenty równe

^

m

ux

:= m

x

,

^

m

uy

:= m

y

b) Moment zginający w przekroju

obróconym o dowolny kąt β wzglę-

dem osi z

1

jest równy

β

+

=

β

2

cos

0

r

m

m

(7)

Momenty zginające

^

m

ux

,

^

m

uy

, m

β

reprezentują nośność odpo wied-

niego przekroju płyty (rys. 5).

c) Warunek wytrzymałości wyma-

ga, aby moment zginający otrzyma-

ny w wyniku transformacji momen-

tów

^

m

ux

,

^

m

uy

,

do układu współ-

rzędnych {x

β

,y

β

} był nie mniejszy

niż m

β

, tym samym spełniona była

relacja

β

≥

ϕ

−

β

+

ϕ

−

β

m

m

m

uy

ux

)

(

sin

ˆ

)

(

cos

ˆ

2

2

(8)

w przeciwnym przypadku miarodaj-

ne momenty należy zwiększyć o ∆m

aby spełniony był warunek (8)

+

ϕ

−

β

Δ

+

m

m

ux

)

(

cos

)

ˆ

(

β

=

ϕ

−

β

Δ

+

+

m

m

m

uy

)

(

sin

)

ˆ

(

2

2

(9)

stąd

)

(

sin

)

(

cos

2

2

ϕ

−

β

−

ϕ

−

β

−

=

Δ

β

y

x

m

m

m

m

(10)

gdzie

m

0

≡ (m

1

+m

2

)/2, r ≡ |m

1

– m

2

|/2.

Stosując Metodę-1 miarodajne

momenty na kierunkach siatki

zbrojeniowej zgodnie z (1) dla θ =

p/4 są równe

Rys. 8.

Schemat płyty

w oknie głów-

nym programu

PL-Win 2

Rys. 6.

Rys. 7.

występuje stan sił wewnętrznych

określony momentami głównymi

m

1

> 0, m

2

= g m

1

, g ∈ (–1, 1)

a osie główne momentów pokry-

wają się z osiami {z

1

, z

2

}. Należy

wyznaczyć miarodajne momenty

zginające dla wymiarowania orto-

gonalnej siatki zbrojeniowej para-

metryzowanej układem współrzęd-

nych {x, y}, który obrócony jest

o kąt ϕ względem układu {z

1

, z

2

}

(rys. 4a). Analizowano dwa nieza-

leżne przypadki stanu sił wewnętrz-

nych.

Przypadek 1

Zakłada się, że momenty główne

są nieujemne, tzn. g ∈ (0, 1) (rys.

3b). Na kierunkach układu {x, y}

współrzędne tensora momentów

są równe

,

2

sin

,

2

cos

,

2

cos

0

0

θ

=

θ

−

=

θ

+

=

r

m

r

m

m

r

m

m

xy

y

x

(5)

PRzeglĄd budowlany

2/2010

noRMalIzaCJa

55

a

RT
y

K

u

Ł

y

PR
oble

M

owe

strujący efekty zastosowania obu

metod wymiarowania analizowano

płytę kwadratową o wymiarach 8,0

× 8,0 m o stałej grubości h =

20 cm podpartą przegubowo

na dwóch ścianach i obciążoną

równomiernie na zaznaczonej czę-

ści powierzchni obciążeniem q =

5 kN/m

2

(rys. 8). Przyjęto beton

klasy C25/30, stal klasy A-III, pręty

zbrojeniowe o średnicy 16 mm,

otulinę 2 cm oraz orientację siatki

zbrojenia zgodną z osiami (x,y)

równolegle do krawędzi płyty.

Na rysunku 9 pokazano izolinie

rozkładu zbrojenia dolnego i gór-

nego na kierunku x wyznaczoną

Metodą-1

. Podobnie na rysunku

10 pokazano rozkłady zbrojenia

wyznaczone Metodą-2. Lokalne

różnice są widoczne, chociaż

ilość sumarycznego zbrojenia jest

podobna.

W podsumowaniu należy stwier-

dzić, że obie metody są względem

wyznaczone Metodą-2. Analo gicz-

ne wyniki pokazano na rysunku 7b

dla g = –0,5, gdzie średnia różnica

wyników wynosi około 3%, rów-

nież na korzyść Metody-1.

Teoretycznie wyznaczanie miaro-

dajnych momentów Metodą-1 wg

Eurokodu 2 jest bardziej ekono-

miczne w stosunku do Metody-2.

Jednakże w praktyce różnice te

są niewielkie, ponieważ lokalne

występowanie w płycie głównych

momentów zginających różnych

znaków nie jest zbyt częste,

a jedynie wówczas obserwujemy

co najwyżej kilkuprocentowe róż-

nice w wynikach.

4. Wymiarowanie płyty w pro-

gramie PL-Win 2

Przedstawione powyżej metody

wymiarowania płyty są zaimple-

mentowane w autorskim progra-

mie PL-Win 2. Jako przykład ilu-

d) W celu wyznaczenia maksymal-

nej wartości ∆m zapisano warunek

ekstremum funkcji

...

,1

,

0

dla

2

4

2

tan

2

tan

0

)

(

1

=

π

+

π

−

ϕ

=

β

⇒

ϕ

−

=

β

⇒

=

β

∂

Δ

∂

−

i

i

m

i

(11)

Dla pierwszego pierwiastka β

0

=

f – p/4 druga pochodna funkcji ∆m

jest równa

,

0

2

sin

4

)

(

2

2

≤

ϕ

−

=

β

∂

Δ

∂

m

(12)

stąd wynika, że funkcja ∆m osiąga

ekstremum w punkcie β

0

m

m

=

β

Δ

=

Δ

)

(

xy

y

x

m

m

m

m

=

π

−

π

−

β

)

4

/

(

sin

)

4

/

(

cos

2

2

0

0

max

(13)

oraz

.

ˆ

,

ˆ

max

max

xy

y

uy

uy

xy

x

ux

ux

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

+

=

Δ

+

=

+

=

Δ

+

=

(14)

e) Z powyższego wynika, że

mia rodajne momenty wyznaczone

Metodą-2

są identyczne z miaro-

dajnymi momentami wyznaczony-

mi Metodą-1. Rozkład miarodaj-

nych momentów dla wybranych

wartości g = 0,0 i g = 0,5 pokaza-

no na rysunku 6.

Przypadek 2:

Zakłada się, że w analizowanym

punkcie płyty występuje taki stan

sił wewnętrznych, że momen-

ty główne są różnych znaków.

Niech m

1

> 0, m

2

= g

m1

, g ∈ (–1, 0).

W tym przypadku występują róż-

nice w wartościach miarodajnych

momentów wyznaczonych obiema

metodami. Różnice te zależne są

od proporcji momentów głównych,

przy czym największe różnice

występują dla g = −1.

Na rysunku 7a pokazano funkcje

miarodajnego momentu wyzna-

czonego Metodą-1 i Metodą-2

w zależności od orientacji zbroje-

nia względem kierunków głównych

dla g = –1. Wartości miarodajnych

momentów wyznaczone Metodą-1

są średnio około 8% mniejsze niż

Rys. 9. Izolinie powierzchni przekroju zbrojenia w [cm

2

/m] (a) dolnego i (b)

górnego wyznaczone Metodą-1

Rys. 10. Izolinie powierzchni przekroju zbrojenia w [cm

2

/m] (a) dolnego i (b)

górnego wyznaczone Metodą-2

a)

a)

b)

b)

PRzeglĄd budowlany

2/2010

56

noRMalIzaCJa

a

RT

y

K

u

Ł

y

PR

oble

M

owe

W przykładzie drugim pokaza-

no wpływ orientacji siatki zbroje-

niowej na rozkład miarodajnych

momentów zginających wyzna-

czonych Metodą-1. Analizowano

płytę kwadratową jak w przy-

kładzie pierwszym różniącą się

jedynie warunkami brzegowymi.

W tym przypadku płyta oparta jest

przegubowo na wszystkich czte-

rech krawędziach (rys. 11).

Na rysunku 12 pokazano rozkłady

miarodajnych momentów zgina-

jących dla kierunku równoległe-

go do krawędzi płyty, natomiast

na rysunku 13 pokazano rozkłady

miarodajnych momentów zginają-

cych dla kierunku przekątnej pola

płyty. Z uwagi na symetrię, miaro-

dajne momenty w kierunkach pro-

stopadłych są odpowiednio syme-

tryczne. Pokazane na rysunkach

12 i 13 wartości momentów należy

użyć do wymiarowania siatki zbro-

jeniowej o orientacji odpowied-

nio zgodnej z przyjętym układem

współrzędnych {x,y} oraz siatki

zbrojeniowej o orientacji obróco-

nej o 45

0

w stosunku do przyjęte-

go układu współrzędnych. Wyniki

wskazują, że w przypadku obróco-

nej siatki zbrojenia otrzymuje się

mniejszą ilość stali zbrojeniowej

o około 25% w stosunku do orien-

tacji siatki zbrojeniowej zgodnej

z układem współrzędnych {x,y}.

BiBliografia

[1] PN-B-03264: 2002 Konstrukcje betonowe,

żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne

i projektowanie

[2] PN-EN 1992:2008 Eurokode 2:

Projektowanie konstrukcji z betonu – Część

1–1: Reguły ogólne i reguły dla budynków

[3] Podstawy projektowania konstrukcji

żelbetowych i sprężonych według Eurokodu

2. Praca zbiorowa. DWE Wrocław 2006

tyce projektowej dla wielu warian-

tów obciążenia oraz konieczności

automatyzacji obliczeń, te moż-

liwości trudno efektywnie wyko-

rzystać.

siebie równoważne. Teoretycznie

Metoda-2

, metoda bazująca na

Euro kodzie 2, daje pewne dodat-

kowe możliwości optymalizacji

ilości zbrojenia, jednakże w prak-

Rys. 11.

Schemat

statyczny płyty

Rys. 12. Miarodajne momenty zginające m

us

, –m’

us

dla osi s pokrywającej się

z osią x

Rys. 13. Miarodajne momenty zginające m

us

, –m’

us

dla osi s nachylonej pod

kątem 45° w stosunku do osi x