Strona | 1

CAŁKA NIEOZNACZONA

Definicja całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej

Niech 𝑓(𝑥) będzie określona w przedziale 𝑋, funkcję 𝑓(𝑋) nazywamy funkcją
pierwotną funkcji 𝑓(𝑥) na danym przedziale 𝑋, jeżeli ⋀ 𝑥 ∈ 𝑋 spełniony jest
warunek 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Funkcją pierwotną nazywamy też całką w sensie Newtona, na jej obliczanie
całkowanie. Jeżeli funkcja ma w pewnym przedziale funkcję pierwotną to
mówimy, że jest ona całkowalna w sensie Newtona. Całkowanie jest
odwrotnością różniczkowania.

𝐹

′

(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑑𝐹

𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥)

∫ 𝑑𝐹 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝐹(𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

𝐹

′

(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Niektóre własności całek

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑐 ∗ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∗ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶

Strona | 2

Całkowanie przez podstawienie

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (

𝑥 = 𝜑(𝑡)

𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡

) = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡) 𝑑𝑡

𝑓

′

(𝑥) =

𝑑𝑓
𝑑𝑥

𝑓

′

(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑓

𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓

′

(𝑥)𝑑𝑥

Podstawienie uniwersalne

tan

𝑥
2

= 𝑡

𝑑𝑥 =

2

1 + 𝑡

2

𝑑𝑡

sin 𝑥 =

2 sin

𝑥
2 cos

𝑥
2

sin

2

𝑥
2 + cos

2

𝑥
2

=

2

sin

𝑥
2

cos

𝑥
2

sin

2

𝑥
2

cos

2

𝑥
2

+ 1

=

2𝑡

𝑡

2

+ 1

cos 𝑥 =

cos

2

𝑥
2 − sin

2

𝑥
2

cos

2

𝑥
2 + sin

2

𝑥
2

=

1 −

sin

2

𝑥
2

cos

2

𝑥
2

1 +

sin

2

𝑥
2

cos

2

𝑥
2

=

1 − 𝑡

2

1 + 𝑡

2

Całkowanie przez części

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

∫ 𝑢

𝑑𝑣
𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣

𝑑𝑢
𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥) ∗ 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥

∫ 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥

(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥) ∗ 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥)

𝑢 ∗ 𝑣

′

= 𝑢

′

(𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) + 𝑣′(𝑥) ∗ 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) ∗ 𝑢

′

(𝑥)

𝑢 ∗ 𝑣

′

= 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣′(𝑥)

𝐿 = 𝑃