2010 11 07 WIL Wyklad 07

background image

Wykład 07

Witold Obłoza

20 stycznia 2011

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 81

Niech funkcja f b

,

edzie określona w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

. Funkcja

jest ci

,

agła w punkcie x

0

wtw, gdy jest jednocześnie ci

,

agła lewostronnie i

prawostronnie.

TWIERDZENIE 82

Niech funkcja f b

,

edzie określona w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

, ci

,

agła w

punkcie x

0

i niech f (x

0

) > 0 wtedy ∃O

1

(x

0

) ⊂ O(x

0

) otoczenie punktu

x

0

takie,że ∀x ∈ O

1

(x

0

)

f (x) > 0.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 81

Niech funkcja f b

,

edzie określona w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

. Funkcja

jest ci

,

agła w punkcie x

0

wtw, gdy jest jednocześnie ci

,

agła lewostronnie i

prawostronnie.

TWIERDZENIE 82

Niech funkcja f b

,

edzie określona w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

, ci

,

agła w

punkcie x

0

i niech f (x

0

) > 0 wtedy ∃O

1

(x

0

) ⊂ O(x

0

) otoczenie punktu

x

0

takie,że ∀x ∈ O

1

(x

0

)

f (x) > 0.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 83

Złożenie funkcji ci

,

agłych jest ci

,

agłe.

DOWOD:

Z ciągłości f i g

dla x

n

−→ x

0

mamy f (x

n

) −→ f (x

0

)

więc g(f (x

n

)) −→ g(f (x

0

)).

Jeżeli x

n

−→ x

0

to (g ◦ f )(x

n

) −→ (g ◦ f )(x

0

).

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 83

Złożenie funkcji ci

,

agłych jest ci

,

agłe.

DOWOD:

Z ciągłości f i g

dla x

n

−→ x

0

mamy f (x

n

) −→ f (x

0

)

więc g(f (x

n

)) −→ g(f (x

0

)).

Jeżeli x

n

−→ x

0

to (g ◦ f )(x

n

) −→ (g ◦ f )(x

0

).

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 83

Złożenie funkcji ci

,

agłych jest ci

,

agłe.

DOWOD:

Z ciągłości f i g

dla x

n

−→ x

0

mamy f (x

n

) −→ f (x

0

)

więc g(f (x

n

)) −→ g(f (x

0

)).

Jeżeli x

n

−→ x

0

to (g ◦ f )(x

n

) −→ (g ◦ f )(x

0

).

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 83

Złożenie funkcji ci

,

agłych jest ci

,

agłe.

DOWOD:

Z ciągłości f i g

dla x

n

−→ x

0

mamy f (x

n

) −→ f (x

0

)

więc g(f (x

n

)) −→ g(f (x

0

)).

Jeżeli x

n

−→ x

0

to (g ◦ f )(x

n

) −→ (g ◦ f )(x

0

).

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 83

Złożenie funkcji ci

,

agłych jest ci

,

agłe.

DOWOD:

Z ciągłości f i g

dla x

n

−→ x

0

mamy f (x

n

) −→ f (x

0

)

więc g(f (x

n

)) −→ g(f (x

0

)).

Jeżeli x

n

−→ x

0

to (g ◦ f )(x

n

) −→ (g ◦ f )(x

0

).

background image

TWIERDZENIA O CIĄGŁOŚCI

TWIERDZENIE 84

Niech funkcje f, g b

,

ed

,

a określone w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

i ci

,

agłe

w punkcie x

0

wtedy,f ± g, f · g s

,

a ci

,

agłe w punkcie x

0

. Jeżeli ponadto

g(x

0

) 6= 0 to

f

g

jest ci

,

agła w punkcie x

0

.

DOWÓD:

Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.

background image

TWIERDZENIA O CIĄGŁOŚCI

TWIERDZENIE 84

Niech funkcje f, g b

,

ed

,

a określone w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

i ci

,

agłe

w punkcie x

0

wtedy,f ± g, f · g s

,

a ci

,

agłe w punkcie x

0

. Jeżeli ponadto

g(x

0

) 6= 0 to

f

g

jest ci

,

agła w punkcie x

0

.

DOWÓD:

Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 85

Funkcja ci

,

agła na przedziale domkni

,

etym osi

,

aga swoje kresy.

DOWÓD:

Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x

n

}

n=1

⊂ [a, b] taki, że

f (x

n

) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ciąg {x

n

}

n=1

ma podciąg zbieżny {x

n

k

} do x

0

∈ [a, b].

Wówczas f (x

0

) = lim

n→∞

f (x

n

k

) = M

TWIERDZENIE 86

Funkcja ci

,

agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości

pośrednich.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 85

Funkcja ci

,

agła na przedziale domkni

,

etym osi

,

aga swoje kresy.

DOWÓD:

Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x

n

}

n=1

⊂ [a, b] taki, że

f (x

n

) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ciąg {x

n

}

n=1

ma podciąg zbieżny {x

n

k

} do x

0

∈ [a, b].

Wówczas f (x

0

) = lim

n→∞

f (x

n

k

) = M

TWIERDZENIE 86

Funkcja ci

,

agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości

pośrednich.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 85

Funkcja ci

,

agła na przedziale domkni

,

etym osi

,

aga swoje kresy.

DOWÓD:

Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x

n

}

n=1

⊂ [a, b] taki, że

f (x

n

) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ciąg {x

n

}

n=1

ma podciąg zbieżny {x

n

k

} do x

0

∈ [a, b].

Wówczas f (x

0

) = lim

n→∞

f (x

n

k

) = M

TWIERDZENIE 86

Funkcja ci

,

agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości

pośrednich.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 85

Funkcja ci

,

agła na przedziale domkni

,

etym osi

,

aga swoje kresy.

DOWÓD:

Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x

n

}

n=1

⊂ [a, b] taki, że

f (x

n

) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ciąg {x

n

}

n=1

ma podciąg zbieżny {x

n

k

} do x

0

∈ [a, b].

Wówczas f (x

0

) = lim

n→∞

f (x

n

k

) = M

TWIERDZENIE 86

Funkcja ci

,

agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości

pośrednich.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 85

Funkcja ci

,

agła na przedziale domkni

,

etym osi

,

aga swoje kresy.

DOWÓD:

Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x

n

}

n=1

⊂ [a, b] taki, że

f (x

n

) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ciąg {x

n

}

n=1

ma podciąg zbieżny {x

n

k

} do x

0

∈ [a, b].

Wówczas f (x

0

) = lim

n→∞

f (x

n

k

) = M

TWIERDZENIE 86

Funkcja ci

,

agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości

pośrednich.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).

Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.

Wówczas f (γ) = 0.

Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.

Niech a < b,

f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).

Wówczas dla g(x) = f (x) − c

g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)

takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 87

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.

DOWÓD:

Przypuśćmy, że istnieją x

1

, x

2

, x

3

∈ [a, b] takie, że x

1

< x

2

< x

3

i

f (x

1

) < f (x

2

) > f (x

3

).

Wówczas dla c ∈ (max{f (x

1

), f (x

3

)}, f (x

2

) istnieją u

1

∈ (x

1

, x

2

)

oraz

u

2

∈ (x

2

, x

3

) takie, że f (u

1

) = c = f (u

2

).

Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.

TWIERDZENIE 88

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f

−1

jest funkcją silnie

monotoniczną i ciągłą.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 87

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.

DOWÓD:

Przypuśćmy, że istnieją x

1

, x

2

, x

3

∈ [a, b] takie, że x

1

< x

2

< x

3

i

f (x

1

) < f (x

2

) > f (x

3

).

Wówczas dla c ∈ (max{f (x

1

), f (x

3

)}, f (x

2

) istnieją u

1

∈ (x

1

, x

2

)

oraz

u

2

∈ (x

2

, x

3

) takie, że f (u

1

) = c = f (u

2

).

Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.

TWIERDZENIE 88

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f

−1

jest funkcją silnie

monotoniczną i ciągłą.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 87

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.

DOWÓD:

Przypuśćmy, że istnieją x

1

, x

2

, x

3

∈ [a, b] takie, że x

1

< x

2

< x

3

i

f (x

1

) < f (x

2

) > f (x

3

).

Wówczas dla c ∈ (max{f (x

1

), f (x

3

)}, f (x

2

) istnieją u

1

∈ (x

1

, x

2

)

oraz

u

2

∈ (x

2

, x

3

) takie, że f (u

1

) = c = f (u

2

).

Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.

TWIERDZENIE 88

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f

−1

jest funkcją silnie

monotoniczną i ciągłą.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 87

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.

DOWÓD:

Przypuśćmy, że istnieją x

1

, x

2

, x

3

∈ [a, b] takie, że x

1

< x

2

< x

3

i

f (x

1

) < f (x

2

) > f (x

3

).

Wówczas dla c ∈ (max{f (x

1

), f (x

3

)}, f (x

2

) istnieją u

1

∈ (x

1

, x

2

)

oraz

u

2

∈ (x

2

, x

3

) takie, że f (u

1

) = c = f (u

2

).

Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.

TWIERDZENIE 88

Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f

−1

jest funkcją silnie

monotoniczną i ciągłą.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DOWÓD:

Niech f będzie rosnąca i niech f (x

n

) = y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Przypuśćmy, że c = sup{x

n

: n ∈ N} < x

0

.

Wówczas ∀n y

n

≤ f (c) < y

0

sprzeczne z y

n

−→ y

0

= f (x

0

).

Zatem ∀ε > 0

∃n

0

takie, że ∀n > n

0

f (x

0

− ε) < y

n

< y

0

.

Dla n > n

0

mamy x

ε < x

n

< x

0

.

Czyli f

−1

jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy

analogicznie.

Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

TWIERDZENIE 89

Funkcje x −→ sin x

x −→ cos x

x −→ a

x

x −→ x

α

x −→ log

a

x

x −→ tg x

x −→ ctg x

x −→ arctg x

x −→ arcctg x

x −→ arcsin x

x −→ arccos x

są ciągłe w swojej dziedzinie.

DOWÓD:

Z uwagi na

sin x − sin x

0

= 2 · sin

x−x

0

2

cos

x+x

0

2

i

ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji

sinus w zerze.

Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Dla x > 0 mamy 0 < sin x < x i z twierdzenia o granicy trzech funkcji
mamy lim

x→0

+

sin x = 0.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór

cos x − cos x

0

= −2 · sin

x+x

0

2

· sin

x−x

0

2

implikuje ciągłość funkcji kosinus.

Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.

Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór

cos x − cos x

0

= −2 · sin

x+x

0

2

· sin

x−x

0

2

implikuje ciągłość funkcji kosinus.

Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.

Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór

cos x − cos x

0

= −2 · sin

x+x

0

2

· sin

x−x

0

2

implikuje ciągłość funkcji kosinus.

Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.

Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór

cos x − cos x

0

= −2 · sin

x+x

0

2

· sin

x−x

0

2

implikuje ciągłość funkcji kosinus.

Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.

Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór

cos x − cos x

0

= −2 · sin

x+x

0

2

· sin

x−x

0

2

implikuje ciągłość funkcji kosinus.

Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.

Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

TWIERDZENIE 90

Mamy nast

,

epuj

,

ace granice specjalne:

lim

x→∞

(1 +

1

x

)

x

= e,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = ∞ to lim

x→x

0

(1 +

1

f (x)

)

f (x)

= e,

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

ln(1+f (x))

f (x)

= 1,

lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

e

f (x)

−1

f (x)

= 1,

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.

background image

GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI

lim

x→0

(1+x)

α

−1

x

= α,

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

(1+f (x))

α

−1

f (x)

= α,

lim

x→0

sinx

x

= 1.

Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = 0 to lim

x→x

0

sin f (x)

f (x)

= 1.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 05 WIL Wyklad 05
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2010 11 07 pieniądz
2010 11 07 wycena akcji, FCFF, FCFF, dźwignie finansowe, progi rentowności
2010 11 07 pieniądz
2010 11 07 Stalinowskie korzenie KOR, SLD i UW

więcej podobnych podstron