E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

1

WYKŁAD 4

MODELOWANIE MECHANIZMU PODNOSZENIA

Mechanizm podnoszenia –

1 – silnik,
2 - sprzęgło hamulcowe wkładkowe wraz z hamulcem,

3 - przekładnia zębata zamknięta,

4 - sprzęgło zębate przybębnowe,
5 – bęben,

6 - krążek wyrównawczy,
7 – lina,

8 – zblocze hakowe.

1. Stany nieustalone w ruchu mechanizmu podnoszenia

Model mechanizmu podnoszenia służący do badania ruchu to układ dwóch

mas zredukowanych, które są ze sobą połączone elementem sprężystym jak to
widać na poniższym rysunku. Masa m

1

to masa zredukowana na linę

napinającą na bęben, zastępuje ona momenty bezwładności elementów
obrotowych: bębna z nawiniętą liną, bębna hamulcowego, wirnika silnika,
sprzęgieł i kół zębatych. Masa m

2

jest natomiast masą zredukowaną,

zastępującą masę ładunku, zawieszonego na linie oraz masę zblocza (rys.1.).

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

2

Rys. 1. Model dwumasowy mechanizmu podnoszenia

Najogólniej można rozpatrywać kilka stanów nieustalonych mechanizmu
podnoszenia (z ciężarem lub tylko hak ze zbloczem):

1.Rozruch przy podnoszeniu,

2.Rozruch przy opuszczaniu,
3.Hamowanie przy podnoszeniu,

4.Hamowanie przy opuszczaniu.

2.

Równania ruchu

2.1.Rozruch przy podnoszeniu

Wartości początkowe mogą przyjmować różne wartości, a jest to zależne od
warunków, w jakich rozpoczyna się rozruch.

a) Przypadek z napiętymi więzami

Na rysunku 2 przedstawiono przypadek, w którym obydwie masy zaczynają
ruch jednocześnie a więzy między masami są napięte.
W tym przypadku równania ruchu mają postać:

(1.1)

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

3

Rys. 2. Model matematyczny – przypadek z napiętymi więzami

Dwa równania drugiego rzędu (1.1) można zastąpić układem czterech

równań różniczkowych pierwszego rzędu (1.2).

(1.2)

Wartości początkowe w chwili t=0 wynoszą:

(1.3)

b) Przypadek ze zluzowanymi więzami

Rysunek 3 przedstawia ładunek spoczywający na podłożu, lina nie jest

napięta. Ruch takiego układu rozpoczyna się od fazy napinania więzów, tj.
początkowo porusza się tylko masa m

1

, co powoduje stopniowe rozciąganie

więzów. Faza ta trwa do chwili, w której siła odkształcająca więzy osiągnie
wartość równą sile S

2

.

Układ ma tylko jeden stopień swobody, a więc ruch układu opisuje jedno
równanie drugiego rzędu lub układ dwóch równań pierwszego rzędu.

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

4

Rys. 3. Model matematyczny – przypadek ze zluzowanymi więzami

Pierwsza faza ruchu

(1.4)

lub

(1.5)

Druga faza ruchu

Warunki początkowe dla t=0

(1.6)

t

*

- czas, po którym siła rozciąganych więzów równa się sile S

2

(1.7)

Odkształcenie, jakie osiągają więzy:

(1.8)

Wartość prędkości masy 1

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

5

(1.9)

(1.10)

c) Przypadek z nadmiernym luzem w linie

Rys. 4. Model matematyczny – przypadek z nadmiernym luzem w linie

Na rysunku 4 ładunek również jak w poprzednim przykładzie (rys. 3.)

spoczywa na podłożu, lecz tym razem liny są bardziej luźne. Ruch takiego
układu rozpoczyna się od fazy kasowania luzu w więzach – porusza się tylko
masa m

1

pociągając za sobą linę bez oporu, a masa m

2

spoczywa swobodnie

na podłożu.
Wartości początkowe są równe zero:

(1.11)

W równaniu nie występują zewnętrzne ani wewnętrzne siły oporu.

(1.12)

Ruch jest jednostajnie przyspieszony i trwa do chwili wyczerpania luzu:

(1.13)

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

6

Czas kasowania luzów wyraża się wzorem:

(1.14)

Prędkość masy m1 w chwili skasowania luzu jest równa:

(1.15)

Drugą fazą tego układu jest napinanie więzów, tj. początkowo porusza

się tylko masa m

1

, co powoduje stopniowe rozciąganie więzów. Faza ta trwa

do chwili, w której siła odkształcająca więzy osiągnie wartość równą sile S

2

.

Równanie ruchu nie zmienia się, natomiast występują inne warunki
początkowe:

(1.16)

Faza ta trwa aż do chwili, w której napięcie więzów zrównoważy siłę

obciążającą więź S

2

. Wartości t

*

, x

1

*

, v

1

*

na końcu drugiej fazy są odpowiednio

wartościami początkowymi trzeciej fazy ruchu obu mas. Faza ta rozpoczyna się
w chwili t > t

*

, gdy siła naciągu liny zaczyna przekraczać wartość S

2

.

Pierwsza faza kasowanie luzu

(1.17)

(1.18)

Druga faza napinanie więzów (x

1

=Δ, v

1

=v

luz

)

(1.19)

Trzecia faza ruch obu mas (x

1

=x

1

(t

*

), v

1

=v

1

(t

*

))

t

*

- czas po którym siła rozciąganych więzów równa się sile S

2

(1.20)

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

7

2.2. Hamowanie przy opuszczaniu

Podczas hamowania przy opuszczaniu układ sił jest bardzo podobny jak

przy rozruchu - przedstawia nam rysunek 5. Zasadnicza różnica polega na
zmianie kierunku ruchu mas oraz na tym, że siła S

1

pochodzi od hamulca

umieszczonego na wale silnika.

Rys. 5. Model matematyczny – przypadek hamowania przy opuszczaniu

Warunki początkowe określone są przez prędkość ruchu przy opuszczaniu oraz
wydłużenie układu linowego pod wpływem zawieszonego ciężaru:

(1.21)

Ruch opisują dwa równania różniczkowe:

(1.22)

Ruch tego układu składa się z dwóch faz:
- ruch obu mas trwa do zatrzymania masy m

1

siłą hamulca (t= t

*

, v

1

= 0),

- po zatrzymaniu masy m

1

(x

1

= x

1

*

= const) następuje faza, w której masa m

2

wykonuje swobodne wahania pionowe opisane równaniem:

(1.23)

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

8

Pierwsza faza obie masy w ruchu (v

1

= v

2

= v

nom

, x

1

= 0, x

2

= S

2

/k)

(1.24)

Druga faza ruch jednej masy (x

1

=x

1

*

= const, v

1

*

=0, x

2

=x

2

(t

*

), v

2

=v

2

(t

*

) )

t

*

- czas po którym zakończyła się faza pierwsza.

(1.25)

2.3. Hamowanie przy podnoszeniu

Hamowanie podczas podnoszenia można opisać podobnie jak hamowanie

podczas opuszczania – rysunek 5. Istotna różnica polega tylko na tym, że siła
S

2

pochodząca od ciężaru współdziała z hamulcem, co przyspiesza proces

hamowania (rys. 6).

Rys.6. Model matematyczny – przypadek hamowania przy podnoszenia

Równania ruchu w fazie pierwszej – ruch obu mas:

(1.26)

E. Michlowicz: IMW – Modelowanie mechanizmu podnoszenia

9

Faza ta trwa aż do chwili t= t

*

, w której nastąpi zatrzymanie pierwszej masy

m

1

, v= 0.

Druga faza po zatrzymaniu masy m

1

(x

1

= x

1

*

= const) to ruch wahadłowy

drugiej masy m

2

:

(1.27)

Pierwsza faza - obie masy w ruchu (v

1

= v

2

= v

nom

, x

1

= 0, x

2

= S

2

/k)

(1.28)

Druga faza - ruch jednej masy (x

1

= x

1

*

= const, x

2

=x

2

(t

*

))

t

*

- czas, po którym zakończyła się faza pierwsza

(1.29)

3. Parametry do identyfikacji

Z rozważań zawartych w punktach 1-2 wynika, że każdorazowo do
pełnego opisu równań ruch należy wyznaczyć sześć parametrów:

k – współczynnik sprężystości więzi (np. liny),
h – współczynnik tłumienia więzi,
m

1

– masę zredukowaną na linę nabiegającą na bęben linowy – od

strony silnika,

m

2

– masę zredukowaną na linę – od strony zblocza,

S

1

lub S

h

– obciążenie czynne – od silnika lub hamulca,

S

2

– obciążenie bierne – od podnoszonego lub opuszczanego

ciężaru.

Ważne uwagi:

- przy redukcji sił lub momentów sił korzystamy z zasady zachowania

mocy w układzie (z uwzględnieniem odpowiedniej sprawności),

- przy redukcji mas lub momentów bezwładności korzystamy z zasady
zachowania energii badanego układu.