Przekształcenia liniowe

Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . Funkcję

:

f V

W

→

nazywamy

przekształceniem liniowym

, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1)

1

2

,

1

2

1

2

(

)

( )

( )

v v

V

f v

v

f v

f v

∈

∀

+

=

+

,

2)

(

)

( )

K

v V

f

v

f v

α

α

α

∈

∈

∀

∀

=

.

Uwaga: Warunki 1) i 2) mo

ż

na zast

ą

pi

ć

jednym warunkiem:

1

2

,

,

1

2

1

2

(

)

( )

( )

K

v v

V

f

v

v

f v

f v

α β

α

β

α

β

∈

∈

∀

∀

+

=

+

.

Macierz przekształcenia liniowego

Niech

:

f V

W

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym,

1

2

( ,

,

,

)

n

B

v v

v

=

…

b

ę

dzie baz

ą

przestrzeni

V

, a

(

)

1

2

,

,

,

m

C

w w

w

=

…

- baz

ą

przestrzeni

W

.

Macierzą przekształcenia

f

w bazach

B

i

C

nazywamy macierz

[ ]

B

C

f

, której kolejne kolumny s

ą

współrz

ę

dnymi

wektorów

1

2

( ),

( ),

, ( )

n

f v

f v

f v

…

w bazie

C

, tzn.

[ ]

1

2

1

11

12

1

2

21

22

2

1

2

( )

( )

( )

n

n

B

n

C

m

m

m

mn

f v

f v

f v

w

a

a

a

w

a

a

a

f

w

a

a

a

↓

↓

↓

← 







←

=













← 



…



…

…













…

Schematycznie

Macierz przejścia z bazy do bazy

Niech

1

2

( ,

,

,

)

n

B

v v

v

=

…

i

(

)

1

2

,

,

,

n

C

w w

w

=

…

b

ę

d

ą

bazami przestrzeni

V

. Macierz

[ ]

B

C

id

nazywamy

macierzą przejścia z bazy

C

do bazy

B

i oznaczamy przez

C

B

P

→

. Zatem

kolumnami macierzy

C

B

P

→

s

ą

współrz

ę

dne kolejnych wektorów bazy

B

w bazie

C

, tzn.

1

2

1

11

12

1

2

21

22

2

1

2

n

n

n

C

B

m

m

m

mn

v

v

v

w

a

a

a

w

a

a

a

P

w

a

a

a

→

↓

↓

↓

← 







=

← 











← 



…



…

…













…

.

[ ]

B

C

f

Inaczej:

kolumnami macierzy przejścia ze ,,starej’’ bazy do ,,nowej’’ bazy są

współrzędne wektorów ,,nowej’’ bazy w ,,starej’’ bazie

.

Macierz

C

B

P

→

jest odwracalna i

1

(

)

C

B

B

C

P

P

−

→

→

=

.

Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego

Niech

:

f V

W

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym,

B

- baz

ą

przestrzeni

V

, a

C

- baz

ą

przestrzeni

W

. Wtedy

[ ] [ ]

[ ( )]

B

T

T

C

C

B

f v

f

v

=

⋅

dla dowolnego wektora

v V

∈

,

tzn.

1

11

12

1

1

2

21

22

2

2

1

2

n

n

m

m

m

mn

n

macierz f wbazach B i C

y

a

a

a

x

y

a

a

a

x

y

a

a

a

x







 









 









 



=







 









 









 



…

…













…



Zmiana współrzędnych przy zmianie bazy

Niech

B

i

C

b

ę

d

ą

bazami przestrzeni

V

. Wtedy

[ ]

[ ]

1

[ ]

(

)

T

T

T

C

C

B

B

C

B

B

v

P

v

P

v

−

→

→

=

⋅

=

⋅

dla dowolnego wektora

v V

∈

Aby otrzymać współrzędne wektora

v

w ,,nowej’’ bazie, mnożymy macierz odwrotną do

macierzy przejścia ze ,,starej’’ bazy do ,,nowej’’ przez współrzędne wektora

v

w

,,starej’’ bazie.

Macierz złożenia przekształceń liniowych

Niech

:

f V

W

→

i

:

g W

U

→

b

ę

d

ą

przekształceniami liniowymi,

B

- baz

ą

przestrzeni

V

,

C

- baz

ą

przestrzeni

W

, a

D

- baz

ą

przestrzeni

U

:

Wtedy

[

]

[ ] [ ]

B

C

B

D

D

C

g

f

g

f

=

Schemat:

współrzędne

( )

f v

w bazie

C

współrzędne

v

w bazie

B

V

W

U

f

g

B

C

D

g

f

[

]

[ ] [ ]

B

C

B

D

D

C

g

f

g

f

=

0

Zmiana macierzy przekształcenia przy zmianie baz

Niech

:

f V

W

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym,

B

i

'

B

- bazami przestrzeni

V

, a

C

i

'

C

- bazami przestrzeni

W

. Wtedy

[ ]

[ ]

'

1

'

'

'

(

)

B

B

C

C

C

B

B

C

f

P

f

P

−

→

→

=

⋅

⋅

tzn.:

Macierz przekształcenia

f

w ,,nowych’’ bazach = odwrotność macierzy przejścia z

bazy ,,starej’’ do ,,nowej’’ przestrzeni

W

razy

macierz przekształcenia

f

w

,,starych’’ bazach

razy

macierz przejścia z bazy ,,starej’’ do ,,nowej’’ przestrzeni

V

Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Je

ż

eli

:

f V

W

→

jest przekształceniem liniowym, to zbiór

{

}

Ker

: ( )

0

f

v V

f v

=

∈

=

jest podprzestrzeni

ą

przestrzeni liniowej

V

, a zbiór

{

}

Im

( ) :

f

f v

v V

=

∈

jest podprzestrzeni

ą

przestrzeni liniowej

W

.

Zbiór

Ker f

nazywamy

jądrem

przekształcenia

f

, a zbiór

Im f

nazywamy

obrazem

przekształcenia

f

.

Związek między wymiarami jądra i obrazu

Je

ż

eli

:

f V

W

→

jest przekształceniem liniowym, to

dim

dim Ker

dim Im

V

f

f

=

+

(tzn.

wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu

)

Związki jądra i obrazu z macierzą przekształcenia liniowego

Niech

:

f V

W

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym, a

A

- macierz

ą

przekształcenia

f

(w

dowolnych bazach). Wtedy

1)

dim Im

( )

f

rz A

=

(tzn.

wymiar obrazu jest równy rzędowi macierzy przekształcenia

)

2)

f

jest przekształceniem ,,na’’ (

suriekcj

ą

)

⇔

( )

f V

W

=

⇔

dim Im

dim

f

W

=

⇔

( )

dim

rz A

W

=

3)

f

jest

przekształceniem

ró

ż

nowarto

ś

ciowym

(

iniekcj

ą

)

⇔

{ }

Ker

0

f

=

⇔

dim Ker

0

f

=

⇔

( )

dim

rz A

V

=

0

Im f

Ker f

V

W

f

4)

f

jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (

bijekcj

ą

)

⇔

{ }

Ker

0

f

=

i

( )

f V

W

=

⇔

dim Ker

0

f

=

i

dim Im

dim

f

W

=

⇔

( )

dim

dim

rz A

V

W

=

=

Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego

Niech

V

b

ę

dzie przestrzeni

ą

liniow

ą

nad ciałem

K

i niech

f

b

ę

dzie przekształceniem

liniowym przestrzeni

V

w siebie (

endomorfizmem przestrzeni

V

). Wtedy

-

Skalar

K

λ

∈

nazywamy

wartością własną przekształcenia

f

, je

ż

eli

istnieje niezerowy

wektor

v V

∈

taki,

ż

e

( )

f v

v

λ

=

.

-

Ka

ż

dy niezerowy wektor

v V

∈

taki,

ż

e

( )

f v

v

λ

=

, nazywamy

wektorem własnym

przekształcenia

f

odpowiadającym wartości własnej

λ .

Związek wartości i wektorów własnych z macierzą przekształcenia

Niech

:

f V

V

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym, a

A

- jego macierz

ą

w bazie

B

. Wtedy

1)

skalar

λ jest warto

ś

ci

ą

własn

ą

przekształcenia

f

⇔

0

A

I

λ

−

= (wielomian

( )

A

w

A

I

λ

λ

=

−

nazywamy

wielomianem charakterystycznym macierzy

A

,

a równanie

( )

0

A

w

λ

=

nazywamy

równaniem charakterystycznym macierzy

A

);

2)

wektor v jest wektorem własnym przekształcenia

f

odpowiadaj

ą

cym warto

ś

ci własnej

λ ⇔ współrz

ę

dne

1

2

[ ,

,

,

]

n

x x

x

…

wektora v w bazie

B

s

ą

niezerowym rozwi

ą

zaniem

układu równa

ń

(

)

1

2

0

0

0

n

x

x

A

I

x

λ





 





 





 

−

=





 





 

 









.

Własności wektorów własnych

Niech

:

f V

V

→

b

ę

dzie przekształceniem liniowym.

1)

Je

ś

li

λ jest warto

ś

ci

ą

własn

ą

przekształcenia

f

, to zbiór

{

}

: ( )

W

v V

f v

v

λ

λ

=

∈

=

jest podprzestrzeni

ą

przestrzeni

V

(tzw.

przestrze

ń

wektorów własnych odpowiadaj

ą

cych

warto

ś

ci własnej

λ ). Ponadto dim

dim

(

)

W

V

rz A

I

λ

λ

=

−

−

.

2)

Wektory własne odpowiadaj

ą

ce ró

ż

nym warto

ś

ciom własnym przekształcenia

f

s

ą

liniowo niezale

ż

ne.

3)

Przekształcenie

f

jest

diagonalizowalne

(tzn. w pewnej bazie przestrzeni

V

macierz

przekształcenia

f

jest diagonalna)

⇔ istnieje baza przestrzeni

V

zło

ż

ona z wektorów

własnych przekształcenia

f

⇔ suma wymiarów wszystkich przestrzeni własnych

odpowiadaj

ą

cych poszczególnym warto

ś

ciom własnym przekształcenia

f

jest równa

dimV

.

Wartości i wektory własne macierzy

Niech

A

b

ę

dzie macierz

ą

kwadratow

ą

stopnia n o elementach z ciała

K

. Wtedy

-

Skalar

K

λ

∈

nazywamy

wartością własną macierzy

A

, je

ż

eli

0

A

I

λ

−

= (tzn.

λ

jest

pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy

A

).

-

Niezerowy wektor

(

)

1

2

,

,

,

n

n

x x

x

K

∈

…

nazywamy

wektorem własnym macierzy

A

odpowiadającym wartości własnej

λ , je

ż

eli

(

)

1

2

0

0

0

n

x

x

A

I

x

λ





 





 





 

−

=





 





 

 









.

Uwaga:

Warto

ś

ci i wektory własne macierzy

A

s

ą

identyczne z warto

ś

ciami i wektorami

własnymi przekształcenia liniowego

:

n

n

f K

K

→

, dla którego macierz

A

jest macierz

ą

w

bazie standardowej przestrzeni

n

K

.

Macierz diagonalizowalna

Macierz kwadratowa

A

o elementach z ciała

K

jest

diagonalizowalna

, je

ż

eli istnieje

odwracalna macierz

P

(o elementach z ciała

K

) taka,

ż

e macierz

1

P AP

−

jest diagonalna.

Związek diagonalizowalności macierzy z wektorami własnymi

Macierz kwadratowa

A

stopnia n o elementach z ciała

K

jest

diagonalizowalna

⇔

istnieje

baza przestrzeni

n

K

zło

ż

ona z wektorów własnych macierzy

A

.