Fonony akustyczne

Fonony to drgania atomów w sieci kryształu. Najłatwiej jest je wyprowadzić z sieci liniowej:

Siła działająca na atom wychylony z położenia równowagi:

x

F

α

−

=

, gdzie

α

- stała siłowa

Z II prawa dynamiki Newtona:

a

m

F

w

=

← przyspieszenie = druga pochodna wychylenia po czasie:

n

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

−

+

−

=

+

−

1

1

&

&

(

)

1

1

2

+

−

+

−

=

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

&

&

-

n

- te równanie, dotyczące wychylenia

n

-tego atomu

Równanie to jest skojarzone z równaniem

1

−

n

i

1

+

n

.

Szukamy rozwiązania w postaci fali płaskiej:

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

, gdzie

x

na

=

to położenie atomu w sieci

(

)

2

2

−

+

=

−

−

iqa

iqa

e

e

m

α

ω

(

)

2

cos

2

2

−

=

−

qa

m

α

ω

(

)

qa

m

cos

1

2

−

=

α

ω

Korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych:

x

x

x

x

x

x

2

cos

1

sin

2

sin

2

1

sin

cos

2

cos

2

2

2

2

−

=

→

−

=

−

=

2

sin

2

2

sin

4

2

qa

m

qa

m

⋅

=













=

α

α

ω

- jest to wyrażenie na dyspersję sieci

Najkrótsza możliwa fala akustyczna, jaka może się rozchodzić w ciele stałym:

a

2

min

=

λ

, stąd

a

q

π

λ

π

=

=

min

max

2

Dla małych

α

:

α

α

≈

sin

→

uq

qa

m

=

⋅

=

α

ω

, gdzie

u

- prędkość dźwięku w krysztale

Po skwantowaniu tego pola harmonicznego uzyskamy fonony – elementarne drgania atomów:

Energia całkowita drgań:













+

=

2

1

n

E

ω

h

- okazuje się, że dla

0

=

n

występują drgania zerowe (atomy w sieci nie mogą być nieruchome)

Fonony optyczne

Rozpatrujemy sieć, w której mamy po dwa atomy na węzeł:

1

,

2

,

1

,

2

,

1

1

,

1

n

n

n

n

n

m

ξ

β

ξ

β

ξ

α

ξ

α

ξ

−

+

−

=

−

&

&

2

,

1

,

1

2

,

1

,

1

,

2

n

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

β

ξ

β

ξ

−

+

−

=

+

&

&

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

1

,

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

2

,

Dla obu atomów częstość i wektor falowy są takie same, różne są natomiast amplituda i faza.
Otrzymujemy układ równań:







−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

−

B

Ae

B

A

B

m

A

B

A

Be

A

m

iqa

iqa

α

α

β

β

ω

β

β

α

α

ω

2

2

2

1







=

−

+

+

−

−

=

+

−

−

+

−

0

]

)

[(

)

(

0

)

(

]

)

[(

2

2

2

1

ω

β

α

α

β

β

α

ω

β

α

m

B

e

A

e

B

m

A

iqa

iqa

W zapisie macierzowym:













=

























−

+

+

−

+

−

−

+

−

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

B

A

m

e

e

m

iqa

iqa

ω

β

α

β

α

β

α

ω

β

α

Rozwiązanie nietrywialne istnieje wtedy, gdy wyznacznik macierzy

0

≠

.

0

)

)(

(

]

)

][(

)

[(

2

2

2

1

=

+

+

−

−

+

−

+

−

β

α

β

α

ω

β

α

ω

β

α

iqa

iqa

e

e

m

m

gdy przyjmiemy, że

m

m

m

=

=

2

1

, ilość rozwiązań się nie zmieni, a za to równanie się uprości:

0

)

cos

2

(

]

)

[(

2

2

2

2

=

+

+

−

−

+

qa

m

αβ

β

α

ω

β

α

2

δ

=

δ

ω

β

α

±

=

−

+

2

)

(

m

m

δ

β

α

ω

±

+

=

)

(

Gdy

0

=

q

,

2

2

2

2

)

(

2

β

α

αβ

β

α

δ

+

=

+

+

=

m

)

(

2

,

0

β

α

ω

ω

+

=

=

+

−

Gdy

a

q

π

=

,

2

2

2

2

)

(

2

β

α

αβ

β

α

δ

−

=

−

+

=

m

m

α

ω

β

ω

2

,

2

=

=

+

−

Jak zinterpretować to rozwiązanie?

Górna linia to drgania optyczne – atomy z jednego węzła wychylają się w przeciwne strony.
Dolna linia – drgania akustyczne, w których atomy z jednego węzła wychylają się w tę samą stronę.

Wśród tych drgań wyróżniamy jeszcze fale poprzeczne:

1

T

i

2

T

, oraz fale podłużne L.

Tworzą one tzw. gałęzie: 3 gałęzie akustyczne, oraz 3(n-1) gałęzi optycznych.