Fizyka Ciała Stałego II

opracowanie zagadnień

1. Ciepło właściwe wg Debye’a.

Ciepło właściwe, powtórka:
Gaz doskonały, jednoatomowy:

ciepło właściwe przy stałej objętości

R

c

V

2

3

=

ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

R

c

p

2

5

=

- wyniki, które chcemy wyprowadzić.

Dla 1 mola gazu:

R

T

pV

=

Rozważmy gaz w sześciennym pudle o krawędzi l . Możemy rozpatrywać oddzielnie każdą cząstkę.
Jeśli prędkość danej cząstki w jednym kierunku, np. w kierunku y , wynosi

y

v

, to

czas między kolejnymi uderzeniami o ściankę:

y

v

l

t

2

=

.

Zmiana pędu w jednorazowym akcie zderzenia:

y

mv

p

2

=

∆

Siła:

dt

p

d

dt

v

d

m

a

m

F

=

=

=

, stąd siła działająca na ścianki:

l

mv

v

l

mv

t

p

F

y

y

y

2

2

2

=

=

∆

=

Ciśnienie, jakie wywiera jedna cząsteczka na ścianki naczynia:

V

mv

l

mv

l

F

p

y

y

2

3

2

2

=

=

=

Gdy weźmiemy dużo cząstek:

ś

rednia prędkość:

2

2

2

2

z

y

x

ś

r

v

v

v

v

+

+

=

z

y

x

v

v

v

=

=

→

2

2

2

2

3

1

ś

r

z

y

x

v

v

v

v

=

=

=

Ciśnienie całkowite jednego mola:

V

mv

N

p

A

cał

3

2

=

2

3

1

mv

N

V

p

A

cał

=

1

2

2

k

E

mv

=

- energia kinetyczna 1 cząsteczki

U

E

E

N

V

p

cał

k

k

A

cał

3

2

3

2

3

2

,

1

=

=

=

Ze wzoru

R

T

pV

=

→

RT

pV

=

RT

U

=

3

2

→

RT

U

2

3

=

Ciepło właściwe to ilość energii, jaką musimy dostarczyć, aby ogrzać ciało o 1°C:

R

T

U

V

2

3

=













∂

∂

A co będzie, jeśli zmienimy objętość, np. przesuwając tłok o powierzchni S o x

∆

?

Praca wykonana podczas przesuwania tłoka:

V

p

x

S

p

x

F

W

∆

⋅

=

∆

⋅

⋅

=

∆

⋅

=

p

RT

V

=

p

RT

V

1

1

=

p

RT

V

2

2

=

→

(

)

T

R

T

T

p

R

p

V

p

W

∆

⋅

=

−

=

∆

⋅

=

1

2

Stąd dodatkowa praca wykonana kosztem dostarczonego ciepła na rozprężenie gazu:

R

T

W

=

∆

∆

R

R

R

T

U

p

2

5

2

3

=

+

=













∂

∂

Ciepło właściwe dla ciał stałych (prawo Doulonge’a – Petitte’a) :

R

T

U

V

3

=













∂

∂

Zależność ciepła właściwego od temperatury jest jak

3

T . Próbował to wyjaśnić najpierw Einstein, który

założył, że drgania sieci są skwantowane. Jego teoria dobrze sprawdzała się w pewnym zakresie
temperatur, jednak uwzględniała tylko drgania optyczne, podczas gdy w niskich temperaturach
dominują drgania akustyczne.
W pełni wyjaśnił tą zależność Debye, który założył liniową zależność częstości od wektora falowego.
Rozważmy wielkość zależną od temperatury. Temperatura wynika z drgań fononów o częstości

ω

od 0 do

max

ω

:

ω

ω

ω

ω

ω

d

Z

f

A

T

A

⋅

⋅

⋅

=

∫

)

(

)

(

)

(

)

(

| |

prawdopodobieństwo gęstość
obsadzenia stanu
o danej częstości

N

d

Z

3

)

(

max

0

=

⋅

∫

ω

ω

ω

- ilość drgań zależnych od wektora falowego dla fononów

Oznaczenie wektora falowego: elektrony -

k

, fonony - q

π

π

8

1

)

2

(

1

)

(

3

=

=

q

Z

- podobnie jak dla elektronów, tylko 2 razy mniej, bo bez spinów (dla

1

=

V

)

Fala stojąca w ciele stałym jest skwantowana
(mamy skończoną ilość możliwych długości fali)
– długość fali jest ograniczona od góry przez
rozmiary kryształu, a od dołu przez odległość
między atomami.

ω

ω

π

d

Z

dq

q

q

Z

dN

⋅

=

⋅

=

)

(

4

)

(

1

2

1

(dla jednej gałęzi drgań)

ω

π

ω

π

π

ω

d

dq

q

d

dq

q

Z

2

2

3

2

1

2

8

4

)

(

=

=

Debye założył, że częstość jest zależna liniowo od
wektora falowego, a współczynnikiem
proporcjonalności jest prędkość dźwięku.

q

u

⋅

=

ω

→

u

d

dq

1

=

ω

,

2

2

2

u

q

ω

=

, stąd:

3

2

2

1

2

)

(

u

Z

π

ω

ω

=

Powyższy wynik dotyczy jednej gałęzi. A więc całkowita gęstość:

3

2

2

1

2

3

)

(

3

)

(

u

Z

Z

π

ω

ω

ω

=

⋅

=

N

d

Z

3

)

(

max

0

=

⋅

∫

ω

ω

ω

→

A

N

u

d

u

3

2

2

3

3

2

3

max

0

3

2

2

max

=

=

⋅

∫

π

ω

ω

π

ω

ω

- wstawiamy tu liczbę Avogadro

(liczymy ciepło molowe)

A

N

u

3

2

3

max

6

π

ω

=

→

u

N

A

⋅

=

3

2

max

6

π

ω

∫

⋅

−

⋅

=

max

0

3

2

2

2

3

1

1

)

(

)

(

ω

ω

ω

π

ω

ω

d

u

e

A

T

A

kT

h

|

statystyka Bosego-Einsteina (fonony są bozonami)

Bierzemy zmienną do całkowania:

kT

ω

h

























−

⋅













=

∫

kT

d

kT

e

A

kT

u

T

A

kT

kT

ω

ω

ω

π

ω

ω

h

h

h

h

h

0

2

3

3

2

1

1

)

(

2

3

)

(

Debye zauważył, że

k

ω

h

ma wymiar temperatury (bo

kT

ω

h

jest bezwymiarowe)

stąd:

Θ

=

k

max

ω

h

- tzw. temperatura Debye’a

max

ω

zależy od prędkości dźwięku:

u

N

A

⋅

=

3

2

max

6

π

ω

z kolei

m

u

α

~

, gdzie

α

- stała sprężystości

A

N

u

2

3

max

3

6

π

ω

=

- wstawiamy to do wyrażenia przed całką:

3

3

max

3

3

max

2

2

9

9

2

6

3













Θ

=













=













⋅

T

N

kT

N

kT

N

A

A

A

h

h

ω

ω

π

π

, a stąd:

x

d

e

x

A

T

N

T

A

T

x

A

∫

Θ

−

⋅













Θ

=

0

2

3

1

)

(

9

)

(

ω

- jest to wzór odnoszący się do wszystkich materiałów

Możemy policzyć średnią energię:
energia 1 fononu:

ω

ω

h

=

)

(

A

ś

rednia energia:

x

d

e

x

A

T

N

U

T

A

T

x

A

∫

Θ

−

⋅













Θ

=

=

0

2

3

1

)

(

9

)

(

ω

ω

h

zauważamy, że:

kTx

kT

kT

=













=

ω

ω

h

h

x

d

e

x

T

kN

U

T

x

A

∫

Θ

−

⋅

Θ

=

0

3

3

4

1

9

,

R

kN

A

=

Ostatecznie:

x

d

e

x

T

R

U

T

x

∫

Θ

−

⋅

Θ

=

0

3

3

4

1

9

Rozwiązanie analityczne:
1° wysokie temperatury:

Θ

>>

T

,

1

<<

x

,

1

max

<<

x

,

x

x

e

x

=

−

+

≈

−

1

1

1

RT

T

T

R

x

d

x

T

R

U

T

3

9

9

3

3

3

4

0

2

3

4

=

Θ

⋅

Θ

=

⋅

Θ

=

∫

Θ

,

R

T

U

c

V

3

=













∂

∂

=

2° niskie temperatury:

Θ

<<

T

→

∞

→

Θ

T

,

const

x

d

e

x

x

=

=

−

∫

∞

15

chyba

1

2

0

3

π

Θ

≅

4

5

3 RT

U

,

3

~ T

T

U

c

V













∂

∂

=

- pojawia się zależność, którą wcześniej otrzymano

Dla elektronów w metalach:

T

c

V

~

.