RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Modele wzrostu populacji

P – populacja t- czas k – stała proporcjonalności

Zatem dowolna funkcja postaci

jest rozwiązaniem równania.

Jest to dobry model wzrostu populacji w idealnych warunkach.

Wzrost populacji w środowisku z ograniczeniami

−

pojemność danego środowiska

K - pojemność danego środowiska

populacja wzrasta bez ograniczeń aż do czasu gdy przekroczy liczbę K

dla P < K;

gdy P > K, czyli populacja maleje gdy przekroczy liczbę K.

Najprostsze równanie spełniające te założenia to

Jest to tzw. równanie logistyczne (Verhulst, ok. 1840 r).

Równanie to posiada dwa stałe rozwiązania, tzw. rozwiązania równowagi

Model ruchu sprężyny

Sprężyna działa zgodnie z prawem Hooke'a, które mówi, że jeśli jest
rozciągnięta lub zduszona o x w stosunku do swojej naturalnej długości to
reaguje z siłą proporcjonalną do x, tj.

F = - kx

gdzie k jest stałą zależną od sprężyny.

Z drugiego prawa Newton'a (siła = masa razy przyspieszenie)

Znamy funkcje o podobnej własności (druga pochodna jest proporcjonalna
samej funkcji),

np. sinx oraz cosx.

Oznacza to że sprężyna powinna oscylować wokół stanu równowagi.

OGÓŁNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO

Rozwiązania tego równania są postaci y=f(x) i muszą spełniać równanie

Przykład

Funkcje postaci

są rozwiązaniami równania

Obliczamy pochodną

i podstawiamy

W rozwiązywaniu równań różniczkowych jest bardzo ważne spełnienie warunku
y(x

0

) = C, tzw. warunku początkowego.

Przykład cd. Jakie rozwiązanie spełnia warunek początkowy y(0) = 2?

Podstawiając do ogólnej postaci rozwiązania wartości t=0 oraz y=2

otrzymujemy

skąd c = 1/3. Zatem rozwiązaniem równania różniczkowego z warunkiem
początkowym y(0)= 2 jest

Metoda pól kierunków

Przykład

Trudno zgadnąć rozwiązanie ale metoda pól kierunkowych pozwoli naszkicować
rozwiązanie.

y' - współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji y(x)

Przykład

Naszkicuj rozwiązanie równania

Rozwiązanie

Równanie o rozdzielonych zmiennych

Przykład

Rozwiąż równanie

z warunkiem początkowym

Rozwiązanie.

Znajdujemy C dla warunku początkowego

Postać uwikłana rozwiązania

Model rozwoju populacji

k > 0 prawo naturalnego wzrostu

k < 0 prawo naturalnego rozpadu

warunek początkowy

Wzrost populacji

Wartość nazywamy relatywnym wzrostem

Przykład

Wtedy otrzymujemy funkcję wzrostu postaci:

Inne możliwe k:

Przykład

Użyj tabeli i modelu do estymacji populacji w roku 1993 i 2010.

Niech t=0=1950

Obliczmy k przy pomocy roku 1960.

Wtedy

Stan 2010:

6,887,600,000

Rozpad radioaktywny

k < 0

czas połowicznego rozpadu

Przykład Rad 226 – czas połowicznego rozpadu 1590 lat

Próbka ma 100 mg. Znajdź wzór na masę próbki z zależności od czasu. Jaką
będzie miała masę po 1000 lat? Kiedy będzie miała masę mniejszą niż 30mg?

Wiemy, że

Zatem

oraz

Zatem

Model logistyczny

Pole kierunków

Przykład k= 0,08 K= 1000

Rozwiązanie

Lewa strona

Po rozkładzie

Biorąc t=0

Ogólna postać rozwiązania

z