(P) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.

1. Rozwiąż równanie / nierówność; układ nierówności:

a)

(

)

(

)(

)

1

:

2

7

7

1

2

1

2

2

−

=

+

−

−

+

=

−

x

odp

x

x

x

x

b)

(

)

1

5

2

+

<

x

x

i wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające tę nierówność. odp: {-9,-8,…-1}

c)

(

)

(

)(

)

)

;

3

2

:

3

2

10

2

2

2

3

+∞

−

∈<

+

−

≥

+

−

x

odp

x

x

x

x

d)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

}

;

6

:

5

3

1

3

2

4

4

3

4

2

2

3

3

2

+∞

∈<









−

−

<

+

−

−

+

−

≤

+

+

−

x

odp

x

x

x

x

x

x

x

e)

(

)(

)

(

)

(

)

∅

∈







−

<

−

−

+

≥

+

−

x

odp

x

x

:

3

2

6

2

3

3

3

2

2

1

2

2

2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że wykres przechodzi:

a)

przez punkt P(2;4) i jest nachylony do osi OX pod kątem

π

α

4

3

=

i wyznacz zbiór tych

argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne,

odp:

)

;

2

;

2

+∞

−

∈<

+

−

=

x

x

y

b)

przez dwa punkty

)

3

;

6

(

A

oraz

)

3

;

0

( −

B

i wyznacz kąt nachylenia wykresu tej funkcji do

osi OX, odp:

6

;

3

3

3

π

α

=

−

=

x

y

c)

przez punkt A(4;4) i jest równoległy do wykresu funkcji

4

2

1

+

−

=

x

y

i wyznacz jej punkty

przecięcia z osiami, odp:

)

0

;

12

(

);

6

;

0

(

;

6

2

1

B

A

x

y

+

−

=

d)

przez punkt

)

2

2

4

;

1

(

+

−

A

i jest prostopadły do wykresu funkcji

x

y

)

2

2

3

( −

=

i wyznacz

jej miejsca zerowe, odp:

(

)

2

2

3

;

1

3

2

2

0

−

=

+

+

−

=

x

x

y

e)

)

3

;

(

0

)

(

6

)

1

(

−∞

∈

⇔

>

∧

=

x

x

f

f

odp: y = -3x + 9

f)

0

)

(

:

3

)

3

(

<

∈

∀

∧

−

=

−

x

f

R

x

f

odp: y = -3

3. O funkcji liniowej f wiadomo, że osiąga wartości dodatnie tylko dla x>2 oraz dla argumentu 4
przyjmuje wartość 5.

a) napisz wzór tej funkcji i sporządź jej wykres,

R

x

x

y

odp

∈

−

=

,

5

2

5

:

b) wyznacz wzór proporcjonalności prostej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f.

R

x

x

y

odp

∈

−

=

,

5

2

:

4. Narysuj wykres funkcji f(x) =











+∞

−

∈

+

>

−

−∞

∈

−

−

)

;

3

(

1

3

2

3

;

(

2

3

1

x

dla

x

x

dla

x

. Wyznacz jej miejsca zerowe i zbiór

wartości. odp:

)

;

1

;

2

3

6

+∞

−

=<

−

=

∨

−

=

ZW

x

x

5. Wierzchołkami ABC

∆

są punkty: A(-1;1), B(8;-2), C(2;4). Wyznacz równanie prostej zawierającej

bok AB oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka C. Wykonaj
rysunek. Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na tym trójkącie.

odp:

)

2

1

;

2

7

(

;

2

3

:

;

3

2

3

1

:

−

−

=

+

−

=

S

x

y

h

x

y

AB

c

6. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(-1;0), B(3;2). odp: y = -2x + 3

7. Wyznacz obraz punktu P(4;5) w symetrii względem prostej

3

2

1

+

−

=

x

y

. odp:

)

5

7

;

5

4

(

'

−

P

(PP) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.

1. Rozwiąż równanie

(

)

)

3

(

)

1

2

(

2

1

2

3

−

+

−

=

−

x

x

x

x

i sprawdź, czy rozwiązanie tego równania jest

miejscem zerowym funkcji

1

)

1

2

(

+

+

=

x

y

. odp:

tak

x

;

2

1−

−

=

2. Rozwiąż nierówność:

a)

)

;

6

(

:

3

1

2

1

+∞

−

∈

≤









+

−

x

odp

x

; b)

[

]

)

;

2

1

2

:

1

3

2

+∞

∈<

>

−

x

odp

x

3. Sporządź wykres funkcji

2

6

9

)

(

2

+

+

−

−

=

x

x

x

x

f

. Zapisz wzór funkcji, nie używając symbolu

wartości bezwzględnej i określ jej przedziały monotoniczności.

odp:

)

;

3

;

0

;

(

;

3

;

0

+∞

<

>

−∞

>

<

w

const

w

rosn

4. Rozwiąż algebraicznie nierówności:

a)

)

1

;

1

(

:

1

4

4

1

3

2

−

∈

>

+

−

−

−

x

odp

x

x

x

;

b)

)

;

2

16

;

(

:

9

4

4

5

2

2

+∞

<

∪

>

−

−∞

∈

≥

+

−

−

+

x

odp

x

x

x

5. Wyznacz wartości parametru m, dla których wykres funkcji:

(

)

(

)

m

x

m

x

f

−

+

−

−

=

1

2

1

2

)

(

a)

przechodzi przez III, IV i I ćwiartkę układu współrzędnych,

b)

przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych,

c)

jest równoległy do prostej AB, gdzie A(-3;-1), B(-1;3),

d)

jest prostopadły do prostej CD, gdzie C(2;-4), D(-3;1),

e)

ma miejsce zerowe x

0

= -1,

f)

jest nachylony do osi OX pod kątem

π

α

π

4

3

2

≤

<

.

6. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru p:

a)

(

)

{

}

2

;

2

0

;

2

1

,

2

;

2

1

:

2

4

1

=

−

=

+

=

−

−

∈

−

=

−

p

dla

nwr

p

dla

p

x

R

p

dla

odp

x

px

p

b)

{ }

2

;

2

2

,

2

1

:

)

1

(

4

4

2

2

=

−

+

=

−

∈

+

−

=

−

p

dla

nwr

p

p

x

R

p

dla

odp

x

p

px

x

p

7. Zbadaj dla jakich wartości parametru m (

R

m ∈

) równanie ma rozwiązania:

a)

2

=

−

−

x

x

mx

b)

2

3

3

1

2

−

+

=

+

⋅

+

x

x

m

8. Średnie zużycie paliwa dla samochodu marki Chrysler Voyager wynosi 12 l na 100 km. Wiedząc,
ż

e samochód początkowo miał w baku 50 l paliwa, opisz zależność między ilością paliwa, które

pozostanie w baku (p), a przebytą drogą (s). Narysuj wykres tej funkcji. Po ilu kilometrach paliwo
zostanie zużyte. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

odp:

km

s

s

s

p

7

,

416

;

3

1250

;

0

;

100

12

50

)

(

≈

〉

〈

∈

−

=

9. Sekretarka prezesa pewnej firmy otrzymuje stałą pensję miesięczną w wysokości 1800zł, 10%
premię uznaniową oraz dodatkowe wynagrodzenie za nadgodziny. W styczniu miała 20 nadgodzin i
otrzymała, wraz z premią 2220zł. A) oblicz stawkę za godzinę nadliczbową, b) napisz wzór funkcji
wyrażającej wynagrodzenie sekretarki (z premią) w zależności od liczby przepracowanych godzin

nadliczbowych. odp:

N

n

n

n

w

b

a

∈

+

=

,

12

1980

)

(

)

;

12

)