Laboratorium z Podstaw Automatyki

1

Laboratorium nr 3

Projektowanie układów automatyki

z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka

1. Cele

ć

wiczenia

•

poznanie sposobów tworzenia liniowych modeli układów automatyki, zmiana postaci modeli,

•

tworzenie schematów blokowych układów automatyki,

•

wyznaczanie charakterystyk czasowych i cz

ę

stotliwo

ś

ciowych układów automatyki

2. Wprowadzenie teoretyczne

2.1 Modele układów automatyki

W Matlabie najcz

ęś

ciej wykorzystuje si

ę

nast

ę

puj

ą

ce postacie liniowych modeli dynamicznych:

•

równania stanu i wyj

ś

cia

Do ich pełnego okre

ś

lenia wystarcza podanie macierzy A, B, C i D

Np.

[ ]

[ ]

0

2

1

0

1

0

1

2

3

=

=













=













−

−

=

D

C

B

A

Wykorzystuj

ą

c instrukcj

ę

ss(A, B, C, D) mo

ż

emy zobaczy

ć

posta

ć

modelu na ekranie.

•

macierze transmitancji (tylko dla układów SIMO - jedno wej

ś

cie, wiele wyj

ść

)

Transmitancje podaje si

ę

w postaci pary wektorów zawieraj

ą

cych współczynniki licznika i mianownika,

przy czym umieszcza si

ę

je tam wg malej

ą

cych pot

ę

g operatora s.

Np. wektory: L = [1 2], M = [1 3 2] odpowiadaj

ą

transmitancji:

G s

s

s

s

( )

=

+

+ +

2

3

2

2

Wykorzystuj

ą

c instrukcj

ę

tf(L, M) mo

ż

emy zobaczy

ć

posta

ć

transmitancji na ekranie.

2.2. Zmiana postaci modeli

•

funkcje ss2tf oraz tf2ss

[L, M] = ss2tf (A, B, C, D, iu)

[A, B, C, D] = tf2ss (L, M)

Funkcja ss2tf zamienia równania stanu na odpowiadaj

ą

c

ą

im transmitancj

ę

liczon

ą

wzgl

ę

dem wej

ś

cia

o numerze iu. Wektor L zawiera współczynniki licznika transmitancji. Wektor M zawiera współczynniki
mianownika transmitancji.

Funkcja tf2ss dokonuje konwersji opisu układu w postaci transmitancji na opis w postaci zmiennych
stanu. Kolejne macierze oznaczaj

ą

: A – macierz stanu, B – macierz wej

ść

, C – macierz wyj

ść

, D –

macierz transmisji.

Laboratorium z Podstaw Automatyki

2

2.3. Tworzenie schematów blokowych

Poni

ż

ej przedstawiono funkcje umo

ż

liwiaj

ą

ce uzyskanie wypadkowych modeli dla układów ze

sprz

ęż

eniem zwrotnym oraz poł

ą

czonych szeregowo lub równolegle

•

cloop - układ z czystym sprz

ęż

eniem zwrotnym

[L, M] = cloop (L1, M1,znak)

•

feedback - układ ze sprz

ęż

eniem zwrotnym z kompensatorem w obwodzie sprz

ęż

enia

[L, M] = feedback (L1, M1, L2, M2, znak)

•

series - szeregowe poł

ą

czenie dwóch układów

[L, M] = series (L1, M1, L2, M2)

•

parallel - równoległe poł

ą

czenie dwóch układów

[L, M] = parallel (L1, M1, L2, M2)

Znak sprz

ęż

enia - parametr znak powinien mie

ć

warto

ść

1 (domy

ś

lnie) dla sprz

ęż

enia dodatniego i

warto

ść

-1 dla ujemnego.

2.4. Wyznaczanie charakterystyk czasowych

Charakterystyka impulsowa dla układów ci

ą

głych.

•

impulse (A, B, C, D, iu)

•

impulse (L, M)

•

[Y, X, t] = impulse (L, M)

Charakterystyka skokowa dla układów ci

ą

głych.

•

step (A, B, C, D, iu)

•

step (L, M)

•

[Y, X, t] = step (L, M)

2.5. Wyznaczanie charakterystyk cz

ę

stotliwo

ś

ciowych

Charakterystyka amplitudowo- fazowa dla układów ci

ą

głych.

•

nyquist (A, B, C, D, iu)

•

nyquist (L, M)

•

[re, im, w] = nyquist (L, M)

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe dla układów ci

ą

głych.

•

bode (A, B, C, D, iu)

•

bode (L, M)

•

[ampl, faza, w] = bode (L, M)

Laboratorium z Podstaw Automatyki

3

3. Przebieg

ć

wiczenia

3.1. Dla podanych macierzy dokona

ć

zamiany modelu na posta

ć

transmitancji operatorowej

a)













−

−

=

1

,

2

2

,

4

A

[ ]

]

0

[

0

1

1

0

=

=













=

D

C

B

b)

[

]

]

0

[

0

1

1

1

0

0

0

3

0

1

0

0

0

1

1

=

=





















=





















−

−

=

D

C

B

A

3.2. Dla podanych transmitancji operatorowych dokona

ć

zamiany modelu na posta

ć

macierzow

ą

a)

( )

1

2

4

+

=

s

s

s

G

,

b)

( )

6

4

2

2

+

+

=

s

s

s

G

,

c)

( )

s

s

G

5

1

=

,

d)

( )

3

=

s

G

3.3. Wyznaczy

ć

charakterystyki czasowe oraz cz

ę

stotliwo

ś

ciowe nast

ę

puj

ą

cych elementów

automatyki:

a) element proporcjonalny: K = 2;

b) element całkuj

ą

cy idealny: K = 3;

c) element ró

ż

niczkuj

ą

cy idealny: T = 5;

d) element ró

ż

niczkuj

ą

cy rzeczywisty: T

1

= 0.1, T

2

= 8;

e) element inercyjny I-go rz

ę

du: K=3, T = 1;

f) element inercyjny II-go rz

ę

du: K=2, T

1

= 2, T

2

= 4;

g) element oscylacyjny II-go rz

ę

du: K = 1,

ω

= 1,

ζ

= 0.4;

Przykład 1

Wyznaczy

ć

charakterystyki czasowe oraz cz

ę

stotliwo

ś

ciowe elementu inercyjnego I-go rz

ę

du:

( )

1

+

=

Ts

K

s

G

gdzie: K = 1, T = 3

>> l=[1];
>> m=[3,1];
>> step(l,m)
>> grid

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Res pons e

Time (s ec )

A

m

p

lit

u

d

e

>> impulse(l,m)
>> grid

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Impuls e Res pons e

Time (s ec )

A

m

p

lit

u

d

e

Laboratorium z Podstaw Automatyki

4

>> nyquist(l,m)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

>> bode(l,m)
>> grid

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

M

a

g

n

itu

d

e

(

d

B

)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-90

-45

0

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec )

3.4. Przyjmuj

ą

c nast

ę

puj

ą

ce dane: Kr = 1.5, T

d

= 3, T

i

= 2 i T = 1 napisa

ć

m-plik, który pozwoli

wykre

ś

li

ć

charakterystyki: skokow

ą

, impulsow

ą

, amplitudowo-fazow

ą

, logarytmiczn

ą

modułu i

fazy dla układu przedstawionego poni

ż

ej.

Przykład 2

Przyjmuj

ą

c nast

ę

puj

ą

ce dane: K = 2 i T = 4 napisa

ć

m-plik, który pozwoli wykre

ś

li

ć

charakterystyk

ę

amplitudowo–fazow

ą

, logarytmiczna modułu i logarytmiczn

ą

fazy dla układu przedstawionego poni

ż

ej.

%Dane

k=1.5;T=3;

%Licznik i mianownik k+1/Ts

[L,M]=parallel([k],[1],[1],[T 0]);

w=0:0.01:200;

[mod,faza,w]=bode(L,M);

%Charakterystyka amplitudowo - fazowa

nyquist(L,M,w);axis([-1 5 -5 2]);grid;pause

%Charakterystyka logarytmiczna modułu

semilogx(w,20*log10(mod)); grid;ylabel('Lm [dB]');pause

%Charakterystyka logarytmiczna fazy

semilogx(w,faza); grid;ylabel('faza [stopnie]');pause;

Laboratorium z Podstaw Automatyki

5

3.5. Dla układów opasanych macierzami A, B, C, D w punkcie 3.1, wyznaczy

ć

odpowied

ź

skokow

ą

w

Matlabie a nast

ę

pnie zbudowa

ć

modele tych układów w Simulinku i równie

ż

wyznaczy

ć

dla nich

odpowiedz skokow

ą

.

4. Sprawozdanie z przebiegu

ć

wiczenia

Na podstawie przeprowadzonych symulacji nale

ż

y przygotowa

ć

sprawozdanie, które powinno

zawiera

ć

zrealizowane na zaj

ę

ciach ró

ż

ne modele układów automatyki, przebiegi charakterystyk

czasowych i cz

ę

stotliwo

ś

ciowych dla badanych układów oraz wnioski ko

ń

cowe.

Literatura

[1] Brzózka J.,

Ć

wiczenia z Automatyki w MATLABIE i SIMULINKU, Wydawnictwo Mikon,

Warszawa 1997

[3] Zalewski A., Cegieła R., MATLAB: obliczenia numeryczne i ich zastosowania, Wydawnictwo

Nakom, Pozna

ń

1996