D

YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

–

PRZYKŁADOWE ZADANIA

1. Wyznacz moment bezwładności wyciętego krążka względem osi obrotu O

1

i O

2

. Masa pełnego krążka jest równa M, a

promień R:

2. Wyznacz przyspieszenia liniowe mas i przyspieszenie kątowe bloczka:

3. Na bęben o promieniu R i masie M nawinięto sznurek do którego przywiązano ciężar o masie m. Ciężar znajduje się na

wysokości h. W pewnej chwili ciężar został puszczony i zaczął się opuszczać. Po jakim czasie ciężar dotknie ziemi?

4. Ciężka szpula z nawiniętą nicią stoi na płaszczyźnie poziomej po której może się toczyć bez poślizgu. Obliczyć

przyspieszenie a środka masy szpulki oraz siłę tarcia T, jeśli do nici przyłożono siłę F w kierunku równoległym do
płaszczyzny. Masa szpulki m, moment bezwładności względem osi szpulki I

0

, promień wewnętrzny r, zewnętrzny R.

Rozważyć trzy przypadki:

5. Ciężka szpula z nawiniętą nicią do której przyłożono siłę F leży na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim

przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się szpula w zależności od kąta między kierunkiem siły działającej na nić a
płaszczyzną. Szpula porusza się ruchem obrotowym bez poślizgu. Masa szpulki m, moment bezwładności względem osi
szpulki I

0

, promień wewnętrzny r, zewnętrzny R.

6. Kula i cienka obręcz, o masie m i promieniu R zaczynają staczać się bez poślizgu z równi o kącie nachylenia a z wysokości

h. Znaleźć ich przyspieszenia liniowe i kątowe oraz prędkość u podnóża równi.

7. Z jakim przyspieszeniem liniowym i kątowym staczają się bez poślizgu kula i walec (kula i cienkościenna rura, walec i

obręcz), których środki połączono sztywnym prętem, z równi o kącie nachylenia . Jaką wartość mają siły tarcia? Masa
kuli i walca jest równa m a ich promienie R.

8. Z wysokości h stacza się bez poślizgu walec i kula. Która z brył będzie obracać się z większą częstotliwością u podnóża

równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi , masa kuli i walca m, promienie R. Oblicz stosunek energii kinetycznych
ruchu postępowego i obrotowego.

9. Ile czasu będzie się staczać bez poślizgu kula (walec, obręcz) o masie m i promieniu R z równi o kącie nachylenia , z

wysokości h.

10. Z wysokości h stacza się bez poślizgu walec. W drugim przypadku ta sama bryła zsuwa się bez tarcia. W którym

przypadku walec będzie miał większą prędkość u podnóża równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi , masa walca
m, promień R.

11. Na równię o kącie nachylenia zaczyna wtaczać się bez poślizgu walec (kula, cienkościenna rura), poruszający się przy

początku równi z prędkością v. Obliczyć drogę jaką przebędzie walec (kula, rura) do chwili zatrzymania się.

12. Z jakim przyspieszeniem opuszcza się masa m

1

w sytuacji jak na rysunku? Dany jest współczynnik tarcia k. Blok obraca

się pod działaniem nici. Promień bloku jest równy R.

13. Znaleźć użyteczną moc silnika wprawiającego w ruch platformę w kształcie kołowej tarczy o masie 200 kg i promieniu

2m, na brzegu której stoi człowiek o masie 70 kg, jeżeli wiadomo, że platforma osiąga częstotliwość obrotów 1 Hz w
czasie 40 s.

14. Kulka o masie m lecąca poziomo z prędkością v uderzyła w koniec pręta o masie M i długości L i odbiła się od niego 50 %

swojej prędkości. O jaki maksymalny kąt odchyli się pręt? Ile ciepła wydzieli się w wyniku tego zderzenia? Oś na której
zawieszony jest pręt przechodzi przez koniec pręta i pręt może obracać się wokół niej.

15. Dwie tarcze o masach m

1

i m

2

i promieniach r

1

i r

2

wirują wokół tej samej osi (prostopadłej do obydwu tarcz) z

częstotliwościami f

1

i f

2

. W pewnej chwili tarcze zsunęły się i zlepiły. Z jaką częstotliwością końcową wirują tarcze i ile

wydzieliło się ciepła? Tarcze wirują: a) w tym samym kierunku; b) w kierunkach przeciwnych.

16. Ze studni za pomocą kołowrotu podnoszone jest wiadro z wodą o masie 12 kg. W chwili gdy wiadro znajduje się na

wysokości 6 m nad powierzchnią wody, oswobodzono rączkę kołowrotu i wiadro zaczęło opuszczać się w dół. Znaleźć
prędkość liniową rączki kołowrotu w chwili uderzenia wiadra o powierzchnię wody, jeżeli odległość rączki od osi obrotu
jest równa 35 cm, promień wału kołowrotu 10 cm, a jego masa 18 kg. Zaniedbać ciężar liny na której zawieszone jest
wiadro.

17. Koło zamachowe o masie M przymocowane jest współśrodkowo do krążka o promieniu r i masie m. Krążek wprawiany

jest w ruch obrotowy za pomocą opuszczającego się w dół ciężarka o masie 3m przywiązanego do nawiniętego na krążek
sznurka. Po jakim czasie częstość obrotów koła zamachowego będzie równa f? Przyjąć, że cała masa koła zamachowego
rozłożona jest na jego obwodzie w odległości R od osi obrotu.

18. Do końca cienkiej, nierozciągliwej nici, nawiniętej na walcowy blok o promieniu r i masie m

1

przyczepiono ciało o masie

m

2

, które znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia (jak na rysunku). Jaką drogę przebędzie ciało po równi w

czasie t, jeżeli współczynnik tarcia jest równy k. Ciało początkowo spoczywa, tarcie na osi bloku można zaniedbać.

19. Tarcza o masie 200 g i promieniu 50 cm wiruje z częstotliwością 2 Hz. Na środku tarczy siedzi mysz o masie 150 g. Oblicz

częstotliwość obrotów, gdy mysz przejdzie na brzeg taczy.

20. Oblicz moment bezwładności:

a) kuli o masie 500g i średnicy 6 cm względem osi stycznej do kuli

b) pręta o masie 1 kg i długości 80 cm względem osi prostopadłej do pręta przechodzącej w odległości 10 cm od jego
końca.

21. Znaleźć hamujący moment siły, który może zatrzymać w czasie 10 s koło zamachowe o masie 20 kg i promieniu 0.4m,

obracające się z częstotliwością 5 Hz. Założyć, że masa rozłożona jest na obwodzie. Obliczyć pracę wykonaną przy
zatrzymaniu koła.

22. Z gwiazdy o masie 4*10

30

kg, promieniu 10

6

km i okresie wirowania 10

5

s w czasie wybuchu supernowej zostaje

odrzuconych w przestrzeń kosmiczną 90% masy. Z pozostałej masy powstaje gwiazda neutronowa o promieniu 100 km.
Odrzucona masa nie unosi momentu pędu. Oblicz okres wirowania gwiazdy neutronowej oraz gęstość gwiazdy przed i po
wybuchu.

23. Na brzegu karuzeli w kształcie obracającej się wokół osi tarczy o promieniu 0.8 m i masie 20 kg znajduje się dziecko o

masie 35 kg odpychające się od ziemi z szybkością 1m/s. Oblicz, z jaką częstotliwością będzie wirować karuzela, gdy
dziecko dojdzie do środka karuzeli (załóż, że masa dziecka znajduje się wtedy 10 cm od środka). Moment bezwładności
pozostałych elementów karuzeli wynosi 0.6 kg m

2

.

24. Człowiek próbuje unieść do góry masę 400 kg. W tym celu wziął pręt o długości 2 m i podsunął go 30 cm pod masę.

Oblicz jaką siłą musi zadziałać człowiek.

25. Oszacuj, jaką siłą działa Twój biceps, gdy podnosisz ręką 1 kg cukru.
26. Na dolny koniec wędki o długości 4 m i masie 300 g (przyjmij, że masa jest rozłożona równomiernie) nasunięto rękojeść

korkową o długości 50 cm i masie 80 g i w odległości 25 cm od końca przykręcono kołowrotek o masie 450 g. Oblicz, w
którym miejscu wędkarz musi trzymać wędkę, aby najmniej męczyć rękę.

27. Kolarz ma do dyspozycji koło pełne, w kształcie płaskiego krążka o masie 400 g i średnicy 70 cm, na które zakłada cienką

oponę o masie 100 g i koło złożone z obręczy o masie 150 g i średnicy 70 cm oraz 32 szprych o masie 9 g każda, na które
założona jest taka sama opona. Oblicz momenty bezwładności kół, stosunek momentów sił, które muszą zadziałać na koła
aby w tym samym czasie osiągnęły tą samą częstotliwość i stosunek prac, jakie trzeba wykonać, aby zatrzymać te koła.
Wymień wady i zalety stosowania tych kół.