1
Wartości i wektory własne macierzy
Niech
A
oznacza dana macierz kwadratową, rzeczywistą lub ze-
spoloną, stopnia
n > 2, (n ∈ N)
:
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
=
"
a
ij
#
n×n
,
a
ij
∈ R (C)
Definicja
• Wielomianem charakterystycznym macierzy
A
nazywamy
2
wielomian rzeczywisty (lub zespolony)
W (λ)
zmiennej
λ
stop-
nia
n
postaci:
W (λ) = | A − λ E | ,
gdzie
E
jest macierzą jednostkową stopnia
n
.
• Równaniem charakterystycznym macierzy
A
nazywamy równa-
nie:
W (λ) = | A − λ E | = 0.
• Wartością własną macierzy
A
nazywamy każdy pierwiastek
rzeczywisty (lub zespolony) wielomianu charakterystycznego tej
macierzy, czyli każdą liczbę
λ
0
∈ R (C)
taką, że
W (λ
0
) = 0
⇐⇒
| A − λ
0
E | = 0.
3
Definicja
Wektorem własnym macierzy
A
odpowiadającym
danej wartości własnej
λ
0 tej macierzy nazywamy każdy niezerowy
wektor
~
X =
x
1
x
2
. . .
x
n
,
będący rozwiązaniem równania macierzowego:
( A − λ
0
E )
~
X = ~0,
czyli równania postaci:
A
~
X = λ
0
~
X.
4
Powyższe równanie macierzowe ma postać:
a
11
− λ
0
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
− λ
0
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
− λ
0
·
x
1
x
2
. . .
x
n
=
0
0
. . .
0
i jest ono równoważne następującemu układowi równań:
( a
11
− λ
0
) x
1
+
a
12
x
2
+ . . .
+
a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ ( a
22
− λ
0
) x
2
+ . . .
+
a
2n
x
n
= 0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+ . . .
+ ( a
nn
− λ
0
) x
n
= 0
5
Uwaga
Powyższy
układ
jest
układem
jednorodnym,
a
| A − λ E | = 0
. Zatem układ ten ma zawsze rozwiązanie nieze-
rowe.
Przykład
Wyznaczyć wartości własne macierzy:
A =
2 + i
1
2
2 − i
6
Fakt
(Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia
n = 3
)
Niech
A
będzie macierzą postaci:
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać:
W (λ) = − λ
3
+ p
1
λ
2
− p
2
λ + p
3
,
gdzie:
•
p
1
= a
11
+ a
22
+ a
33
= tr A
jest śladem macierzy
A
,
7
•
p
2 jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy
A
,
tj.
p
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
+
a
11
a
13
a
31
a
33
+
a
22
a
23
a
32
a
33
,
•
p
3
= W (0) = det A
jest wyznacznikiem macierzy
A
,
Przykład
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
A =
0
1
0
−4
4
0
−2
1
2
8
Podstawowe własności macierzy symetrycznej i rzeczywistej
Przypomnienie
Macierz
A
jest macierzą symetryczną wtedy i
tylko wtedy, gdy jest macierzą kwadratową oraz
A
T
= A.
Fakt 1
Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej i rze-
czywistej są rzeczywiste.
Fakt 2
Wektory własne
~
X, ~
Y
macierzy symetrycznej i rzeczy-
wistej, które odpowidają różnym wartościom własnym
λ
X
, λ
Y , są
ortogonalne, tzn.
9
~
X
T
◦ ~
Y = [ x
1
x
2
. . . x
n
] ◦
y
1
y
2
. . .
y
n
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
n
y
n
= 0.
Fakt 3
Kazda macierz kwadratowa stopnia
n
, która jest sy-
metryczna i rzeczywista, posiada
n
wektorów własnych liniowo
niezależnych.
10
Przykłady i ćwiczenia
1. Niech
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n będą wartościami własnymi macierzy kwa-
dratowej
A
stopnia
n
. Wykazać, że
det A = λ
1
· λ
2
· . . . · λ
n
.
2. Niech macierz
A
będzie macierzą kwadratową stopnia
n
.
Wykazać, że macierze
A
i
A
T mają te same wartości własne.
3. Niech
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n będą wartościami własnymi macierzy kwa-
dratowej i nieosobliwej
A
stopnia
n
. Wykazać, że
1
λ
1
,
1
λ
2
, . . . ,
1
λ
n
są wartościami własnymi macierzy
A
−1
.
4. Niech
λ
0
będzie wartością własną macierzy
A
. Wykazać, że
λ
k
0 będzie wartością własną macierzy
A
k dla
k ∈ N
.
11
5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy symetrycznej:
A =
−6
2
3
2
−3
6
3
6
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
14 Wartosci i wektory wlasne macierzy
12 wartosci i wektory wlasneid Nieznany (2)
Wartosci i wektory wlasne
odrabianie 2 Wartości i wektory własne
Cwiczenia wartosci i wektory wlasne
odrabianie 2 Wartości i wektory własne
2011 Lab 04 Wartosci wlasne macierzy TZ
ćw 14, Zagadnienie własne macierzy
maturzyści, Poczucie własnej wartości, Poczucie własnej wartości
1 Rozwiązanie zagadnienia własnego macierzy A2x2
ćw 14 Zagadnienie własne macierzy
Wartość wektora
Teoria, wektory i wartości własne
Budowanie poczucia własnej wartości, Pedagog, KONSPEKTY PEDAGOGA
więcej podobnych podstron