T1

Techniki Obliczeniowe i Symulacyjne
Wartości i wektory własne.

dr inż. Tomasz Zieliński

2010.03.01

Ćwiczenie 1 (1 pkt)

Wyznacz na papierze wartości własne

λ

k

i wektory własne (pionowe)

v

k

, k

=1,2,3, macierzy:

1

2

0

2

0

2

0

2

1

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= −

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

A

(1)

Zbuduj z wektorów

v

k

, k=1,2,3, macierz

V = [v

1

v

2

v

3

]

oraz oblicz macierz

B=V

T

AV

. Dlaczego macierz B

jest diagonalna? Ponieważ

A=VDV

T

.

Zbuduj macierz

A’

na podstawie poniższego równania

1

'

n

T

k

k

k

k

λ

=

=

∑

A

v v

(2)

Porównaj macierze

A

i

A’

.

Ćwiczenie 2 (1 pkt)

Metodą potęgową, na papierze, oblicz tylko największą wartość własną macierzy autokorelacji
sygnału z ćw. 1. Znając ją, oblicz związany z nią wektor własny. Porównaj z poprzednimi wynikami.

Napisz program komputerowy dla metody potęgowej, który znajdzie największą wartość własną
dowolnej macierzy symetrycznej a potem wyznaczy związany z nią wektor własny.

Ćwiczenie 3 (1 pkt)

1A.

Wygeneruj taki sam sygnał jak w programie T16_4.m, umieszczony na stronie:

http://www.kt.agh.edu.pl/pl/edu/wydaw/cps,k.html

Zbuduj macierz autokorelacji tego sygnału tak jak w tym programie (o tym samym wymiarze).
Następnie napisz program obliczający wszystkie wartości własne i wektory własne tej macierzy metodą
Jacobiego (lub dowolną inną, nie bezpośrednią). Porównaj je z tymi, które zwraca funkcja Matlaba
eig()

. Wykorzystaj wynik swoich obliczeń do wyznaczenia widma sygnału metodą Pisarenki, jak w

programie T16_4.m. Macierz autokorelacji ma w tym przypadku wymiary 5×5.

ALBO

1B.

Metodą QR (lub dowolną inną, nie bezpośrednią) oblicz wszystkie wartości własne macierzy

autokorelacji sygnału z ćw. 1. Porównaj je z tymi, które zwraca funkcja Matlaba eig(). Jeśli nie chcesz
pisać programu, zrób to analitycznie.

Ćwiczenie 4 (1 pkt)

Wygeneruj macierz autokorelacji

R

o wymiarach

M

x

M

,

M

=10, na podstawie

N

=1000 próbek szumu

gaussowskiego o wartości średniej równej 0 i odchyleniu standardowym 2. Za pomocą funkcji eig()
Matlaba dokonaj dekompozycji tej macierzy względem wartości własnych, tzn. wyznacz jej wszystkie

wartości własne λ

k

i wektory własne (o orientacji pionowej)

v

k

,

k

=1,2,3,..,

M

. Sprawdź, że wektory

własne są ortogonalne. Narysuj wartości własne na wykresie w funkcji ich numeru. Następnie w pętli od

n

=1 do

M

obliczaj kolejne aproksymacje tej macierzy na podstawie wzoru:

1

n

T

n

k

k

k

k

λ

=

=

∑

R

v v

(3)

oraz wyświetlaj błąd Frobeniusa pomiędzy macierzami

R i

R

n

:

2

,

( , )

( , )

n

n

i j

err

R i j

R i j

=

−

∑

(4)

2

4

Zauważ opadanie wartości własnych. Jeśliby z wektorów poziomych

v

k

T

,

k

=1,2,3,..,

M

zbudować macierz

F

(umieszczając je w wierszach tej macierzy), to można by ją zastosować do ortogonalnej dekompozycji

sygnału, analogicznej do tej, przeprowadzanej w równaniach (4) w ćw. 2. Ale wówczas energia sygnału
będzie skupiona w mniejszej liczbie współczynników dekompozycji, niż w przypadku transformacji
Fouriera. Sprawdź to.
Potem powtórz cała operację nie dla szumu tylko dla sygnału kosinusoidalnego mającego 100

próbek na okres. Ciekawe, nieprawdaż? Następnie dla sygnału zespolonego, który w części rzeczywistej
posiada sygnał kosinusoidalny jak poprzednio. Ponieważ w tym przypadku dekomponujemy sygnał
zespolony, wynik także jest zespolony (sprawdź!!!). W takim przypadku równanie rekonstrukcji (3) ma

postać:

( )

*

1

1

n

n

T

H

n

k

k

k

k

k

k

k

k

λ

λ

=

=

=

=

∑

∑

R

v

v

v v

(5)

Również interesujące.

Ćwiczenie 5 (1 pkt)

Wczytaj do Matlaba obraz cameraman.tif o wymiarach M×M, nazwij go

X

. Dokonaj jego dekompozycji

według wartości osobliwych svd(). Otrzymasz zbiór wartości osobliwych λ

k

oraz par wektorów

osobliwych o orientacji pionowej {

u

k

, v

k

},

k

=1,2,3,..,

M

. Narysuj λ

k

= funkcja(

k

). Następnie w pętli od

n

=1 do

M

obliczaj kolejne aproksymacje obrazu na podstawie wzoru:

1

n

T

n

k

k

k

k

λ

=

=

∑

X

u v

oraz wyświetlaj błąd Frobeniusa pomiędzy obrazami

X i

X

n

.

UWAGA:

Wystarczy zrobić tylko zadanie 3A ALBO 3B aby uzyskać 1 punkt.

Zad. 3A.

Metoda Jacobiego jest opisana w książce:

M. Dryja, J. & M. Jankowscy, „Przegląd metod i algorytmów numerycznych” część 2, str.133.

Zad. 3B.

Metoda QR jest opisana w książce jak wyżej, str. 135, dodatkowo w książkach:

D. Kincaid, W. Cheney, „Analiza numeryczna”, WNT 2006, str. 287.
Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, „Metody numeryczne”, str. 270.

W. Perry, „Elementary linear algebra”, str. 392.

POMOC:

k

k

k

λ

=

Av

v

,

1

2

3

( ,

,

,...,

)

N

diag

λ λ λ

λ

= ⋅

AV

V

,

1

−

= ⋅ ⋅

A

V D V

,

1

n

T

k

k

k

k

λ

=

=

∑

A

v v

(

)

k

k

λ

−

=

A

I v

0

,

(

)

k

k

λ

−

=

I

A v

0

Warunki (równoważne) istnienia nietrywialnego rozwiązania powyższego równania:
1) macierz

(

)

k

λ

−

A

I

przekształca pewien wektor niezerowy na 0,

2) macierz

(

)

k

λ

−

A

I

jest osobliwa (nie ma macierzy odwrotnej), 3)

(

)

det

0

k

λ

−

=

A

I

.

Poniższa metoda jest to metoda źle uwarunkowana numerycznie:
1) Znajdź wszystkie rozwiązania λ

1

, λ

2

, λ

3

,…, λ

N

równania:

11

12

1

21

22

2

1

1

det

0

k

N

k

N

N

N

NN

k

a

a

a

a

a

a

a

a

a

λ

λ

λ

−

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥ =

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

K
K

K

K

K

K

K

2) Potem dla każdego λ

k

znajdź wektor

v

k

spełniający równanie:

11

12

1

21

22

2

1

1

0

k

N

k

N

k

N

N

NN

k

a

a

a

a

a

a

a

a

a

λ

λ

λ

−

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

v

K
K

K

K

K

K

K

MATLAB:
1) A=?; w=poly(A); lambda=roots(w);
2) for k=1:N, V(:,k)=solve( A-lambda(k)*eye(N), zeros(N,1) ); end % solve z LAB2: Ax=0