1

Zestaw zada´

n I

Zadanie 1 Rozwi¸

a˙z metod¸

a Fouriera















u

tt

(x, t) = u

xx

(x, t) + sin πx

x ∈ (0, 1), t ∈ R

+

u(0, t) = u(1, t) = 0

dla ka˙zdego t > 0

u(x, 0) = sin πx

x ∈ (0, 1)

u

t

(x, 0) = 0

Zadanie 2 Rozwi¸

a˙z zagadnienie







u

t

= u

xx

+ sin x

x ∈ (0, π), t > 0

u(0, t) = u(π, t) = 0

u(x, 0) = x

Zadanie 3 Znajd´

z rozwi¸

azanie nast¸

epuj¸

acego r´

ownania







u

tt

= u

xx

+ x

2

u = u(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, x) = sin x

u(2x, x) = cos x − 1

Wskaz´

owka: Najpierw sprowad´

z zagadnienie do jednorodnego nast¸epnie zasto-

suj rozumowanie podobne jak przy wyprowadzeniu wzoru D’Alemberta.

Zadanie 4 Niech u b¸

edzie rozwi¸

azaniem zagadnienia



u

t

= ∆

x

u, u = u(x, t), x ∈ R

n

, t > 0

u(x, 0) = f (x)

z funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a f . Wyka˙z, ˙ze je´

sli funkcja f spe lnia oszacowanie

|f (x)| < C(1 +

N

X

i=1

|x|

i

) dla pewnego N ∈ N

to

|u(x, t)| ≤ ¯

C(1 +

N

X

i=1

|x|

i

+

N

X

i=1

(

√

t)

i

)

z pewn¸

a sta l¸

a ¯

C > 0.

Zadanie 5 Niech u

0

(x) =

P

N
k=1

a

k

sin(kπx) + sin(

π

2

x), N ∈ N i rozwa˙zmy

nast¸

epuj¸

ace zagadnienie















u

t

= u

xx

+

π

2

4

sin(

π

2

x)

u = u(x, t),

x ∈ (0, 1), t > 0

u(0, t) = 0
u(1, t) = 1

u(x, 0) = u

0

(x)

Wyka˙z, ˙ze rozwi¸

azanie u powy˙zszego zagadnienia istnieje i zbiega jednostajnie

gdy t d¸

a˙zy do niesko´

nczono´

sci do funkcji sin(

π

2

x).

1