Konspekt lekcji matematyki

Autor:

Klasa: I liceum (matematyczna)

Dział tematyczny: Funkcje trygonometryczne

Temat: Tożsamości trygonometryczne.

Program: Oficyna Edukacyjna*Krzysztof Pazdro

Baza:
- Uczeń zna pojęcie dowolnego kąta;
- Uczeń zna pojęcie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa (kąta ostrego i dowolnego kąta);
- Uczeń zna pojęcie łukowej miary kąta;
- Uczeń zna wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

, 60

◦

oraz kątów, których końcowe

ramię pokrywa się z osiami układu współrzędnych;
- Uczeń wie, jakie znaki mają funkcje trygonometryczne w poszczególnych ćwiartkach układu
współrzędnych.

Cele:
- Poznanie przez uczniów podstawowych tożsamości trygonometrycznych;
- Poznanie przez uczniów algorytmu wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana
jest wartość jednej z nich.

Metody:
- Podająca (wytłumaczenie algorytmu wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana
jest wartość jednej z nich);
- Poszukująca (wspólne udowodnienie podstawowych tożsamości trygonometrycznych; niektóre
etapy wprowadzania algorytmu wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest
wartość jednej z nich; pytania pojawiające się w czasie rozwiązywania zadań);
- Praktyczna (rozwiązywanie zadań).

Zasady:
- Trwałości wiedzy (zadanie pracy domowej; powtórzenie materiału na początku lekcji);
- Świadomego i aktywnego udziału ucznia w procesie nauczania i uczenia się (samodzielne rozwiązy-
wanie zadań; próby rozwiązania pojawiających się problemów);
- Przystępności (dobór zadań według możliwości uczniów; stopniowanie trudności zadań);
- Systematyczności (wykorzystanie wiadomości z poprzednich działów matematyki do zdefiniowa-
nia tożsamości trygonometrycznej; wykorzystanie znajomości znajomości tożsamości trygonom-
etrycznych do obliczania pozostałych wartości funkcji trygonometrycznych; użycie umiejętności
określenia znaku wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach do rozwiąza-
nia zadania 8.51);
- Poglądowości (pomoc w postaci narysowania kąta w układzie współrzędnych do udowodnienia
tożsamości trygonometrycznych).

1

Szczegółowy przebieg lekcji:

Czynności wstępne:

Witam się z uczniami i sprawdzam obecność. Podaję temat lekcji: Tożsamości trygonome-

tryczne.

Część przypominająca:

Na początku przypominam z uczniami wiadomości z trygonometrii.

Przykładowe pytania:
– Czym jest cotangens dowolnego kąta?
– Jaki znak ma wartość funkcji sinus w II ćwiartce układu współrzędnych?
– Ile wynosi tg π, sin

π

2

, cos 2π, ctg

3
2

π?

– Co to jest ramię ruchome kąta?
– Czy można narysować kąt, jeśli znamy dla niego wartość jednej z funkcji trygonometrycznych?
– W jaki sposób narysować kąt, gdy znany jest jego sinus?
– W jaki sposób narysować kąt, którego cotangens jest znany?

Część wprowadzająca:

Na początku pytam uczniów, z czym kojarzy im się „tożsamość”. Gdzie, na matematyce, spotkali

się już z tym pojęciem.

Oczekuję odpowiedzi, że tożsamość pojawiła się przy rozwiązywaniu

równań. Wówczas równaniem tożsamościowym nazywaliśmy równanie mające nieskończenie wiele
rozwiązań (każda liczba z dziedziny była jego rozwiązaniem).

Następnie proszę uczniów, aby zastanowili się co nazywamy równaniem trygonometrycznym.

Wspólnie dochodzimy do wniosku, że w takim równaniu występują funkcje trygonometryczne.
Zapisuję przykład takiego równania na tablicy:

sin α −

cos α

tg α

= sin

3

α

Pytam także uczniów, co jest niewiadomą w zapisanym równaniu. Oczekuję odpowiedzi, że α, czyli
kąt. W tym momencie zaznaczam również, że w równaniach trygonometrycznych niewiadome nie
występują w innej formie niż jako argumenty funkcji trygonometrycznych.

Mówię uczniom, że od dzisiejszej lekcji będziemy zajmować się tożsamościami trygonome-

trycznymi. Proszę uczniów, aby zdefiniowali tożsamość trygonometryczną. Dyskutując dochodz-
imy do wniosku, że tożsamością trygonometryczną nazywamy równanie trygonometryczne, które
jest spełnione przez każdy kąt.

Następnie przechodzimy do wyprowadzenia najważniejszych tożsamości trygonometrycznych.

Proszę o narysowanie układu współrzędnych i zaznaczenie w nim dowolnego kąta. Sama wykonuję
te czynności na tablicy. Pytam uczniów, co musimy zrobić, aby obliczyć wartości funkcji try-
gonometrycznych tego kąta. Oczekuję odpowiedzi, że należy wybrać dowolny punkt na ruchomym
ramieniu kąta i znaleźć jego odległość od początku układu współrzędnych. Zaznaczam na rysunku
punkt P = (x, y) oraz r – jego odległość od punktu (0, 0):

X

Y

0

P=(x,y)

α

r

2

Następnie proszę uczniów o policzenie wyrażenia:

sin

2

α + cos

2

α

Po chwili, razem z uczniami, zapisujemy rachunek na tablicy:

sin

2

α + cos

2

α =



y

r



2

+



x

r



2

=

y

2

r

2

+

x

2

r

2

=

x

2

+ y

2

(

p

x

2

+ y

2

)

2

=

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

= 1

Przy czym tłumaczymy, że (

p

x

2

+ y

2

)

2

= x

2

+y

2

i nie musimy tu zapisywać wartości bezwzględnej,

ponieważ jest to dodawanie liczb dodatnich.

Pytam uczniów, czy otrzymana wartość zależała od kąta, dla którego wykonywaliśmy obliczenia.

Dochodzimy do wniosku, że wybraliśmy dowolny kąt, zatem powyższa równość jest prawdziwa dla
każdego kąta.

Podsumowując, mówię uczniom, że uzyskaliśmy pierwszą z tożsamości trygonometrycznych,

zwaną jedynką trygonometryczną. Zapisujemy nowy wzór w ramce:

sin

2

α + cos

2

α = 1

Podobnie proszę uczniów o policzenie wartości wyrażenia:

sin α

cos α

zapisując po chwili rachunek na tablicy:

sin α

cos α

=

y
r
x
r

=

y

r

·

r

x

=

y

x

= tg α

Zastanawiając się, czy wartość policzonego wyrażenia zależy od kąta, dla którego wykonywal-

iśmy obliczenia dochodzimy do wniosku, że jest to również tożsamość trygonometryczna i zapisu-
jemy w ramce:

tg α =

sin α

cos α

Analogicznie wprowadzam tożsamość:

ctg α =

cos α

sin α

Na końcu proszę uczniów, żeby policzyli ile wynosi

tg α · ctg α

Po chwili zapisujemy rachunek na tablicy:

tg α · ctg α =

y

x

·

x

y

= 1

i przeprowadzając analogiczną dyskusję do powyższcyh dochodzimy do wniosku, że również jest to
tożsamość trygonometryczna. Zapisujemy również w ramce:

tg α · ctg α = 1

3

Następnie przechodzimy do zadań:

Zadanie 8.50
Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że:

a) cos x =

5

13

Pytam uczniów, co musimy zrobić w tym zadaniu. Mówimy, że mając wartość cosinusa, musimy

policzyć wartośći sinusa, tangensa i cotangensa. Następnie proszę uczniów, aby powiedzieli jak
obliczyć te wartości funkcji wykorzystując tożsamości, które poznaliśmy chwilę prędzej. Dochodz-
imy do wniosku, że sinus można obliczyć korzystając z jedynki trygonometrycznej:

sin

2

x + cos

2

x = 1

sin

2

x +

 5

13



2

= 1

sin

2

x +

25

169

= 1

sin

2

x = 1 −

25

169

sin

2

x =

144

169

sin x =

12

13

∨

sin x = −

12

13

W tym miejscu zwracam szczególną uwagę uczniów na to, aby zawsze pamiętali o dwóch

rozwiązaniach takiego równania.

Wspólnie z uczniami dochodzimy do wniosku, że wartość tangensa można policzyć z drugiej

poznanej na tej lekcji tożsamości trygonometrycznej:

tg x =

sin x

cos x

tg x =

12
13

5

13

=

12

13

·

13

5

=

12

5

∨

tg x =

12
13

−

5

13

= −

12

13

·

13

5

= −

12

5

Następnie zwracamy uwagę, że wartość cotangensa można policzyć z trzeciej poznanej tożsamości

i wówczas rachunki wyglądają analogicznie. Można także w łatwy sposób otrzymać tę wartość z
czwartej przytoczonej tożsamości, bo wystarczy zauważyć, że jest to odwrotność tangensa:

ctg x =

1

tg x

ctg x =

5

12

∨

ctg x = −

5

12

Proszę uczniów, aby na końcu każdego przykładu zbierali rozwiązania w jedno miejsce. Zapisu-

jemy zatem w tym przykładzie:



















sin x =

12
13

cos x =

5

13

tg x =

12

5

ctg x =

5

12

∨



















sin x = −

12
13

cos x =

5

13

tg x = −

12

5

ctg x = −

5

12

b) sin x = −

15
17

Ten przykład rozwiązaujemy analogicznie do powyższego:

sin

2

x + cos

2

x = 1

4



−

15

17



2

+ cos

2

x = 1

cos

2

x = 1 −

225

289

cos

2

x =

64

289

cos x =

8

17

∨

cos x = −

8

17

W tym miejscu ponownie zwracam szczególną uwagę uczniów na to, aby zawsze pamiętali o

dwóch rozwiązaniach takiego równania.

tg x =

sin x

cos x

tg x =

−

15
17

8

17

= −

15

8

∨

tg x =

−

15
17

−

8

17

=

15

8

ctg x =

1

tg x

ctg x == −

8

15

∨

ctg x =

8

15

Zebrane rozwiązanie:



















sin x = −

15
17

cos x =

8

17

tg x = −

15

8

ctg x = −

8

15

∨



















sin x = −

15
17

cos x = −

8

17

tg x =

15

8

ctg x =

8

15

c) tg x = −

3
4

W tym przykładzie rozwiązanie wygląda trochę inaczej. Pytam uczniów, co można obliczyć

bez problemu. Oczekuję odpowiedzi, że wartość cotangensa. Obliczamy:

ctg x =

1

tg x

ctg x = −

4

3

Następnie razem z uczniami dyskutujemy nad sposobem znalezienia wartości sinusa i cosinusa.

Dochodzimy do wniosku, że należy ułożyć układ równań złożony z tożsamości opisującej zależność
tangensa od sinusa i cosinusa (lub cotangensa od sinusa i cosinusa) oraz jedynki trygonometrycznej.
Układamy odpowiedni układ i rozwiązujemy go:

(

sin x

cos x

= −

3
4

sin

2

x + cos

2

x = 1

(

sin x = −

3
4

cos x

−

3
4

cos x

2

+ cos

2

x = 1

(

sin x = −

3
4

cos x

9

16

cos

2

x + cos

2

x = 1

(

sin x = −

3
4

cos x

25
16

cos

2

x = 1

5

(

sin x = −

3
4

cos x

cos

2

x =

16
25

(

sin x = −

3
4

cos x

cos x =

4
5

∨

(

sin x = −

3
4

cos x

cos x = −

4
5

(

sin x = −

3
4

·

4
5

cos x =

4
5

∨

(

sin x = −

3
4

· −

4
5

cos x = −

4
5

(

sin x = −

3
5

cos x =

4
5

∨

(

sin x =

3
5

cos x = −

4
5

Na końcu zbieramy rozwiązania w jednym miejscu:



















sin x = −

3
5

cos x =

4
5

tg x = −

3
4

ctg x = −

4
3

∨



















sin x =

3
5

cos x = −

4
5

tg x = −

3
4

ctg x =

4
3

d) ctgx = 3

Ten przykład rozwiązujemy analogicznie do powyższego:

tg x =

1

ctg x

tg x =

1

3

Układamy odpowiedni układ i rozwiązujemy go:

(

cos x

sin x

= 3

sin

2

x + cos

2

x = 1

(

sin x = 3 cos x

(3 cos x)

2

+ cos

2

x = 1

(

sin x = 3 cos x

10 cos

2

x = 1

(

sin x = 3 cos x

cos

2

x =

1

10

(

sin x = 3 cos x

cos x =

√

10

10

∨

(

sin x = 3 cos x

cos x = −

√

10

10

(

sin x =

3

√

10

10

cos x =

√

10

10

∨

(

sin x = −

3

√

10

10

cos x = −

√

10

10

Na końcu zbieramy rozwiązania w jednym miejscu:



















sin x =

3

√

10

10

cos x =

√

10

10

tg x =

1
3

ctg x = 3

∨



















sin x = −

3

√

10

10

cos x = −

√

10

10

tg x =

1
3

ctg x = 3

6

Następnie liczymy jeszcze przykłady f) i h) z tego zadania.

Rachunki są analogiczne do

odpowiednich przedstawionych powyżej. Zebrane rozwiązania tych przykładów powinny wyglą-
dać następująco:

f) sin x =

7

25



















sin x =

7

25

cos x =

24
25

tg x =

7

24

ctg x =

24

7

∨



















sin x =

7

25

cos x = −

24
25

tg x = −

7

24

ctg x = −

24

7

h) ctgx =

45
28



















sin x =

28
53

cos x =

45
53

tg x =

28
45

ctg x =

45
28

∨



















sin x = −

28
53

cos x = −

45
53

tg x =

28
45

ctg x =

45
28

Następnie proszę uczniów, aby popatrzyli na rozwiązanie, które zostało na tablicy (przykładu

h)) i zastanowili się w jakiej ćwiartce układu współrzędnych może znajdować się kąt o wylic-
zonych wartościach. Dochodzimy do wniosków, że kąt z pierwszego przypadku może leżeć tylko
w I ćwiartce, ponieważ tylko tam wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych są dodatnie,
natomiast znaki wartości funkcji trygonometrycznych z drugiego przypadku pasują tylko do III
ćwiartki.

Mówię uczniom, że kolejne zadanie, które będziemy rozwiązywać, polega na tym, że należy

wybrać tylko jedno rozwiązanie. Przechodzimy do tego zadania:

Zadanie 8.51
Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że:
a) sin x = −

5

13

i x ∈ π,

3
2

π

Zaczynamy rozwiązywać ten przykład tak, jak w poprzednim zadaniu:

sin

2

x + cos

2

x = 1



−

5

13



2

+ cos

2

x = 1

cos

2

x = 1 −

25

169

cos

2

x =

144

169

cos x =

12

13

∨

cos x = −

12

13

Pytam uczniów, które z tych rozwiązań jest poprawne. Dyskutujemy, że skoro kąt należy do

III ćwiartki, to wartość jego cosinusa musi być ujemna. Wybieramy zatem ujemne rozwiązanie i
dalej liczymy tylko dla wybranego rozwiązania.

cos x =

12

13

∨

cos x = −

12

13

7

tg x =

sin x

cos x

ctg x =

1

tg x

tg x =

−

5

13

−

12
13

=

5

12

ctg x =

12

5

Zebrane rozwiązanie:



















sin x = −

5

13

cos x = −

12
13

tg x =

5

12

ctg x =

12

5

Zwracam uwagę uczniów na to, aby zawsze na końcu rozwiązania sprawdzili, czy na pewno

wartości, które wyszły zgadzają się z ćwiartką, do której należy kąt. Mówię, że pomoże to zawsze
odnaleźć błędy związane ze znakami.

c) tgx = −

12

5

i x ∈

π

2

, π

Zebrane rozwiązanie tego zadania powinno wyglądać następująco:



















sin x =

12
13

cos x = −

5

13

tg x = −

12

5

ctg x = −

5

12

Podsumowanie

Gdy będzie zbliżał się koniec lekcji, to zamiast rozpoczynać nowy przykład podsumuję z ucz-

niami sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy jedna z nich jest podana.
Zwrócimy uwagę, że rozwiązanie w przypadkach, kiedy podana jest wartość sinusa lub cosinusa jest
bardzo podobne, ale różni się od rozwiązań przykładów, w których podana jest wartość tangensa
lub cotangensa. Zwrócę także kolejny raz uwagę na to, aby uczniowie pilnowali dwóch rozwiązań,
które zawsze otrzymamy po rozpatrzeniu jedynki trygonometrycznej. Zapytam również o różnicę
w rozwiązaniach przykładów z podaną ćwiartką układu współrzędnych, do której należy rozpatry-
wany kąt.

Zadanie domowe

Zadanie domowe będzie zależało od momentu, w którym skończy się lekcja. Oprócz przykładów,

które przedstawiam poniżej i które celowo ominę podczas lekcji poproszę także uczniów o dokończe-
nie bieżącego przykładu, na którym zakończy się lekcja. Przykładów z zadania 8.51 nie zadam,
jeśli nie zdąże rozpocząć go na lekcji.

Zadanie 8.50
e) cos x = −

11
61

Zebrane rozwiązanie tego przykładu powinno wyglądać następująco:



















sin x =

60
61

cos x = −

11
61

tg x = −

60
11

ctg x = −

11
60

∨



















sin x = −

60
61

cos x = −

11
61

tg x =

60
11

ctg x =

11
60

8

g) tgx =

4
3

Zebrane rozwiązanie tego przykładu powinno wyglądać następująco:



















sin x = −

4
5

cos x = −

3
5

tg x =

4
3

ctg x =

3
4

∨



















sin x = −

4
5

cos x = −

3
5

tg x =

4
3

ctg x =

3
4

Zadanie 8.51
b) cos x =

24
25

i x ∈

3
2

π, 2π

Zebrane rozwiązanie tego przykładu powinno wyglądać następująco:



















sin x =

24
25

cos x = −

7

25

tg x = −

7

24

ctg x = −

24

7

9