W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

1

1

3

3

O

O

B

B

L

L

I

I

C

C

Z

Z

E

E

N

N

I

I

A

A

R

R

U

U

R

R

O

O

C

C

I

I

Ą

Ą

G

G

Ó

Ó

W

W

,

,

R

R

U

U

C

C

H

H

L

L

A

A

M

M

I

I

N

N

A

A

R

R

N

N

Y

Y

I

I

T

T

U

U

R

R

B

B

U

U

L

L

E

E

N

N

T

T

N

N

Y

Y

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

Spadek ciienia

Δp

określa ubytek energii mechanicznej. Energia

mechaniczna to suma energii kinetycznej, potencjalnej i ciśnienia.
Dla cieczy

– na mocy równania Bernoulliego otrzymamy:

U

- oznacza

prędkość średnią w przekroju przewodu.

2

m

U

e

gz

p

2











P

e

m2

e

m1

Δe

p

Δe

s

Bilans energii mechanicznej

dla dowolnego rurociągu:

m1

p

m 2

s

e

e

e

e

  

 

Δe

p

– energia dostarczana przez pompę

Δe

s

– energia wynikająca ze strat

Oznaczmy i .

Podstawmy też odpowiednie zależności za

Δe

m1

i

Δe

m2

.

Dostaniemy

bilans energii

w postaci:

p

p

e

p

  

s

s

e

p

  

2

2

1

2

1

1

p

2

2

s

U

U

gz

p

p

gz

p

p

2

2











   





 

Korzystając z powyższego związku możemy wyznaczyć np. różnicę
ciśnień, różnicę poziomów,

Δp

p

lub

Δp

s

gdy zadany jest wydatek

płynący przewodem.

Możemy też szukać wydatku, gdy znane są ciśnienia oraz poziomy –
początkowy i końcowy.

W obu przypadkach geometria rurociągu, masa właściwa cieczy i
lepkość są znane.

Schematy postępowania:

1.

Znamy wydatek Q

określamy prędkość w każdym

odcinku rury liczymy

Re

wyznaczamy

λ

liczymy

Δp

s

2.

Szukamy wydatku Q

– nie możemy bezpośrednio

wyznaczyć liczbowych wartości współczynników

λ

.

Q występuje w równaniu bilansowym za pośrednictwem

λ

.

Musimy zastosować metodę kolejnych przybliżeń.

Przypomina to równanie

x = f(x)

które rozwiązujemy

tak:





1

2

Q

f

,

(Q),

(Q),







n 1

n

x

f (x )





Przykład ilustrujący 2 –gi przypadek

gdzie

Δp

s

p

1

0

H

ζ

1

=1

L

1

L

2

p

A

2

D

d

ζ

2

=0.5

Dane:

p

1

= 2 bary, p

2

= p

A

= 1bar, H = 10m

L

1

= 100m, L2 = 50m,

D = 10cm, d = 2cm,

ρ = 10

3

kg/m

3

, ν=5∙10

-6

m

2

/s

2

2

0

2

1

A

s

U

U

gH

p

p

p

2

2















 

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

s

1

2

1

2

U L

U

L

U

U

p

2

D

2

d

2

2

















 







0

U

0



Podstawiamy:




I otrzymujemy w rezultacie:

Liczby Reynoldsa dla poszczególnych odcinków rur:

1

2

2

2

4Q

4Q

U

,

U

D

d













1

A

2

4

1

2

2

1

1

p

p

2 gH

d

Q

4

L

L

d

1

d

D

D































 









 

 

1

1

U D

4

Re

Q

D



 





2

2

U d

4

Re

Q

d



 





Obliczamy wydatek:

i liczby Reynoldsa





Wykorzystamy związek i policzymy





4

2

1

62.83 10

Q

1.5 2500

0.0016 1 1000

















6

1

Re

2.54 10 Q





6

2

Re

12.7 10 Q





1 4

0.316

Re





1

2

,

 

Wykonujemy kolejne przybliżenia zakładając wyjściowo

Q=0.01 m

3

/s

.

Dla tych

wartości wydatek

Q=0.00097 m

3

/s

i jest on wyjściem do kolejnego

przybliżenia.

Dla tych wartości

Q=0.095∙10

-2

m

3

/s

co kończy obliczenia.

4

1

1

Re

2.5 10

0.025









4

2

2

Re

12.7 10

0.0167









1

1

Re

2425

64 Re 0.026









4

2

2

Re

12.1 10

0.017









P

P

O

O

D

D

S

S

U

U

M

M

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

E

E

-

-

R

R

U

U

C

C

H

H

L

L

A

A

M

M

I

I

N

N

A

A

R

R

N

N

Y

Y

,

,

R

R

U

U

C

C

H

H

T

T

U

U

R

R

B

B

U

U

L

L

E

E

N

N

T

T

N

N

Y

Y

Ruch cieczy w okrągłym przewodzie może być zgodny z

wyznaczonym rozwiązaniem równań Naviera - Stokesa, opisującym
niezmienny z długością, niezależny od czasu, paraboloidalny rozkład
prędkości.







Jest tak, gdy liczba Reynoldsa

ma stosunkowo niewielką wartość.


Dla takiego ruchu wsp

ółczynnik

sr

U

d

4Q

Re

d







 

 





64

Re





http://me.queensu.ca/People/Sellens/images/Profiles.jpg

http://www2.emersonprocess.com/en-

US/brands/daniel/Documents/Newsletters/0610/DanielMatters-0610-index.html

Przykłady przepływów laminarnych

Ruch o paraboloidalnym profilu prędkości, niezależny od czasu i dla którego
prędkość nie ma składowych poprzecznych obserwujemy dla liczb Reynoldsa
mniejszych od krytycznej.

Dla rury okrągłej

Re

kr

= 2300

G

dy zachodzi nierówność

Re < 2300

to ruch jest laminarny

– pomiędzy

sąsiednimi warstwami cieczy zachodzi jedynie molekularna wymiana masy,
pędu i energii.

http://my-woodcarving.blogspot.com/2011/06/updates-on-laminar-flow-nozzle.html

http://www.waterartsconsulting.com/waterfall_weirs

http://www.geol.umd.edu/~jmerck/geol342/lectures/04.html

Przepływ w rurze

laminarny

przejściowy

turbulentny

Dla

większych liczb Reynoldsa pole prędkości zależy od czasu i

zmiennej wzdłużnej. Obserwuje się składowe poprzeczne prędkości.

Gdy liczba Reynolds

a jest dostatecznie duża, większa od drugiej

krytycznej liczby Reynoldsa to ruch jest turbulentny.

http://www.azimuthproject.org/azimuth/show/Blog+-+eddy+who%3F

Profil prędkości dla ruchu turbulentnego w rurze

Dla ruchu turbulentnego :



pole prędkości ma przebieg losowy

(losowe oscylacje wokół
wolnozmiennej średniej)



pomiędzy sąsiednimi warstwami

płynu oprócz wymiany molekularnej,
masa, pęd i energia zastają
wymieniane makroskopowo

http://me.queensu.ca/People/Sellens/images/Profiles.jpg

http://www2.emersonprocess.com/en-

US/brands/daniel/Documents/Newsletters/0610/DanielMatters-0610-index.html

Przykłady przepływów turbulentnych

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hubbard_Glacier_May_20.2000.jpg

http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Turbulent+Flow

http://knol.google.com/k/flow-separation-and-divorce-cost#

http://www.ratiotherm.pl/pl/pytania-i-odpowiedzi/jak-wygladaja-dobre-

zasobniki-ciepla/

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer