Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

1

POMIARY IMPEDANCJI

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest przyswojenie pojęcia impedancji; pomiar impedancji

elementów RLC, poznanie sposobu definiowania parametrów elementów RLC w oparciu o
składowe impedancji; pomiar parametrów elementów RLC w funkcji częstotliwości.

PROGRAM ĆWICZENIA

1. Zapoznać się z parametrami i obsługą miernika impedancji

1.1.

mierzone parametry,

1.2.

zakres częstotliwości,

1.3.

poziom sygnału pomiarowego,

1.4.

dokładność pomiaru,

1.5.

sposób komunikowania się z przyrządem.

2. Pomiar impedancji

2.1.

Zmierzyć impedancję - moduł |Z | i przesunięcie fazowe θ (w literaturze

często oznaczane symbolem φ lub Φ) –wybranego elementu.

2.2.

Wyznaczyć na podstawie parametrów miernika błąd graniczny Δ | Z | oraz Δ θ

.

2.3.

Określić charakter badanego elementu (rezystancyjny, pojemnościowy,

indukcyjny).

2.4.

Na podstawie wyników pomiaru obliczyć składowe impedancji

(dwuelementowy schemat zastępczy w układzie szeregowym) oraz składowe
admitancji (dwuelementowy schemat zastępczy impedancji w układzie
równoległym).

2.5.

Powtórzyć pomiar parametrów elementu wybierając jako parametry

wyświetlane składowe szeregowego i równoległego układu zastępczego.

2.6.

Porównać wyniki obliczeń z punktu 2.4 z wynikami pomiaru w punkcie 2.5.

3. Pomiar parametrów kondensatorów.

3.1.

Zmierzyć w funkcji częstotliwości (50Hz–1MHz) :

-pojemność C

s

i rezystancję R

s

kondensatorów w szeregowym układzie

zastępczym -pojemność C

p

i rezystancję R

p

kondensatorów w równoległym

układzie

zastępczym

Obliczyć współczynnik stratności D kondensatorów .

3.2.

Wyznaczyć procentową zmianę pojemności badanych kondensatorów w

funkcji częstotliwości. Jako pojemność odniesienia przyjąć wyniki pomiaru przy
częstotliwości 1kHz. W których przypadkach można jednoznacznie mówić o
zmianie pojemności od częstotliwości?

3.3.

Przedstawić, na wykresie, zależność współczynnika stratności D badanych

kondensatorów od częstotliwości .

4. Pomiar parametrów rezystorów

4.1.

Zmierzyć moduł impedancji |Z| i przesunięcie fazowe θ dla wskazanych

rezystorów w funkcji częstotliwości (50Hz-1MHz)

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

2

4.2.

Określić przedział częstotliwości, w którym zmiana modułu impedancji

rezystora nie różni się od wartości rezystora więcej niż o 0,5 %.

4.3.

Podać dla tych częstotliwości wartości dwuelementowego schematu

zastępczego rezystora.

4.4.

W jakim zakresie częstotliwości parametry modelu określone w punkcie 4.3

nie zmieniają się więcej niż o 5%.

5. Pomiary parametrów cewek

5.1.

Zmierzyć w funkcji częstotliwości (50Hz–1MHz) :

-indukcyjność L

s

i rezystancję R

s

cewek w szeregowym układzie zastępczym

-indukcyjność L

p

i rezystancję R

p

cewek w równoległym układzie zastępczym.

Obliczyć dobroć cewek.

5.2.

Wyznaczyć procentową zmianę indukcyjności badanych cewek w funkcji

częstotliwości. Jako indukcyjność odniesienia przyjąć wyniki pomiaru przy
częstotliwości 1kHz. W których przypadkach można jednoznacznie mówić o
zmianie indukcyjności od częstotliwości?

6. Pomiar impedancji dwójników

Zmierzyć w funkcji częstotliwości impedancję i przesunięcie fazowe wybranych dwójników.

6.1.

Wyznaczyć najprostszy (dwuelementowy- szeregowy) model dwójnika na

podstawie pomiaru przy wybranej częstotliwości .

6.2.

Na podstawie wyznaczonego modelu obliczyć impedancję dla częstotliwości

stosowanych w pomiarze.

6.3.

Zbadać zgodność modelu dwójnika z wynikami.

6.4.

Wyznaczyć najprostszy (dwuelementowy-równoległy) model dwójnika na

podstawie pomiaru przy częstotliwości.....

6.5.

Na podstawie wyznaczonego modelu obliczyć impedancję dla częstotliwości

stosowanych w pomiarze.

6.6.

Zbadać zgodność modelu dwójnika z wynikami

7. Pomiar parametrów dwójnika i kondensatora za pomocą mostka E315A

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

3

WPROWADZENIE

Schematy zastępcze i parametry elementów RLC

Elementy bierne, rezystory, cewki indukcyjne i kondensatory (elementy RLC),

przeznaczone do budowania układów elektrycznych, mają charakteryzować się odpowiednio:
rezystancją, pojemnością i indukcyjnością. Są to podstawowe parametry tych elementów i w
wielu zastosowaniach znajomość ich wartości jest wystarczająca. Dokładniejsza analiza
wykazuje jednak, że elementy te posiadają także parametry pasożytnicze, nazywane również
parametrami resztkowymi. Ich wartości zależą od fizycznej realizacji elementu. W
najprostszym przypadku parametry te są charakteryzowane za pomocą jednego
współczynnika. Dla rezystora jest to zwykle stała czasowa

τ

, kondensatora - współczynnik

strat D, a dla cewki – dobroć Q.

Właściwości elementów dobrze charakteryzuje ich impedancja, czyli stosunek

spadku napięcia do prądu sinusoidalnego płynącego przez element, bądź też równoważny
schemat zastępczy, który jest układem idealnych składowych R,L,C. Dąży się do tego, aby
schemat zastępczy był możliwie prosty, a jednocześnie wiernie odwzorowywał ”zachowanie
się” elementu w układzie elektrycznym.

Od impedancji Z zależy wartość prądu I płynącego w obwodzie prądu zmiennego

pod wpływem doprowadzonego sinusoidalnego napięcia U :

I

U

Z

=

gdzie : - U napięcie sinusoidalne na obiekcie

- I prąd sinusoidalny płynący przez obiekt.

Wartość impedancji Z jest liczbą zespoloną, którą można zapisać następująco:

jX

R

Z

+

=

.

Składowa rzeczywista impedancji R nazywana jest rezystancją, składowa urojona X
nazywana jest reaktancją.
Spadki napięć na składowych impedancji tworzą trójkąt napięć ( rys.1).

Rys.1 Trójkąt napięć w układzie szeregowym.

Poszczególne napięcia w tym trójkącie są równe: U

R

= I R, U

X

= I X, U = I Z .

Stosunek składowych impedancji R/X, decyduje o kącie przesunięcia fazowego

ϕ

między

prądem i napięciem w obwodzie o impedancji Z. Idealny element rezystancyjny R nie
wprowadza przesunięcia fazowego, idealny (bezstratny) kondensator C powoduje opóźnienie
napięcia względem prądu o

π

/2, a w układzie z idealną cewką L napięcie wyprzedza prąd o

π

/2. Przesunięcie fazowe jakie wprowadza impedancja może się zatem zmieniać w granicach

±

π

/2.

R

jX

U

R

U

X

U

I

U

U

R

U

X

I

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

4

Dla idealnego kondensatora impedancja

C

j

1

Z

ω

=

, a dla idealnej cewki

L

j

Z

ω

=

.

Impedancja Z jest przedstawiana w jako suma części rzeczywistej i urojonej lub w formie
moduł-kąt:

jX

R

Z

+

=

=



Z



e

j

ϕ

,

gdzie



Z



jest modułem impedancji, równym:



Z



= (R

2

+X

2

)

1/2

.

Odwrotność impedacji nazywana jest admitancją Y. Jest ona również wielkością zespoloną:

jB

G

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

Z

Y

+

=

+

−

+

=

+

=

=

2

2

2

2

1

1

.

Jej składowa rzeczywista G nazywa się konduktancją, a składowa urojona B susceptancją.

Schemat zastępczy elementu impedancyjnego można utworzyć na podstawie analizy

jego właściwości fizycznych. Przesunięcia fazowe prądu i napięcia na rzeczywistym
kondensatorze , różne od

π

/2, świadczy o tym, że kondensator ten nie jest tylko

pojemnością. Oprócz pojemności można w rzeczywistym kondensatorze wyróżnić
indukcyjność L

c

i rezystancję r

c

doprowadzeń i elektrod oraz rezystancję

strat dielektrycznych

i upływności izolacji R

c

( rys2. ).

Rys.2. Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego

Często wystarczający jest schemat zastępczy złożony z dwóch elementów,

reprezentujących części rzeczywistą i urojoną impedancji. Dwuelementowy schemat
kondensatora może być przedstawiony w dwóch wersjach: równoległej i szeregowej (rys.3).

Rezystancja R

s

, R

p

reprezentuje wypadkowe straty energii w dielektryku,

doprowadzeniach i okładach kondensatora. Parametrem opisującym jakość kondensatora jest
współczynnik strat, określony jako tangens kąta

δ

, o który różni się od 90

°

kąt między

prądem i napięciem kondensatora. Dla szeregowego schematu zastępczego:

a dla równoległego schematu:

Współczynnik strat typowych kondensatorów przyjmuje wartości na poziomie 1

×

10

-4

÷×

10

-3

.

Tak mała wartość oznacza, że przesunięcie fazowe niewiele różni się od

−

90

°

. Dla ustalonej

częstotliwości sygnału sinusoidalnego, układ szeregowy można przekształcić na
równoważny układ równoległy i odwrotnie, zgodnie z podanymi zależnościami:

S

S

C

R

tg

D

ω

=

δ

=

p

p

C

R

1

tg

D

ω

=

δ

=

r

c

L

c

R

c

C

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

5

(

)

p

s

C

D

C

2

1

+

=

s

p

C

D

C

2

1

1

+

=

p

s

R

D

D

R

2

2

1

+

=

s

p

R

D

D

R

2

2

1

+

=

Rys.3. Przeliczanie parametrów schematów zastępczych kondensatora.

Parametry cewek indukcyjnych zależą od częstotliwości w większej mierze niż

parametry kondensatorów. Można zaobserwować, że cewka powietrzna w szerokim zakresie
częstotliwości zmienia charakter z rezystancyjnego, dla częstotliwości rzędu kilkuset Hz,
poprzez indukcyjny do pojemnościowego, dla częstotliwości powyżej pierwszego rezonansu
własnego cewki. Dwuelementowy schemat zastępczy może być niewystarczający do
reprezentacji impedancji cewki indukcyjnej w szerszym paśmie częstotliwości. Stosowany
często trzyelementowy schemat zastępczy cewki indukcyjnej (rys. 4) można przybliżyć
dwuelementowym, w którym wartości elementów, L(

ω

) i R(

ω

),zależą od częstotliwości.

Rys4. Schematy zastępcze cewki powietrznej.

Szeregowa rezystancja R w dwuelementowym schemacie zastępczym cewki reprezentuje
straty omowe w przewodzie cewki, straty na prądy wirowe i histerezę ( jeżeli jest to cewka z
rdzeniem ferromagnetycznym) oraz straty dielektryczne. Wszystkie straty w cewce składają
się na współczynnik strat, definiowany analogicznie jak dla kondensatora. Parametrem
jakości cewki jest dobroć, oznaczana jako Q i wyznaczana jako iloraz :

R

L

Q

ω

=

.

Pojemność pasożytnicza C

0

, charakteryzująca głównie wpływ pojemności między zwojami

cewki, nazywana jest pojemnością własną cewki. Pulsacja

ω

0

,określona wzorem :

0

0

0

1

C

L

=

ω

,

nazywana jest pulsacją rezonansową cewki. Zaleca się, aby cewka była wykorzystywana
przy pulsacjach mniejszych od 0.1

ω

0

.

Elementy ze schematu zastępczego cewki można wyznaczyć na podstawie pomiarów

rezystancji i indukcyjności w funkcji częstotliwości wykorzystując następujące zależności:

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

6

2

0

0

1









−

≈

ω

ω

ω

L

)

(

L

,

2

2

0

0

1























−

≈

ω

ω

ω

R

)

(

R

.

Schemat zastępczy rezystora (rys. 5 ) zawiera, oprócz podstawowego parametru
rezystancji R

0

, indukcyjność uzwojeń i doprowadzeń rezystora L

0

oraz pojemności C

0

między

zaciskami wejściowymi.

Rys.5. Schematy zastępcze rezystorów: a) ogólny, b) uproszczony o charakterze
indukcyjnym, c) uproszczony o charakterze pojemnościowym.

Parametrem resztkowym rezystora jest stała czasowa

τ

:

Impedancję rezystora określa zależność zatem zależność:

)

j

(

R

Z

R

ω τ

+

=

1

0

.

Większość rzeczywistych rezystorów ma charakter pojemnościowy, o ujemnej stałej

czasowej, dlatego ogólnym schematem zastępczym rezystora jest układ dwuelementowy (rys.
5c ), w którym pojemność C

Z

= C

0

- L

0

/R

0

2

jest wypadkową pojemnością układu z rys.5a.

Stała czasowa w tym przypadku wynosi:

Metody pomiaru parametrów RLC

Metody pomiaru elementów RLC oraz dwójników impedancyjnych powinny

umożliwiać wyznaczenie schematu zastępczego, który najlepiej charakteryzuje badany
obiekt. Istnieje wiele metod pomiaru impedancji .Najczęściej spotykanymi układami
pomiarowymi są mostki prądu zmiennego: czteroramienne i transformatorowe ( rys.6).

0

0

0

0

C

R

R

L

−

=

τ

.

C

R

τ

Z

0

=

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

7

Rys.6.Układy podstawowy mostka czteroramiennego i transformatorowego.

Mostki służą do pomiarów parametrów elementów liniowych, tj. takich, których

wartości nie zależą od prądu przepływającego przez element. W jednej gałęzi mostka
znajduje się element mierzony, drugą stanowi impedancja odniesienia, odwzorowująca
impedancję mierzoną. Pozostałe gałęzie pomocnicze, służące m.in. do zmiany zakresów,
tworzą w mostku czteroramiennym dwie impedancje a w mostku transformatorowym dwa
uzwojenia transformatora.
Ogólny warunek równowagi mostka czteroramiennego:

Z

1

Z

4

= Z

2

Z

3

może być przekształcony w układ równań modułów impedancji i równanie kątów fazowych
impedancji mostka:



Z

1





Z

4



=



Z

2



Z

3



,

ϕ

1

+

ϕ

4

=

ϕ

2

+

ϕ

3 .

Z zależności tych wynika, że równowaga mostka może być osiągnięta dzięki regulacji co
najmniej dwóch elementów. Elementy równoważące mostek są tak dobierane, aby ich
wartości mogły być wywzorcowane bezpośrednio w wartościach parametru mierzonego. Z
warunków równowagi mostka wynika też, że liczba możliwych kombinacji par elementów
nastawnych jest stosunkowo duża. W praktyce jest ona ograniczona, ponieważ wybiera się
zwykle elementy nastawne umożliwiające szybkie równoważenie mostka i niezależne
równoważenie składowej rzeczywistej i urojonej mierzonej impedancji. Ograniczeniem jest
wymagana dokładność pomiaru, dlatego częściej stosuje się w układach wzorcowe
kondensatory i rezystory niż indukcyjności, które są trudniejsze do precyzyjnego wykonania.

Pomiar składowych impedancji , poprzez pomiar napięcia U i prądu I oraz kąta

przesunięcia fazowego

ϕ

, jest bardziej kłopotliwy w realizacji układowej niż metody

mostkowe. W pomiarach elementów RLC, gdy nie jest wymagana duża dokładność i można
przyjąć założenie , że dla kondensatora Z = 1 / jωC a dla indukcyjności

L

j

Z

ω

=

, to można

skorzystać wprost z definicji impedancji Z = U/I , w której napięcie U i prąd I będą
zmierzonymi wartościami skutecznymi napięcia i prądu . Bardzo często, ten uproszczony
sposób pomiaru pojemności i indukcyjności , nazywany jest metodą techniczną.

Pomiar napięcia i prądu wraz z pomiarem przesunięcia fazowego, umożliwia

wyznaczenie dwuelementowego schematu zastępczego badanego elementu dla określonej
częstotliwości. Sprawdzenie, czy wyznaczony schemat zastępczy dobrze opisuje element
(dwójnik) w szerszym zakresie częstotliwości, wymaga powtórzenia pomiaru przy innych
częstotliwościach . Jeśli w wyniku pomiaru uzyskuje się te same wartości elementów
tworzących schemat zastępczy, to można przyjąć, że schemat zastępczy dobrze
odzwierciedla strukturę elementu (dwójnika) w zadanym zakresie częstotliwości., w
przeciwnym przypadku przyjęty schemat jest zbyt uproszczony.

ZADANIA I PYTANIA KONTROLNE

Z

1

=Z

x

Z

2

Z

4

Z

1

=Z

x

Z

2

U

1

U

2

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

Pomiary impedancji

strona

8

1. Jakie parametry dwójnika nie zależą od schematu zastępczego przyjętego w
pomiarach impedancji? Dlaczego?

2. Wyprowadź zależność na współczynnik strat kondensatora w szeregowym i
równoległym, dwuelementowym, schemacie zastępczym posługując się odpowiednimi
wykresami wektorowymi prądów lub napięć. Czy wartości tego współczynnika zależą
od przyjętego schematu zastępczego?

3.

Zaproponuj sposób połączenia idealnych, regulowanych, elementów L

1

, C

2

, R

3

, R

4

w

układ , dającego się zrównoważyć, mostka czteroramiennego. Ile elementów mogłoby
mieć swoją wartość niezmienioną?

4. Szeregowy dwójnik RC zmierzono cyfrowym mostkiem pojemności E-315, uzyskując w

wyniku pomiaru dla częstotliwości 1000Hz,następujące wartości: przewodność G

P

=6,7

mS i pojemność C

P

= 1,50

µ

F. .Jakie są rzeczywiste wartości mierzonych R i C tego

dwójnika?

5. Na podstawie pomiaru wartości impedancji Z oraz kąta przesunięcia fazowego φ

obliczono składowe szeregowego (R

s

i C

s

) i równoległego (R

P

i C

P

) schematu zastępczego

kondensatora oraz współczynnik strat D. Określ w jakim przedziale mogą się mieścić
obliczone parametry jeśli w wyniku pomiaru uzyskano Z=32,25kΩ i φ= 89,87

0

, a

ΔZ=0,03kΩ ; Δφ=0,05

0

.