Testowanie hipotez

hipotezy parametryczne

Katedra Metod Ilościowych

Testowanie hipotez

Testowanie

hipotez statystycznych, obejmuje zasady

i metody

sprawdzania

określonych przypuszczeń

(założeń), odnośnie parametrów lub postaci
rozkładu cech statystycznych populacji generalnej
na podstawie wyników z próby.

Przykłady hipotez

Producent opon twierdzi, że nowy typ opony ma trwałość
większą niż 60000 km. Jeśli µ (km) oznacza wartość średnią
trwałości opon, to hipotezą producenta jest

Socjolog twierdzi, że dzieci w miastach mają lepsze wyniki
w nauce niż dzieci poza ośrodkami miejskimi. Niech p

1

(p

2

)

oznacza frakcję dzieci w miastach (poza miastami) o
ś

rednich ocenach rocznych co najmniej dobrych. Hipotezą

socjologa jest

Producent twierdzi, że średni czas bezawaryjnej pracy
drukarki to 200 godzin. Wówczas

Sprzedawca przypuszcza, że miesięczna wartość sprzedaży
ma rozkład normalny. Wówczas

60000

:

>

µ

H

2

1

:

p

p

H

>

200

:

>

µ

H

),

,

(

~

:

σ

µ

N

X

H

,

∞

<

<

∞

−

µ

∞

<

<

σ

0

Źródło: http://pjwstk.wafel.com/sad/sad11pp(02).doc

Podstawowe pojęcia

Hipoteza statystyczna

– każdy sąd dotyczący nieznanego

rozkładu badanej cechy w populacji. Przypuszczenie to
może dotyczyć postaci rozkładu lub jego parametrów.

Hipotezy parametryczne – dotyczą sądów o wartościach
parametrów rozkładu

Hipotezy nieparametryczne – dotyczą innych przypuszczeń niż
wartości parametrów w szczególności dotyczą postaci rozkładu

Test statystyczny to procedura, która na podstawie próby
losowej pozwala na przyjęcie lub odrzucenie hipotezy

Testowanie hipotez statystycznych

Błędy popełniane przy sprawdzaniu hipotezy – dwa

rodzaje:

Błąd I rodzaju – polegający na

odrzuceniu

hipotezy

słusznej

;

Poziom istotno

ści

α

to

prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-go
rodzaju

Testowanie hipotez statystycznych

Błędy popełniane przy sprawdzaniu hipotezy – dwa rodzaje:

Błąd I rodzaju – polegający na

odrzuceniu

hipotezy

słusznej

;

Poziom istotności

α to prawdopodobieństwo popełnienia

błędu I-go rodzaju

Błąd II rodzaju – polegający na

przyj

ęciu

hipotezy

fałszywej –

prawdopodobieństwo tego

błędu ma symbol

β

Decyzja

Hipoteza

Przyjąć

Odrzucić

Prawdziwa

+

Błąd I rodzaju

Fałszywa

Błąd II rodzaju

+

Testowanie hipotez statystycznych

Hipotezą zerową

H

0

nazywamy hipotezę sprawdzaną

(testowaną, weryfikowaną).

Hipotezą alternatywną

H

1

nazywamy hipotezę, którą

jesteśmy skłonni przyjąć, gdy odrzucamy hipotezę H

0

Test statystyczny

jest to reguła postępowania, która

przyporządkowuje wynikom próby losowej decyzję
przyjęcia lub odrzucenia hipotezy H

0

Testy istotności

, które dla zadanego z góry poziom

istotności

α zapewniają możliwie najmniejszą wartość

prawdopodobieństwa

β

.

Testowanie hipotez statystycznych

Sprawdzianem hipotezy

lub

statystyką testową

nazywamy taką statystykę

T

(o znanym rozkładzie), której

wartość

t

policzona na podstawie próby losowej, pozwala

na podjęcie decyzji czy odrzucić hipotezę H

0

.

Zbiorem krytycznym Z

nazywamy zbiór tych wartości

sprawdzianu hipotezy, które powodują odrzucenie
hipotezy H

0

w zależności od postaci hipotezy alternatywnej zbiór krytyczny
może być zbiorem

jednostronnym – prawostronnym albo lewostronnym

lub dwustronnym

Zbiory krytyczne

prawostronny

lewostronny

dwustronny

E

ta

p

y

t

es

to

w

an

ia

h

ip

o

te

z

podjęcie decyzji i sformułowanie odpowiedzi

podjęcie decyzji i sformułowanie odpowiedzi

porównanie wartości statystyki testowej z wartością

krytyczną

porównanie wartości statystyki testowej z wartością

krytyczną

odczytanie wartości krytycznej z odpowiednich tablic

statystycznych

odczytanie wartości krytycznej z odpowiednich tablic

statystycznych

t

α

obliczenie wartości statystyki testowej

obliczenie wartości statystyki testowej

t

wybranie odpowiedniej statystyki testowej

wybranie odpowiedniej statystyki testowej

T

sformułowanie hipotez i określenie poziomu istotności

sformułowanie hipotez i określenie poziomu istotności

H

0

i H

1

α

– parametry liczone na podstawie próby

n – liczebność próbki >30

Test hipotezy o wartości oczekiwanej – duża próba

Hipotezy zerowe i odpowiednie hipotezy alternatywne:

H

0

: E(X) = m

0

H

0

: E(X) = m

0

H

0

: E(X) = m

0

H

1

: E(X) ≠ m

0

H

1

: E(X) > m

0

H

1

: E(X) < m

0

Statystyka testowa

n

s

m

x

T

0

-

=

s

x,

gdzie α – poziom istotności

Test hipotezy o wartości oczekiwanej – duża próba

wartość krytyczna t

α

– odczytana z tablic rozkładu

T~N(0,1) w zależności od typu testu:

dwustronny prawostronny lewostronny

H

1

: E(X) ≠ m

0

H

1

: E(X) > m

0

H

1

: E(X) < m

0

Hipotezę zerową należy

odrzucić

, gdy wartość t statystyki T będzie

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

2

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

α

t

t >

α

t

t >

α

t

t

-

<

H

0

: E(X) = m

0

H

0

: E(X) = m

0

H

0

: E(X) = m

0

H

1

: E(X) ≠ m

0

H

1

: E(X) > m

0

H

1

: E(X) < m

0

Statystyka testowa

1

-

-

=

0

n

s

m

x

T

Test hipotezy o wartości oczekiwanej – mała próba

n<30

Wartość krytyczna t odczytana z tablic rozkładu Studenta dla n-1 stopni
swobody oraz dla testu

dwustronny prawostronny lewostronny

α

2α

α

n

n

t

t

,

1

-

1

-

>

α

n

n

t

t

2

,

1

-

1

-

>

α

n

n

t

t

2

,

1

-

1

-

-

<

Hipotezę zerową należy

odrzucić,

gdy wartość t statystyki T będzie

gdzie α – poziom istotności

Test hipotezy o frakcji (udziale, procencie) – duża próba

n > 100

X- liczba zdarzeń sprzyjających

wartość krytyczna t

α

– odczytana z tablic

rozkładu T~N(0,1) w zależności od typu
testu:

dwustronny prawostronny lewostronny

H

0

: p = p

0

H

0

: p = p

0

H

0

: p = p

0

H

1

: p ≠ p

0

H

1

: p > p

0

H

1

: p < p

0

Hipotezę zerową należy

odrzucić,

gdy wartość t statystyki T będzie

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

2

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

n

p

p

p

n

X

T

)

-

1

(

-

=

0

0

0

α

t

t >

α

t

t >

α

t

t

-

<

H

0

: E(X) = E(Y) H

0

: E(X) = (E(Y) H

0

: E(X) = E(Y)

H

1

: E(X) ≠ E(Y)

H

1

: E(X) > E(Y) H

1

: E(X) < E(Y)

Statystyki testowe w zależności od liczebności prób

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

+

2

-

+

+

-

=

n

n

n

n

n

n

s

n

s

n

y

x

T

y

x

Test hipotez o równości wartości oczekiwanych w

dwóch próbach

n

1

< 30, n

2

< 30

Wartość krytyczna t odczytana z
tablic rozkładu Studenta dla n

1

+n

2

-2

stopni swobody, analogicznie jak dla
E(X) dla małej próby

n

1

> 30, n

2

> 30

Wartość krytyczna t

α

odczytana z

tablic rozkładu normalnego
analogicznie jak dla E(X) dla
dużej próby

2

2

1

2

+

-

=

n

s

n

s

y

x

T

y

x

gdzie α – poziom istotności

Test hipotezy o równości frakcji w dwóch dużych próbach

dwustronny prawostronny lewostronny

H

0

: p

1

= p

2

H

0

: p

1

= p

2

H

0

: p

1

= p

2

H

1

: p

1

≠

p

2

H

1

: p

1

> p

2

H

1

: p

1

< p

2

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

2

2

-

1

=

)

(

Φ

α

t

α

wartość krytyczna
t

α

– odczytana z

tablic rozkładu
T~N(0,1) w
zależności od typu
testu:

Hipotezę zerową należy

odrzucić

, gdy wartość t statystyki T będzie

α

t

t >

α

t

t >

α

t

t

-

<

n

1

> 100, n

2

> 100

Testowanie hipotez o istotności współczynnika korelacji

r – współczynnik korelacji
wyznaczony z próby

H

0

: r = r

0

H

0

: r = r

0

H

0

: r = r

0

H

1

: r ≠ r

0

H

1

: r > r

0

H

1

: r < r

0

2

-

-

1

=

2

n

r

r

T

Statystyka testowa

Wartość krytyczna t odczytana z tablic rozkładu Studenta dla n-2 stopni
swobody, analogicznie jak dla E(X) dla małej próby

Hipotezę zerową należy

odrzucić

, gdy wartość t statystyki T będzie

α

t

t >

α

t

t >

α

t

t

-

<

Dziękuję za uwagę