SiMR  Kolokwium z Analizy Matematycznej 1

Grupa 1.9

22 listopada 2007

I

1. [5p] Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) [3p] lim

n→∞

√

n

2

+

√

n+1−

√

n

2

−

√

n−1

√

n+1−

√

n

(b) [2p] lim

n→∞



n

2

−3

n

2

+2



n(n+2)

2. [4p] Obliczy¢:

(a) [2p]



x8

x

2



0

(b) [2p]



√

cosh x

2



0

3. [4p] Wyznaczy¢ asymptoty i naszkicowa¢ wykres funkcji f(x) = x arctan x.
4. [4p] Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x) = x

−x

na przedziale (0, +∞).

Powodzenia!

SiMR  Kolokwium z Analizy Matematycznej 1

Grupa 1.9

22 listopada 2007

II

1. [4p] Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) [2p] lim

n→∞

n



1

1+n

2

+

1

2+n

2

+ · · · +

1

n+n

2



(b) [2p] lim

n→∞



n

2

+4

n

2

−1



(n−1)

2

2. [4p] Obliczy¢:

(a) [2p] lim

x→∞

tanh

x

2

(b) [2p] sinh(5x

2

− 1)

0

3. [5p] Wyznaczy¢ parametry a, b, c, d, e, f tak, aby funkcja f byªa ci¡gªa i ró»niczkowalna na R.

f (x) =















0

dla x < −1

x

3

+ ax

2

+ bx + c

dla − 1 ≤ x < 0

−x

3

+ dx

2

+ ex + f

dla 0 ≤ x < 1

0

dla 1 ≤ x

4. [4p] Który z prostok¡tów o staªym obwodzie l ma najwi¦ksze pole?

Powodzenia!