Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

1

CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZÓW DOSKONAŁYCH

W kinetycznej teorii gazów udowodniono, że pojemność cieplna gazów doskonałych przy

stałej objętości

K

kmol

J

c

jest wielkością stałą, proporcjonalną do liczby stopni swobody

cząsteczki gazu, a nie zależy od rodzaju gazu – a więc zależy od ilości atomów składających

się na cząsteczkę. Na jeden stopień swobody przypada pojemność cieplna

R

5

,

0

, czyli:

K

kmol

J

R

f

c

5

,

0

gdzie:

R

-

uniwersalna stała gazowa,

f

– liczba stopni swobody cząsteczki.

Liczba stopni swobody ruchu postępowego cząsteczek nie zależy od rodzaju cząsteczki

i

wynosi trzy. Cząsteczka może poruszać się w przestrzeni w trzech prostopadłych do siebie

kierunkach.

Liczba stopni ruchu obrotowego cząstek zależy od ilości atomów w cząstce. Cząstki

jednoatomowe nie mają energii kinetycznej ruchu obrotowego w związku z założeniem

nieskończenie małych rozmiarów (moment bezwładności cząsteczki względem dowolnej osi

przechodzącej przez nią jest równy zeru).Cząsteczki dwuatomowe mają budowę liniową i mogą

obracać się dookoła dwóch osi prostopadłych do linii łączącej atomy, przechodzących przez

każdy z atomów. Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez oba atomy jest

równy zeru. Mają więc dwa stopnie swobody ruchu obrotowego.

Cząstki trój i więcej atomowe mają trzy stopnie swobody ruchu obrotowego.

KIlom

olowa pojemność cieplna gazów doskonałych przy stałej objętości wynosi więc:

Gazy jednoatomowe:

Liczba stopni swobody f

: 3 (ruch postępowy - 3, ruch obrotowy – 0)

K

kmol

kJ

R

R

f

c

47

,

12

7

,

8314

2

3

2

3

2

1

Gazy dwuatomowe:

Liczba stopni swobody f

: 5 (ruch postępowy - 3, ruch obrotowy – 2)

K

kmol

kJ

R

R

f

c

787

,

20

7

,

8314

2

5

2

5

2

1

Gazy

trój i wieloatomowe:

Liczba stopni swobody f

: 6 (ruch postępowy - 3, ruch obrotowy – 3)

K

kmol

kJ

R

R

f

c

94

,

24

7

,

8314

2

6

2

6

2

1

Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

2

Udowodniono również, że pomiędzy pojemnością cieplną przy stałej objętości

v

c

a

pojemnością cieplną przy stałym ciśnieniu

p

c

zachodzi następująca zależność:

R

c

c

μv

μp

zwana

równaniem Mayera.

A zatem kilo

molowa pojemność cieplna gazów doskonałych przy stałym ciśnieniu wynosi:

- gazy jednoatomowe:

K

kmol

kJ

,

R

R

c

c

v

p

8

20

2

5

- gazy dwuatomowe:

K

kmol

kJ

,

R

R

c

c

v

p

1

29

2

7

-

gazy trój i wieloatomowe:

K

kmol

kJ

,

R

R

c

c

v

p

3

33

2

8

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu jest zawsze większe od ciepła właściwego przy stałej

objętości, a ich stosunek:

k

c

c

μv

μp

jest ważną wielkością w wielu zastosowaniach. I tak dla gazów:

- jednoatomowych :

...

,

k

666

1

3

5

- dwuatomowych:

4

1

5

7

,

k

-

trój i wieloatomowych :

...

,

k

333

1

6

8

Znając masę kilomolową danego gazu można z ciepła kilomolowego obliczyć ciepło właściwe

odniesione do 1 kg materii:

K

kg

J

M

c

c

K

kg

J

M

c

c

v

v

p

p

Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

3

Ciepło właściwe gazów doskonałych przy stałej objętości i stałym ciśnieniu, wyrażone

w

K

kg

J

, wynosi więc:

- gazy jednoatomowe:

K

kg

J

R

M

R

c

v

2

3

2

3

K

kg

J

R

c

p

2

5

...

,

c

c

k

v

p

66

1

3

5

-gazy dwuatomowe:

K

kg

J

R

M

R

c

v

2

5

2

5

K

kg

J

R

c

p

2

7

4

1

5

7

,

c

c

k

v

p

-

gazy trój i wieloatomowe:

K

kg

J

R

M

R

c

v

2

6

2

6

K

kg

J

R

c

p

2

8

...

,

c

c

k

v

p

33

1

6

8

Równanie Mayera przyjmuje postać:

R

c

c

v

p

(1)

gdzie:

K

kg

J

R

- indywidualna s

tała gazowa,

a

k

c

c

v

p

(2)

Zależności (1) i (2) pozwalają określić pojemność cieplną przy stałym ciśnieniu i stałej objętości

w zależności od k i R:

R

k

k

c

k

c

k

R

c

v

p

v

1

1

CIEPŁO WŁAŚCIWE ROZTWORÓW GAZÓW DOSKONAŁYCH

Dla 1 [kg] materii:

K

kg

J

c

g

c

vi

k

i

i

vm

1

K

kg

J

c

g

c

pi

k

i

i

pm

1

(3)

Dla 1 [kmol] materii:

K

kmol

J

c

z

c

vi

k

i

i

vm

1

K

kmol

J

c

z

c

pi

k

i

i

pm

1

(4)

Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

4

Wyprowadzenie zależności (3) i (4) jest przedstawione dalej.

CIEPŁO WŁAŚCIWE PRZEMIAN POLITROPOWYCH

Wykładnik przemiany politropowej m:

ILOŚĆ CIEPŁA

I

lość ciepła pochłoniętego przez czynnik można ogólnie zapisać wzorem:

)

T

T

(

c

M

Q

1

2

2

1

jednostki: Q [J],

c[J/(kg∙K)], T[K]

(5)

lub w odniesieniu do 1 kg czynnika:

)

T

T

(

c

q

1

2

2

1

jednostki: q[J/kg],

c[J/(kg∙K)], T[K]

(6)

gdzie: c

– pojemność cieplna właściwa (ciepło właściwe).

WYPROWA

DZENIE ZALEŻNOŚCI (3) i (4)

Ilość ciepła pochłoniętą przez mieszaninę gazów można obliczyć jako sumę ciepeł

pochłoniętych przez tworzące ją gazy:

2

1

2

1

2

1

2

1

C

B

A

m

Q

Q

Q

Q

Załóżmy, że pochłanianie ciepła odbywa się przy stałej objętości. Zapiszemy to następująco:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

T

T

c

M

c

M

c

M

T

T

c

M

T

T

c

M

T

T

c

M

Q

Q

Q

Q

vC

C

vB

B

vA

A

vC

C

vB

B

vA

A

vC

vB

vA

vm

(7)

Ciepło pochłonięte przez mieszaninę gazów można zapisać, wykorzystując (5), następująco:

)

(

1

2

2

1

T

T

c

M

Q

vm

m

vm

(8)

gdzie: M

m

– masa mieszaniny,

K

kg

J

c

m

k

m

c

y

otrzymujem

k

c

c

iu

podstawien

i

c

c

m

c

c

mc

m

c

c

c

c

c

m

ceniu

przeksztal

po

c

c

c

c

m

v

v

p

v

p

v

p

v

p

v

v

p

1

:

:

)

(

)

1

(

)

(

:

Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

5

c

vm

– ciepło właściwe mieszaniny przy stałej objętości.

Porównując prawe strony równań (7) i (8) otrzymamy:

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

T

T

c

M

c

M

c

M

T

T

c

M

vC

C

vB

B

vA

A

vm

m

(9)

Równanie (9) można przekształcić do następującej postaci:

vC

C

vB

B

vA

A

vC

M

C

vB

m

B

vA

m

A

vm

c

g

c

g

c

g

c

M

M

c

M

M

c

M

M

c

vC

C

vB

B

vA

A

vm

c

g

c

g

c

g

c

ciepło właściwe mieszaniny przy stałej objętości

Zakładając, że pochłanianie ciepła odbywa się przy stałym ciśnieniu i dokonując takich

samych przekształceń otrzymuje się zależność:

pC

C

pB

B

pA

A

pm

c

g

c

g

c

g

c

ciepło właściwe mieszaniny przy stałym ciśnieniu

Stosując zapis molowy ciepła pochłanianego przy stałej objętości:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

T

T

c

n

c

n

c

n

T

T

c

n

T

T

c

n

T

T

c

n

Q

Q

Q

Q

vC

C

vB

B

vA

A

vC

C

vB

B

vA

A

vC

vB

vA

vm

)

(

1

2

2

1

T

T

c

n

Q

vm

m

vm

i dokonując przekształceń otrzymuje się:

vC

C

vB

B

vA

A

vm

c

z

c

z

c

z

c

ciepło kilomolowe mieszaniny przy stałej objętości

W przypadku

pochłaniania ciepła przy stałym ciśnieniu otrzymuje się:

pC

C

pB

B

pA

A

pm

c

z

c

z

c

z

c

ciepło kilomolowe mieszaniny przy stałym ciśnieniu

ZADANIA

Zadanie 1

Obliczyć ciepło właściwe izochoryczne i izobaryczne azotu N

2

.

Odp.: c

p

= 1050 J/(kg

∙K), c

v

= 750 J/(kg

∙K)

Zadanie 2

Podczas pewnej przemiany gaz d

oskonały został ogrzany od 100 C do 200 C, pobierając

130

kJ ciepła. Obliczyć ciepło właściwe gazu podczas tej przemiany, jeśli wiadomo, że ilość

gazu wynosi 1,5 kg.

Odp.: c = 867 J/(kg

∙K)

Ciepło właściwe gazów

doskonałych

Opracowanie: dr inż. Ewa Fudalej-Kostrzewa

6

Zadanie 3

W pewnej przemianie 1 kg gazu oddał do otoczenia Q = 37 kJ ciepła. Wiadomo, że cały proces

odbywał się przy stałym cieple właściwym c = 650 J/(kg∙K). Obliczyć spadek temperatury gazu.

Odp.: T = 57 K.

Zadanie 4

Obliczyć ciepło właściwe jednoatomowego gazu doskonałego w przemianie politropowej

o

wykładniku n = 2,1. Stała gazowa R = 208 J/(kg∙K).

Odp.: c = 122,9 J/(kg

∙K)

Zadanie 5

Ile ciepła wymienia z otoczeniem wodór w przemianie politropowej o wykładniku m = 1,7

realizowanej w zakresie temperatur od 300K do 500K. Potraktować wodór jako gaz doskonały.

Odp.: q = 890,8 kJ/kg

Zadanie 6

Obliczyć ciepło właściwe tlenu przy stałym ciśnieniu i przy stałej objętości oraz przy przemianie

politropowej o wykładniku 2. Potraktować tlen jako gaz doskonały.

Odp.: c

p

= 918,8 J/(kg

∙K), c

v

= 656,3 J/(kg

∙K), c = 393,8 J/(kg∙K)

Zadanie 7

Wyznaczyć ciepło właściwe izochoryczne jednoatomowego gazu doskonałego o masie

kilomolowej M

= 40 kg/kmol. Na podstawie wyznaczonej wartości ciepła właściwego obliczyć

stałą gazową tego gazu.

Odp.: c

v

= 315 J/(kg

∙K), R = 210 J/(kg∙K)