Ć w i c z e n i e 44

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY

SZTYWNEJ WZGLĘDEM DOWOLNEJ OSI OBROTU

Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA

44.1 Opis teoretyczny

W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego również twierdzeniem o osiach równoległych,
należy zdefiniować położenie środka masy danej bryły sztywnej.
Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona
cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie. Środek
masy układu N punktów materialnych o masach m

1

, m

2

, ...., m

N

jest punktem, którego współrzędne

x

C

, y

C

, z

C

w danym układzie współrzędnych wyrażają się następującymi wzorami:

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

x

M

x

1

1

;

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

y

M

y

1

1

;

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

z

M

z

1

1

(44.1)

Odległość środka masy od początku układu odniesienia określona jest wektorem

[

]

C

C

C

C

z

y

x

r

,

,

=



∑

=

=

N

i

i

i

C

m

r

M

r

1

1





(44.2)

gdzie wektory

[

]

i

i

i

i

z

y

x

r

,

,

=



opisują położenia poszczególnych mas składowych

i

m względem

punktu odniesienia, a M jest masą całego układu równą sumie mas składowych

i

m (

∑

=

=

N

i

i

m

M

1

).

Wyznaczając środek masy ciała rozciągłego (bryły sztywnej) należy rozłożyć go na nieskończenie
wiele małych mas dm, których położenia względem punktu odniesienia są określone wektorem

[

]

z

y

x

r

,

,

=



. Wówczas w powyższych wzorach sumy przyjmują postać całek :

∫

=

dm

x

M

x

C

1

;

∫

=

dm

y

M

y

C

1

;

∫

=

dm

z

M

z

C

1

(44.3)

∫

=

dm

r

M

r

C

1



(44.4)

Przy czym całkowanie musi się odbyć po wszystkich elementach dm to znaczy po całej objętości
ciała sztywnego. Należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, gdy punkt odniesienia pokrywa
się ze środkiem masy. Wówczas

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r



tzn.

0

;

0

;

0

=

=

=

∫

∫

∫

dm

z

dm

y

dm

x

(44.5)

Wielkość fizyczna zwana momentem bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego, gdy
wykonuje ono ruch obrotowy. Jest to wielkość stała dla danego ciała sztywnego i określonej osi
obrotu. Informuje nas jak rozłożona jest masa obracającego się ciała wokół jego osi obrotu zgodnie
ze wzorem:

∫

=

dm

r

J

2

(44.6)

Została ona dokładnie opisana w części teoretycznej w ćwiczeniu nr 36. Wartość momentu
bezwładności zależy od osi, wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znamy moment

bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to możemy za
pomocą twierdzenia Steinera obliczyć momentem bezwładności tego ciała względem innej osi
równoległej do niej.

Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera

Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku moment bezwładności względem osi obrotu
przechodzącej przez jego środek masy (jest to oś Z) wyraża się całką:

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

1

2

1

(44.7)

Wyrażenie

2

2

1

2

1

h

y

x

=

+

określa kwadrat odległości elementu dm od osi Z.

Analogicznie możemy napisać wyrażenie na moment bezwładności względem osi obrotu Z

*

równoległej do osi Z i oddalonej od niej o

2

2

C

C

y

x

d

+

=

, gdzie współrzędne

C

C

y

x i

określają

położenie środka masy rozpatrywanego ciała w nowym układzie współrzędnych (z gwiazdką):

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

2

2

2

*

(44.8)

Wyrażenie

2

2

2

2

y

x

+

określa kwadrat odległości elementu dm od nowej osi Z

*

przy czym:

1

2

x

x

x

C

+

=

;

1

2

y

y

y

C

+

=

(44.9)

Podstawiając wyrażenia 44.9 do 44.8 otrzymujemy:

(

) (

)

[

]

(

)

∫

∫

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

dm

y

y

y

y

x

x

x

x

dm

y

y

x

x

J

C

C

C

C

C

C

Z

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

*

2

2

(44.10)

dalej grupując wyrażenia

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+

+

=

dm

y

y

dm

x

x

dm

y

x

dm

y

x

J

C

C

C

C

Z

1

1

2

2

2

1

2

1

*

2

2

Y

*

x

2

y

1

X

Y

dm

Z

x

C

y

C

y

2

x

1

Z

*

X

*

d

h

0

0

oś obrotu przechodząca
przez środek masy

dowolna oś obrotu

Pierwsza całka (zgodnie z 44.7) odpowiada wyjściowemu momentowi bezwładności J

Z

.

Ponieważ jak zaznaczyliśmy wyżej

2

2

2

d

y

x

C

C

=

+

i

∫

=

M

dm

druga całka przyjmuje postać:

(

)

M

d

dm

y

x

C

C

2

2

2

=

+

∫

Dwie ostatnie całki zerują się, gdyż spełniony jest warunek 44.5 tzn. położenie środka masy w
pierwotnym układzie odniesienia określa wektor zerowy

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r



.

Reasumując równanie (44.10) przyjmuje postać:

2

*

d

M

J

J

Z

Z

+

=

(44.11)

I to jest właśnie twierdzenie Steinera opisujące związek między momentami bezwładności

Z

Z

J

J i

*

.

44.2 Metoda pomiaru.

W ćwiczeniu wyznaczamy momenty bezwładności okrągłej tarczy metalowej o promieniu
R = 15 cm. Posiada ona 5 otworów rozmieszczonych co 3 cm. Umożliwia to równoległe
przesuwanie osi jej obrotu o znaną wartość d. Tarczę mocuje się na balansowym sprężynowym
mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z położenia równowagi o nieduży kąt i puszczona
swobodnie wykonuje drgania harmoniczne jak wahadło torsyjne (patrz ćwiczenie nr 40).
Okres drgań tarczy wyraża się tym samym wzorem:

D

J

π

2

T

=

(44.12)

gdzie: J – moment bezwładności tarczy względem zadanej osi obrotu.

D – stała zwana modułem skręcenia lub momentem kierującym zależna od budowy
mechanizmu torsyjnego . W ćwiczeniu wynosi ona 0,0255 Nm

W ten sposób mierząc okres drgań T wyznacza się moment bezwładności J. Stanowisko
wyposażone jest w fotokomórkę, za pomocą której można automatycznie zmierzyć połowę okresu
drgań czyli T/2 .

44.3 Wykonanie pomiarów.

1. Zapoznać się z budową zestawu pomiarowego.
2. Umocować tarczę na centralnym otworze.
3. Włączyć fotokomórkę.
4. Obrócić tarczę o kąt 90

o

, nacisnąć na fotokomórce przycisk SET i puścić tarczę. Po

wykonaniu przez układ pełnego drgania, odczytać na wyświetlaczu czas T/2. Czynność
powtórzyć dziesięciokrotnie, obracając tarczę po 5 razy w prawo i lewo.

5. Umocowywać tarczę na kolejnych otworach i powtarzając punkt 4 mierzyć kolejne okresy

drgań.

44.4 Opracowanie wyników pomiarów.

1. Obliczyć średnie arytmetyczne wyznaczonych okresów drgań i ich średnie błędy kwadratowe.
2. Na podstawie zależności (44.12) obliczyć momenty bezwładności J dla 5 serii pomiarowych

oraz błędy pomiarów.

3. Wykonać wykres

)

(

2

d

f

J

=

. W eksperymencie d przyjmuje kolejno wartości: 0, 3, 6, 9,

12 [cm]. Nanieść punkty pomiarowe wraz z błędami i poprowadzić przez nie optymalną
prostą najlepiej stosując metodę najmniejszych kwadratów Gaussa. Reprezentuje ona
twierdzenie Steinera (wzór (44.11)). Wyciągnąć odpowiednie wnioski.

4. Z teoretycznego wzoru

2

2

1

MR

J

=

obliczyć moment bezwładności tarczy (R = 15 cm,

M = 0,4 kg) i porównać go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem przecięcia prostej
z punktu 3 z osią rzędnych). Wyciągnąć odpowiednie wnioski.

5. Obliczyć moment bezwładności tarczy względem osi prostopadłej do jej płaszczyzny i

przechodzącej przez jej krawędź. Porównać ten wynik z danymi z wykresu z punktu 3.

44.5. Pytania kontrolne

1. Wyjaśnić pojęcie środka masy ciała.
2. Zdefiniować moment bezwładności bryły. Od czego on zależy?
3. Wyprowadzić wzór na moment bezwładności walca o promieniu R względem osi obrotu.
4. Wyprowadzić wzór na okres wahadła torsyjnego.

L i t e r a t u r a

[1] Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 1995.
[2] Kittel C., Knight W.D., Ruderman M.A.: Mechanika, PWN, Warszawa 1973.