PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 1

Metody Obliczeniowe w Mechanice Konstrukcji – przykładowe zadania +

rozwiązania

Wzory:

Funkcje kształtu Hermite’a:
#

$

%&, () * 1 , 3 .

&

(/

0

+ 2 .

&

(/

2

#

0

%&, () * & .1 ,

&

(/

0

#

2

%&, () * 3 .

&

(/

0

, 2 .

&

(/

2

#

3

%&, () * & 4.

&

(/

0

,

&

(5

Macierz sztywności elementu belkowego:

8%9:, () *

;

<

<

<

<

<

<

=

129:

(

2

69:

(

0

69:

(

0

49:

(

,129:

(

2

69:

(

0

,69:

(

0

29:

(

,129:

(

2

,69:

(

0

69:

(

0

29:

(

129:

(

2

,69:

(

0

,69:

(

0

49:

( @

A

A

A

A

A

A

B

Macierz bezwładności elementu belkowego:

C%D, () *

D(

420 F

156 22(

22( 4(

0

54 ,13(

13( ,3(

0

54

13(

,13( ,3(

0

156 ,22(

,22(

4(

0

H

1.

Narysować i opisać schemat analizy komputerowej.

2.

Napisać i objaśnić użyte oznaczenia równania modelu matematycznego w

sformułowaniu lokalnym i w sformułowaniu globalnym dla problemu pręta zginanego.

3.

Wyprowadzić równanie różniczkowe wraz z warunkami brzegowymi problemu

brzegowego rozciąganego pręta sprężystego.

Aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja i interpolacja

4.

Obliczyć metodą najmniejszych kwadratów wielomian aproksymacyjny stopnia

pierwszego i drugiego dla danych:

y

i

0,0504 0,0984 0,3328 0,7266 1,097

1,570

1,849

2,502

x

i

0,2

0,3

0,6

0,9

1,1

1,3

1,4

1,6

5.

Wyprowadzić funkcje interpolacji Lagrange’a stopnia n*2 dla węzłów i*0,1,2

%N

2,0

%x)*? ; N

2,1

%x)*? ; N

2,2

%x)*?). Sprawdzić warunek kompletności ∑ #

Z,[

%&) * 1

0

[\]

oraz wykonać wykresy funkcji bazowych.

6.

Obliczyć f%2,5) przyjmując:

•

wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia pierwszego i dane:

f%2,4)*0,5104 i f%2,6)*0,4813

•

wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia drugiego i dane:

f%2,2)*0,5208; f%2,4)*0,5104 i f%2,6)*0,4813

7.

Obliczyć funkcje kształtu dla 3 węzłowego elementu skończonego. Sprawdzić warunki

kompletności.

#

[

*

1

2_

%`

[

+ a

[

& + b

[

c)

`

[

* &

d

c

e

, &

e

c

d

; a

[

* c

d

, c

e

;

b

[

* &

e

, &

d

PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 2

8.

Korzystając z interpolacji Hermite’a obliczyć ugięcie w zaznaczonych punktach belki.

f *

;

<

<

<

<

<

<

=,0.045

0.027

0

0.012

0

,0.005

,0.016

0 @

A

A

A

A

A

A

B

,

EI

*6480 kNm

2

rozwiązanie: w

A

*-0.0186, w

B

*0.0091, w

C

*-0.0149 [m].

Metoda Różnic Skończonych

Metoda Różnic Skończonych

Metoda Różnic Skończonych

Metoda Różnic Skończonych

9.

Opisać algorytm rozwiązania problemu metodą różnic skończonych. Poszczególne kroki

rozwiązania zilustrować rozwiązując równanie różniczkowe:

y”%x)*2x, xϵ%0, L), y%0)*0 i y%2)*1, Δx*0.5, L*2,

10.

Objaśnić na przykładzie problemu parabolicznego rozwiązanie różnicami skończonymi

metodą bezpośrednią oraz metodą Cranka-Nicolsona.

s

t

u

sv

t

*

su

sw

,

xϵ%0, L)

T%0, t)*T%L, t)*0, T%x, 0)*f%x)

11.

Opisać metodę różnic skończonych rozwiązywania równania różniczkowego

hiperbolicznego.

12.

Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS):

xє<0,4>,

Δx*h*1,

u%0)*0,

u%4)*-1

a)

|

t

}%v)

|v

t

, 2~%&) * 4&

rozwiązanie: u%1)* -1.875, u%2)* -3.5, u%3)* -4.125

b)

|

t

}%v)

|v

t

, 2

|}%v)

|v

* ,&

rozwiązanie: u%1)* 0.5, u%2)* 1.5, u%3)* 3 %r. centralne)

rozwiązanie: u%1)* 0.575, u%2)* 1.3, u%3)* 1.475 %r. wstecz)

rozwiązanie: u%1)* 1.5, u%2)* 0, u%3)* 3.5 %r. wprzód)

13.

Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS):

xє<0,6>,

Δx*h*2,

yє<0,2>,

Δy*k*1,

a)

|

t

}%v,•)
|v

t

+

|

t

}%v,•)

|•

t

* & + c, u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,

|}%v,0)

|•

* 0 %r. centralne)

rozwiązanie: u%2,1)* 0.103, u%4,1)* -1.246, u%2,2)* -1.342, u%4,2)* -3.14

b)

|

t

}%v,•)
|v

t

+

|

t

}%v,•)

|•

t

* 0,

u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,

|}%v,0)

|•

* ,&

rozwiązanie: u%2,1)* 2.4, u%4,1)* 1.681, u%2,2)* 0.581, u%4,2)* -1.397

c)

|

t

}%v,•)
|v

t

+

|

t

}%v,•)

|•

t

* 2,

u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,

|}%v,0)

|•

* ,2

rozwiązanie: u%2,1)* 1.224, u%4,1)* 1.224, u%2,2)* -0.245, u%4,2)* -0.245

14.

Rozwiązać dane równanie różniczkowe

|}%v,w)

|w

* 2

|

t

}%v,w)

|v

t

%MRS – Metodą Cranka-

Nicolsona), dla poziomu j*1. xє<0,9>,

Δx*h*3, r*0.5

a)

u%0,t)*0, u%9,t)*0, u%x,0)*-4x

2

+36x

rozwiązanie: Δt*4.5, u%3, Δt)* 24, u%6, Δt)* 24

b)

u%0,t)*0, u%9,t)*18, u%x,0)*-%5/3)x

2

+17x

15.

Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS), dla poziomu

czasowego j*1.
xє<0,6>, Δx*h*2, r*1, u%0,t)*0, u%6,t)*0, u%x,0)*-4x

2

+24x,

|}%v,])

|w

* 5

a)

|

t

}%v,w)

|w

t

* 4

|

t

}%v,w)

|v

t

,

rozwiązanie: Δt*2, u%2, Δt)* -22, u%4, Δt)* -22

b)

|

t

}%v,w)

|w

t

* &

|

t

}%v,w)

|v

t

,

rozwiązanie: Δt*2, u%2, Δt)* 10, u%4, Δt)* -22

PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 3

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

16.

Opisać algorytm metody elementów skończonych.

17.

Obliczyć macierz sztywności elementu skończonego ze wzoru na k

i,j

, i,j*1,2.

f * •f

$

,f

0

‚

18.

Rozwiązać belkę metodą elementów skończonych. Obliczyć tą metodą reakcje i siły

przywęzłowe. Wykonać wykresy T i M.

a*5 cm

EI*3200 kNm

2

19.

Przedstawić graficznie proces agregacji macierzy sztywności.

f * •f

$

, f

0

,f

2

, f

3

, f

ƒ

, f

„

‚

element

węzły

1
2
3
4

1 2 6
2 3 4
4 5 6
2 4 6

20.

Obliczyć wektor sił przywęzłowych dla danego elementu skończonego z danym

obciążeniem i wektorem globalnych stopni swobody. Narysować wykresy N, T i M.

f * •1 ,1.5 2 ,0.5 1 ,3‚ ∙ 10

†2

%X,Y)

– globalny układ współrzędnych

E*210 GPa

A*6*10

-3

m

2

I*1*10

-5

m

4

%korzystnym wydaje się obliczenie wektora sił przywęzłowych w układzie globalnym, a

potem przetransformowanie go do układu lokalnego)

21.

Dla dwuwęzłowego elementu belkowego wyznaczyć wektor sił węzłowych PPPP

e

e e

e

od

obciążenia jak na rysunku. Œ

•

* Ž [#

•

%&)]

u

•

•

%&)•&

‘

’

]

rozwiązanie:

q%x)*2x, Œ

•

*

;

<

<

<

=

t”

•

–”

—•

•–

•

˜™t

•

@

A

A

A

B

rozwiązanie:

q%x)*0.5x

2

, Œ

•

*

;

<

<

<

=

™t

—•

™t

—•

—tš

—•

˜–”

•

@

A

A

A

B

22.

Rozwiązać belkę Metodą Elementów Skończonych. Obliczyć wektory przemieszczeń i

reakcji węzłowych oraz wykonać wykresy sił przekrojowych.

EI

*3600 kNm

2

EI

*5760 kNm

2

rozwiązanie: Q*[0,0,0,-0.0017,0,0.0008]

T

R

1

*[-2.25,-3,2.25,-6]

T

, R

2

*[-2,-6,2,0]

T

rozwiązanie: Q*[0,0.0014,0,0.0021,0,0]

T

R

1

*[7.5,14,-7.5,16]

T

, R

2

*[2,8,-2,4]

T

PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 4

23.

Dla belki podpartej i obciążonej jak na schemacie wyznaczyć wektor stopni swobody QQQQ

i narysować linię ugięcia.

EI

*2400 kNm

2

rozwiązanie: Q*[0,0,0,0.01636,0,-0.00409,0,0]

T

24.

Dla belki podpartej i obciążonej jak na schemacie wyznaczono wektor stopni swobody QQQQ.

Wyznaczyć wektory sił przywęzłowych i narysować wykresy sił przekrojowych.

EI

*6400 kNm

2

Q*[0.001563,0,0,-0.001563,-0.002556,-0.000078,0,0]

T

rozwiązanie: R

1

*[0,5,0,-5]

T

, R

2

*[9.75,5,-9.75,14.5]

T

, R

3

*[9.75,-14.5,62.25,-38]

T

25.

Rozwiązać belkę Metodą Elementów Skończonych. Przyjąć 2 elementy skończone %wg

schematu). Wektor równoważników obciążenia PPPP

eeee

najłatwiej obliczyć wybierając z tablic

wektor reakcji dla belki obustronnie utwierdzonej i zmieniając znak wektora %dla

otrzymania równoważników obciążenia P.

26.

Rozwiązać kratownicę metodą elementów skończonych. EA*600kN

27.

Rozwiązać ramę metodą elementów skończonych.

f *

;

<

<

<

<

<

<

<

=

0

0

0

0.0006

,0.0042

,0.0660

0

0

0

@

A

A

A

A

A

A

A

B

PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 5

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Metoda Elementów Skończonych

Skończonych

Skończonych

Skończonych---- problem

problem

problem

problem ustalonego przepływu ciepła

ustalonego przepływu ciepła

ustalonego przepływu ciepła

ustalonego przepływu ciepła

28.

Sformułować model matematyczny w sformułowaniu lokalnym problemu ustalonego

przepływu ciepła w obszarze dwuwymiarowym. Wyjaśnić użyte symbole %oznaczenia).

Podać wzory na q

e

, K

e

, F

e

i P

e

dla elementu skończonego trójkątnego.

29.

Dany jest element skończony dla problemu stacjonarnego przepływu ciepła %grubość
t*1). Obliczyć element K

23

ze wzoru: 8 * Ž œ•ž

u

Ÿ•

.

•&•c.

Ÿ * 10 ¡/¢£¤

#

$

*

—

t

%0•†v)

;

#

0

*

—

t

%0†0•)

;

#

2

*

$
0v

30.

Obliczyć metodą elementów skończonych wektor gęstości strumienia przepływu ciepła q

q

q

q

oraz temperaturę w punkcie A

A

A

A dla tarczy zdyskretyzowanej jednym elementem

skończonym i z danym wektorem stopni swobody TTTT.

a)

k*5
¥ * ¦

24

12

1

§ ¢

#

$

* 1 ,

$

2]

c ,

$
„

&,

#

0

*

$
„

& ,

$
„

c,

#

2

*

$
ƒ

c,

Rozwiązanie:
• * ¨10

13©,

T

A

%3,1)*15.4 %77/5) ¢

b)

k*12
¥ * ¦

12

2

6

§ ¢

#

$

* 1 ,

$
2

&,

#

0

*

$
3

& ,

$
3

c +

$
3

,

#

2

*

$

$0

& +

$
3

c ,

$
3

,

Rozwiązanie:
• * ¨ 36

,12©,

T

A

%2,1)*6 ¢

31.

Zbudować globalną macierz KKKK dla tarczy zdyskretyzowanej dwoma trójkątnymi

elementami skończonym. %str. 195 skryptu)

a)

Ÿ * 4¡/¢£¤,

Q*

0

Rozwiązanie: 8 *

;

<

<

<

<

<

=

0ƒ

„

†«

„

†«

„

0ƒ

„

0

†$„

„

†$„

„

0

0

†$„

„

†$„

„

0

0ƒ

„

†«

„

†«

„

0ƒ

„

@

A

A

A

A

A

B

¬)

Ÿ * 9 ¡/¢£¤,

Q*

30 J/m

2

s

32.

Dla danych z zadania 31 a) wyznaczyć wartość temperatury w węzłach 1 i 2.

Rozwiązanie:

T

1

*44.044

o

C,

T

2

*33.456

o

C

PŚk - WBiA - KM,KMiMK

Strona 6

Metoda

Metoda

Metoda

Metoda Elementów Skończonych

Elementów Skończonych

Elementów Skończonych

Elementów Skończonych---- drgania własne

drgania własne

drgania własne

drgania własne

33.

Wyprowadzić równanie równowagi dynamicznej MES dla elementu skończonego

belkowego. Objaśnić wszystkie użyte oznaczenia.

34.

Jaką postać ma globalny układ równań równowagi dynamicznej dla konstrukcji. Opisać

występujące tam oznaczenia. Przy jakich założeniach formułujemy problem własny dla

problemu drgań własnych nie tłumionych.

35.

Obliczyć częstość drgań własnych i wektor formy drgań dla belki za pomocą METODY

ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. Narysować 1-szą formę drgań.

EI*70kNm

2

μ*50kg/m

Rozwiązanie: ω

1

*0.81, ω

2

*3.71 [rad/s]

1 forma drgań Q

2

*Q

4

2 forma drgań Q

2

*-Q

4

EI*70kNm

2

μ *80kg/m

Rozwiązanie: ω

1

*0.292, ω

2

*0.764 [rad/s]

1 forma drgań Q

4

*-0.707Q

6