Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

1

CZĘŚĆ 2

SZCZEGÓLNE PRZYPADKI PRZEMIANY POLITROPOWEJ

(PRZEMIANY CHARAKTERYSTYCZNE)

Równanie politropy:

p

1

∙v

1

n

= p

2

∙v

2

n

= const.

Wykładnik politropy:

Ciepło właściwe politropy:

Przypadki szczególne:

a)

Gdy wykładnik politropy n = 1, to:

-

ciepło właściwe:

c

-

równanie przemiany:

p

1

∙v

1

= p

2

∙v

2

= const.

czyli: T

1

= T

2

= const.

Przemiana odbywa się przy stałej temperaturze; jest to przemiana izotermiczna.

b)

Gdy wykładnik politropy n = k, to:

-

ciepło właściwe:

c = 0

-

równanie przemiany:

p

1

∙v

1

k

= p

2

∙v

2

k

= const.

Przemiana odbywa się bez wymiany ciepła z otoczeniem (q

1,2

= 0). Jest to przemiana

adiabatyczna.

Jeśli jest to przemiana odwracalna to spełnia również warunek:

czyli: s

1

= s

2

= const.

W takiej przemianie entalpia jest stała. Jest to przypadek, gdy przemianie poddany jest gaz

doskonały nielepki - a więc nie występują siły tarcia wewnętrznego powodujące wydzielanie się

ciepła podczas przemiany, a w konsekwencji zmianę entropii.

v

p

c

c

c

c

n

v

p

v

c

c

k

n

k

n

c

c

,

1

)

(

0

T

dq

ds

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

2

Z tego względu odwracalna przemiana adiabatyczna bywa nazywana przemianą izentropową

lub ściślej adiabatyczno-izentropową.

c)

Gdy wykładnik politropy n = 0, to:

-

ciepło właściwe:

c = c

p

-

równanie przemiany:

p

1

= p

2

= const.

lub po podstawieniu z równania stanu gazu:

równanie przemiany ma postać:

Przemiana o

dbywa się przy stałym ciśnieniu; jest to przemiana izobaryczna.

d) Gdy n

, to:

-

ciepło właściwe:

c = c

v

-

równanie przemiany:

v

1

= v

2

= const.

lub po podstawieniu z równania stanu gazu:

równanie przemiany ma postać:

Przemiana odbywa się przy stałej objętości; jest to przemiana izochoryczna.

PRZEMIANA IZOTERMICZNA

W

ykładnik politropy n = 1, ciepło właściwe c , T

1

= T

2

= const.

Równanie przemiany:

T

R

v

p

v

p

2

2

1

1

1

1

1

v

T

*

R

p

2

2

2

v

T

*

R

p

2

1

2

1

T

T

v

v

2

1

2

1

T

T

p

p

1

1

1

p

T

*

R

v

2

2

2

p

T

*

R

v

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

3

Praca absolutna:

2

1

2

,

1

dv

p

l

a

Z równania izotermy:

v

v

p

p

v

p

v

p

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

2

1

p

p

T

R

v

v

T

R

v

v

v

p

v

v

v

p

v

v

p

v

dv

v

p

v

dv

v

p

l

v
v

a

2

1

1

2

2

,

1

ln

ln

p

p

T

R

v

v

T

R

l

a

Praca techniczna:

2

1

dp

v

l

t

Z równania izotermy:

p

v

p

v

v

p

v

p

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

ln

ln

2

p

p

v

p

p

p

v

p

dp

p

v

p

p

dp

v

p

l

t

2

,

1

1

2

2

1

2

,

1

ln

ln

a

t

l

v

v

T

R

p

p

T

R

l

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

4

Przyrost energii wewnętrznej

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v

Ponieważ :

2

1

T

T

p

rzyrost energii wewnętrznej w przemianie izotermicznej:

0

2

,

1

u

Przyrost entalpii

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p

Ponieważ :

2

1

T

T

przyrost entalpii w przemianie izotermicznej:

0

2

,

1

i

Ciepło przemiany

Z pierwszej zasady termodynamiki:

2

,

1

2

,

1

2

,

1

A

l

q

u

2

,

1

2

,

1

2

,

1

t

l

q

i

po uwzględnieniu:

0

2

,

1

u

0

2

,

1

i

wynika:

2

,

1

2

,

1

2

,

1

t

a

l

l

q

Przyrost entropii

Z definicji entropii:

T

dq

ds

a zatem:

1

2

,

1

2

,

1

T

q

s

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

5

PRZEMIANA IZENTROPOWA

W

ykładnik politropy n = k, ciepło właściwe c = 0, s

1

= s

2

= const.

Równanie przemiany:

k

k

v

p

v

p

2

2

1

1

lub

)

1

(

2

2

)

1

(

1

1

k

k

v

T

v

T

lub

k

k

k

k

p

T

p

T

1

2

2

1

1

1

Praca absolutna:

2

1

2

,

1

dv

p

l

a

Z równania izentropy:

k

k

k

k

v

v

p

p

v

p

v

p

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

dv

v

v

p

v

dv

v

p

l

k

k

k

k

a

Wiadomo, że:

1

1

1

n

n

x

dx

x

n

n

A zatem:

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

k

k

v

v

k

k

v

v

k

k

v

dv

v

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

6

2

,.

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

u

T

T

c

T

T

k

R

v

p

v

p

k

v

v

p

v

v

p

k

v

v

p

v

v

p

k

v

v

k

v

p

l

v

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

a

2

,

1

1

2

2

,

1

1

u

T

T

k

R

l

a

Praca techniczna:

2

1

dp

v

l

t

Zrównania izentropy:

1

1

1

1

1

1

v

p

p

v

v

p

v

p

k

k

k

k

dp

p

v

p

p

dp

v

p

l

k

k

k

k

t

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

k

k

k

k

k

k

k

p

p

k

k

p

p

k

k

p

p

k

k

p

dp

p

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

,

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

)

(

1

1

1

1

1

i

T

T

c

T

T

R

k

k

v

p

v

p

k

k

v

p

v

p

k

k

p

v

p

p

v

p

k

k

p

p

k

k

v

p

l

p

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

t

2

,

1

2

,

1

1

2

2

,

1

1

i

u

k

T

T

k

R

k

l

t

Ciepło przemiany

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q

W

obec tego, że c =0:

0

2

,

1

q

Przyrost entropii

Zgodnie z definicją:

T

dq

ds

Wobec tego, że c =0, q

1,2

=0:

0

2

,

1

s

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

7

Przyrost energii wewnętrznej

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v

Przyrost entalpii

Zgod

nie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p

PRZEMIANA IZOBARYCZNA

W

ykładnik politropy n = 0, ciepło właściwe c = c

p,

p

1

= p

2

= const.

Równanie przemiany

2

1

2

1

T

T

v

v

Praca absolutna

2

1

1

2

2

,

1

)

(

v

v

p

dv

p

l

a

1

2

2

,

1

v

v

p

l

a

Praca techniczna

0

2

,

1

t

l

Ciepło przemiany

Zgodnie z definicją:

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

8

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q

Wobec tego, że c =c

p

:

1

2

2

,

1

T

T

c

q

p

Przyrost entropii

Z definicji entropii:

T

dq

ds

a zatem:

1

2

2

1

2

1

2

,

1

ln

T

T

c

T

dT

c

T

dq

s

p

p

1

2

2

,

1

ln

T

T

c

s

p

Przyrost energii wewnętrznej

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v

Przyrost entalpii

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p

PRZEMIANA IZOCHORYCZNA

W

ykładnik politropy n = ∞, ciepło właściwe c = c

v,

v

1

= v

2

= const.

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

9

Równanie przemiany

2

1

2

1

T

T

p

p

Praca absolutna

2

1

2

,

1

0

dv

p

l

a

0

2

,

1

a

l

Praca techniczna

2

1

dp

v

l

t

0

2

,

1

t

l

Ciepło przemiany

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q

Wobec tego, że c =c

v

1

2

2

,

1

T

T

c

q

v

Przyrost entropii

Z definicji entropii:

T

dq

ds

a zatem:

1

2

2

1

2

1

2

,

1

ln

T

T

c

T

dT

c

T

dq

s

v

v

1

2

2

,

1

ln

T

T

c

s

v

Przyrost energii wewnętrznej

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v

Przyrost entalpii

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

10

PRZEMIANY - ZADANIA (WAT)

PRZEMIANA IZOTERMICZNA

1. 8 m

3

powietrza o parametrach p

1

=0,9 bar i t=20

C jest sprężane izotermicznie do ciśnienia

p

2

=8,1

bar. Obliczyć objętość końcową, pracę zużytą na sprężenie gazu, ciepło przemiany oraz

przyrost entropii. R

pow.

=287 J/(kg

.

K), c

p

/c

v

=k=1,4

Odp.:L

A

=-1,58 MJ, Q=-1,58 MJ, S

1,2

=-5,4 kJ/K

2. 60 kg tlenu o temperaturze t=15

C jest sprężane izotermicznie od ciśnienia p

1

=1 bar do objętości

V

2

=7,2 m

3

. Obliczyć ciśnienie końcowe, pracę zużytą na sprężenie gazu, ciepło przemiany oraz

przyrost entropii.
Odp.: p

2

=6,25 bar, L

A

=-8,23 MJ, Q=-8,23 MJ, S

1,2

=-28,6 kJ/K

3. 1 kilomol powietrza o temperaturze t=20

C sprężono izotermicznie do p

2

=40 bar zmniejszając

objętość do połowy. Obliczyć ciepło i pracę przemiany, zmianę entropii oraz ciśnienie
początkowe. Skład objętościowy powietrza: r

O2

=0,21, r

N2

=0,79.

Odp.: p

1

=20 bar, L

A

=-1,68 MJ, Q=-1,68 MJ, S

1,2

=-5,73 kJ/K

4.

1 kilomol gazu doskonałego o temperaturze t=20 C sprężono izotermicznie do p

2

=40 bar

zmniejszając objętość do połowy. Obliczyć ciepło i pracę przemiany, zmianę entropii oraz
ciśnienie początkowe.
Odp.: p

1

=20 bar, L

A

=-1,68 MJ, Q=-1,68 MJ, S

1,2

=-5,73 kJ/K

5. 0,8 kg metanu (CH

4

) sprężono izotermicznie przy temperaturze t=15 C odprowadzając Q=-200

kJ ciepła. Ciśnienie końcowe wynosi p

2

=100 bar. Obliczyć ciśnienie początkowe, objętość

początkową i końcową, pracę sprężania gazu oraz zmianę entropii.
Odp.: p

1

=18,82 bar, V

1

=0,0637 m

3

, V

2

=1,199

.

10

-2

m

3

, L

A

=-200 kJ, S

1,2

=-694 J/K

6. 10 m

3

powietrza jest sprężane izotermicznie od p

1

=0,9 bar, t

1

=17 C do p

2

=7,2 bar. Obliczyć

objętość końcową, pracę zużytą na sprężenie gazu, ilość odprowadzonego ciepła oraz masę
wody chłodzącej, która ogrzała się o t=12 C. Ciepło właściwe wody 4,19 kJ/(kg

.

K). Skład

objętościowy powietrza: r

O2

=0,21, r

N2

=0,79.

Odp.: V

2

=1,25 m

3

, L

A

=-18,75 MJ, Q=-18,75 MJ, M

w

=0,373

.

10

3

kg

PRZEMIANA IZOCHORYCZNA

1.

W zbiorniku o objętości V=2 m

3

znajduje się dwutlenek węgla (CO

2

) o ciśnieniu p

1

=20 bar

i temperaturze t

1

=150

C. Zbiornik jest ochładzany do chwili osiągnięcia przez gaz ciśnienia

p

2

=2

bar. Obliczyć ciepło wymienione z otoczeniem, temperaturę końcową, zmianę energii

wewnętrznej, entalpii i entropii.
Odp.: Q=-10,8 MJ, T

2

=42,3 K, U

1,2

=-10,8 MJ, I

1,2

=-14,36 MJ, S

1,2

=-65,3 kJ/K

2. Zbiornik zawiera V=0,15 m

3

azotu o ciśnieniu p

1

=1,4 bar i temperaturze t

1

=100 C. Zbiornik jest

ochładzany do temperatury t

2

=15

C. Obliczyć ciepło wymienione z otoczeniem, ciśnienie

końcowe, zmianę energii wewnętrznej, entalpii i entropii.
Odp.: Q=-12 kJ, p

2

=1,08 bar, U

1,2

=-12 kJ, I

1,2

=-16,8 kJ, S

1,2

=-36,5 J/K

3.

3 kg powietrza umieszczone w zamkniętym zbiorniku jest podgrzewane aż do osiągnięcia
przyrostu entalpii właściwej i

1,2

=80 kJ/kg. Ciśnienie początkowe wynosi p

1

=7 bar a temperatura

końcowa t

2

=200

C. Obliczyć ciśnienie końcowe, ciepło przemiany i zmianę energii wewnętrznej.

Stała gazowa powietrza R=287J/(kg*K), k = c

p

/c

v

= 1,4.

Odp.: p

2

=8,4 bar, Q=172,2 kJ, U

1,2

=172,2 kJ

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

11

PRZEMIANA IZOBARYCZNA

1. 1 kilogram powietrza o parametrach t

1

=47 C i p

1

=1,5 bar zwiększa objętość przy stałym ciśnieniu

dopóki entropia nie zmieni się o 0,04 kJ/(kg

.

K). Obliczyć temperaturę końcową, ciepło i pracę

przemiany, zmianę energii wewnętrznej i entalpii. Stała gazowa powietrza R=287 J(kg

.

K),

k=c

p

/c

v

=1,4.

Odp.:T

2

=333 K, Q=13,06 kJ, L

A

=3,75 kJ, U

1,2

=9,33 kJ, I

1,2

=13,06 kJ

2.

W cylindrze z ruchomym tłokiem znajduje się 0,5 m

N

3

wodoru o parametrach p

1

=100658 Pa,

t

1

=80

C. W wyniku doprowadzenia pewnej ilości ciepła temperatura wzrosła do t

2

=610 C.

Obliczyć ilość doprowadzonego ciepła, pracę absolutną, zmianę energii wewnętrznej i entalpii,
jeśli ciśnienie nie zmieniło się.
Odp.: Q=344 kJ, L

A

=97,64 kJ, U

1,2

=245,6 kJ, I

1,2

=343,8 kJ

3.

Azot podlega przemianie przy stałym ciśnieniu dopóki nie nastąpi przyrost energii wewnętrznej
o 20

kJ/kg, a temperatura końcowa wyniesie 150 C. Obliczyć ciepło i pracę przemiany.

Odp.: q=28 kJ/kg, l

A

=8 kJ/kg

4. Powietrze o temperaturze t

1

=27

C ogrzano przy stałym ciśnieniu aż do podwojenia objętości,

podc

zas gdy entropia wzrosła o 0,06 kJ/K. Obliczyć masę powietrza, przyrost energii

wewnętrznej, ciepło i pracę absolutną przemiany. Stała gazowa powietrza R=287J/(kg

.

K), k =

c

p

/c

v

= 1,4.

Odp.: M=0,086 kg, U

1,2

=18,5 kJ, Q=25,9 kJ, L

A

=7,4 kJ,

PRZEMIANA IZENTROPOWA

1.

1 kilomol azotu o temperaturze początkowej t

1

=300

C rozpręża się izentropowo od p

1

=7 bar do

p

2

=0,7 bar. Obliczyć ciepło i pracę absolutną przemiany, zmianę energii wewnętrznej i entalpii.

Odp.: Q=0 kJ, L

A

=5,74 MJ, U

1,2

=-5,74 MJ, I

1,2

=-8,033 MJ

2. 0,

4 kg powietrza sprężono izentropowo od temperatury t

1

=50

C, przy czym objętość zmniejszyła

się do połowy. Obliczyć pracę absolutną przemiany, przyrost energii wewnętrznej i entalpii. Stała
gazowa powietrza R=287 J/(kg

.

K) k = c

p

/c

v

= 1,4.

Odp.: L

A

=-29,56 kJ, U

1,2

=29,56 kJ, I

1,2

=41,38 kJ

3. 1 kg argonu Ar (M

=40 kg/kmol) rozprężył się izentropowo od temperatury t

1

=150 C, przy czym

ciśnienie spadło do połowy. Obliczyć pracę absolutną przemiany, zmianę energii wewnętrznej,
entalpii i entropii oraz stosunek objętości po i przed rozprężeniem.
Odp.: L

A

=32,13 kJ, U

1,2

=-32,13 kJ, I

1,2

=-53,33 kJ, S

1,2

=0, (V

2

/V

1

)=1,518

4.

1 kmol tlenu o ciśnieniu p

1

=1,4 bar i temperaturze t

1

=37

C sprężono izentropowo aż do

podwojenia ciśnienia. Obliczyć temperaturę końcową i pracę absolutną przemiany.
Odp.: T

2

=378 K, L

A

=-1,41 MJ

5.

1 kmol gazu dwuatomowego o ciśnieniu p

1

=1,4 bar i temperaturze t

1

=37

C sprężono izentropowo

aż do podwojenia ciśnienia. Obliczyć temperaturę końcową i pracę absolutną przemiany.
Odp.: T

2

=378 K, L

A

=-1,41 MJ