1. Analiza kinematyczna, statyczna i dynamiczna konstrukcji.

● schemat statyczny:

4,50

4,00

4,00

4,25

4,

00

4,

50

Q

Q

Q

P(t)=P

0

sin pt

● stopień statycznej niewyznaczalności układu:

SSN

=w−3 ⋅t=6−3 ⋅1=3

● stopień swobody dynamicznej układu:

SSD

=3

Dwa horyzontalne drgania mas na słupach i jedno wertykalne drganie masy na ryglu.

● stopień kinematycznej niewyznaczalności układu:

=3t−w=3 ⋅5−14=1
=2
SKN

=21=3

1. Analiza kinematyczna, statyczna i dynamiczna konstrukcji.

2. Wykresy sił wewnętrznych w warunkach statycznych.

4,50

4,00

4,00

4,25

4,

00

4,

50

Q

Q

Q

Q

=m⋅g =3400 ⋅9,81=33,4 kN

- 1 -

O B C I Ą Ż E N I A :

M O M E N T Y :

T N Ą C E :

1

2

3

4

5

6

7

8

33 ,4

3 3,4

3 3,4

1

2

3

4

5

6

7

8

-18,2

-18,2

-28,0

7 ,1

7 ,1

41,1

41,1

-28,0

4 1,1

-2 3,4

4 1,1

-2 3,4 -23 ,4

-23 ,4

9,8

4,6

9,8

4,6
4,6

4,6

1

2

3

4

5

6

7

8

-4,0

-4 ,0

-4,0

-4,0

17,3 17,3

17,3 17,3

17,3

17,3

-1 6,1

-16,1

-1 6,1

-1 6,1

5,5

5 ,5

5,5

5,5

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

-1 ,2

- 2 -

N O R M A L N E :

R E A K C J E P O D P O R O W E :

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 , 2

-1 ,2

-1 ,2

- 1, 2

-1 , 2

-1 , 2

-1 , 2

-1 , 2

-1 , 2

-1 , 2

- 1, 2

-1 , 2

- 1, 2

- 1, 2

- 21 , 3

- 21 , 3

- 21 , 3

- 21 , 3

- 54 , 7

- 54 , 7

- 54 , 7

- 54 , 7

-2 1 , 7

-2 1 , 7

-2 1 , 7

-2 1 , 7

- 55 , 1

- 55 , 1

- 55 , 1

- 55 , 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4,0

1 ,2

5,5

1 ,2

5 4 ,7

5 5 ,1

- 3 -

3. Dobór przekroju poprzecznego z uwagi na stan graniczny nośności w warunkach
statycznych.

W

p

=

M

max

f

d

=

41,1

215

⋅10

3

=191 [cm

3

]

Przyjęto dwuteownik zwykły 220 o parametrach:

W

x

=278 [cm

3

]

I

x

=3060 [cm

4

]

4. Częstości kołowe drgań własnych konstrukcji.

1



11

=−0,0724 ⋅10

−5



21

=−0,0205 ⋅10

−5



31

=0,0722 ⋅10

−5

1



22

=−0,1200 ⋅10

−5



12

=−0,0205 ⋅10

−5



32

=0,0155 ⋅10

−5

1



33

=0,7622 ⋅10

−5



13

=0,0722 ⋅10

−5



23

=0,0155 ⋅10

−5

- 4 -

● obliczenie częstości drgań własnych /przy pomocy Mathcada i Exela/:

MS.



11

⋅m−

1



2



22

⋅m−

1



2



33

⋅m−

1



2



12

⋅m



13

⋅m



23

⋅m



21

⋅m



31

⋅m



32

⋅m

= 0

m

3400

:=

D

0.0724

−

10

5

−

⋅

0.0205

−

10

5

−

⋅

0.0722 10

5

−

⋅

0.02

−

10

5

−

⋅

0.1200

−

10

5

−

⋅

0.0202 10

5

−

⋅

0.0919 10

5

−

⋅

0.0202 10

5

−

⋅

0.7622 10

5

−

⋅

















:=

0.0724

−

10

5

−

⋅

3400

⋅

1
x

−

0.0205

−

10

5

−

⋅

3400

⋅

0.0722 10

5

−

⋅

3400

⋅

0.0205

−

10

5

−

⋅

3400

⋅

0.1200

−

10

5

−

⋅

3400

⋅

1
x

−

0.0155 10

5

−

⋅

3400

⋅

0.0722 10

5

−

⋅

3400

⋅

0.0155 10

5

−

⋅

3400

⋅

0.7622 10

5

−

⋅

3400

⋅

1
x

−

































4.0e-19 6.77869293321e11 x

3

⋅

4.156762718e14 x

2

⋅

+

4.8433e16 x

⋅

+

2.5e18

−

(

)

⋅

x

3

= 0

ω

1

ω

2

ω

3

















1.294

1.006

10.169

















:=

ω

1

ω

2

ω

3

















1.674452

1.011577

103.4

















:=

δ

11 m

⋅

1

ω

2

−













1

⋅

δ

12 m

⋅

C21

⋅

+

δ

13 m

⋅

C31

⋅

+

0

:=

- 5 -

5. Postaci drgań własnych /mody/.

-dla pierwszej częstości drgań własnych



1



11

⋅m−

1



1

2

⋅A

11



12

⋅m⋅A

21



13

⋅m⋅A

31

=0 /: A

11



21

⋅m⋅A

11



22

⋅m−

1



1

2

⋅A

21



23

⋅m⋅A

31

=0 /: A

11



11

⋅m−

1



1

2

⋅C

11



12

⋅m⋅C

21



13

⋅m⋅C

31

=0



21

⋅m⋅C

11



22

⋅m−

1



1

2

⋅C

21



23

⋅m⋅C

31

=0

Do wyznaczenia modów korzystam z dwóch równań i przyjmuję C

11

=1

Po podstawieniu znanych wartości:

−0,59968−0,000697 ⋅C

21

0,002455 ⋅C

31

=0

−0,000697−0,601296 ⋅C

21

0,000527 ⋅C

31

=0

A zatem:

C

11

=1

C

21

=0,213

C

31

=244,33

C

11

C

21

C

31

- 6 -

-dla drugiej częstości drgań własnych



2



11

⋅m−

1



2

2

⋅A

12



12

⋅m⋅A

22



13

⋅m⋅A

32

=0 /: A

22



21

⋅m⋅A

12



22

⋅m−

1



2

2

⋅A

22



23

⋅m⋅A

32

=0 /: A

22



11

⋅m−

1



2

2

⋅C

12



12

⋅m⋅C

22



13

⋅m⋅C

32

=0



21

⋅m⋅C

12



22

⋅m−

1



2

2

⋅C

22



23

⋅m⋅C

32

=0

Do wyznaczenia modów korzystam z dwóch równań i przyjmuję C

22

=1

Po podstawieniu znanych wartości:

−0,990569 ⋅C

12

−0,000697 0,002455 ⋅C

32

=0

−0,000697 ⋅C

12

−0,992187 0,000527 ⋅C

32

=0

A zatem:

C

22

=1

C

12

=4,680

C

32

=1888,9

C

12

C

22

C

32

- 7 -

-dla trzeciej częstości drgań własnych



3



11

⋅m−

1



3

2

⋅A

13



12

⋅m⋅A

23



13

⋅m⋅A

33

=0 /: A

33



21

⋅m⋅A

13



22

⋅m−

1



3

2

⋅A

23



23

⋅m⋅A

33

=0 /: A

33



11

⋅m−

1



3

2

⋅C

13



12

⋅m⋅C

23



13

⋅m⋅C

33

=0



21

⋅m⋅C

13



22

⋅m−

1



3

2

⋅C

23



23

⋅m⋅C

33

=0

Do wyznaczenia modów korzystam z dwóch równań i przyjmuję C

33

=1

Po podstawieniu znanych wartości:

−0,012132 ⋅C

13

−0,000697 ⋅C

23

0,002455=0

−0,000697 ⋅C

13

−0,013750 ⋅C

23

0,000527=0

A zatem:

C

33

=1

C

13

=0,201

C

23

=0,0282

C

13

C

23

C

33

- 8 -

Wniosek:
Uzyskane „nienaturalne” wielkości postaci drgań mogą być wynikem niedowymiarowania
przekroju ramy, gdyż pominięto wpływ wyboczenia przy doborze tegoż przekroju.

3. Wykresy dynamicznych sił wewnętrznych.

M

1

M

P0

1

4 kN



1P0

=

∫

M

1

⋅M

P0

EI

ds

1

20510

6

⋅

3060

⋅

10

8

−

⋅

1
2

0.3

⋅

9.5

⋅

2
3

⋅

1.2

⋅

1
2

4.5

⋅

0.5

⋅

2
3

⋅

2.2

⋅

+

1
2

0.8

⋅

4

⋅

2
3

3.4

⋅

1
3

4.9

⋅

−









⋅

+

1
2

1.2

⋅

4

⋅

1
3

3.4

⋅

2
3

4.9

⋅

−









⋅

+

1
2

4

⋅

0.7

⋅

2
3

2.8

⋅

1
3

4.9

⋅

−









⋅

+

1
2

4

⋅

1.2

⋅

1
3

2.8

⋅

2
3

4.9

⋅

−









⋅

+

1
2

0.74.25

⋅

2
3

⋅

2.8

⋅

+









⋅

6.079

−

10

4

−

×

=



1P0

=−6,079 ⋅10

−4

m

- 9 -

M

2

M

P0

1

4 kN



2P0

=

∫

M

2

⋅M

P0

EI

ds



2P0

=7,12 ⋅10

−4

m

1

20510

6

⋅

3060

⋅

10

8

−

⋅

1
2

1.6

⋅

4.5

⋅

1
3

0.3

⋅

2
3

0.1

⋅

+









⋅

1
2

1.2

⋅

4.5

⋅

2

−

3

0.3

⋅

1
3

0.1

⋅

−









⋅

+

1
2

1.6

⋅

4

⋅

2
3

⋅

0.1

⋅

+

1
2

0.74.5

⋅

2
3

⋅

2.2

⋅

+

1
2

4

⋅

0.5

⋅

2

−

3

3.4

⋅

1
3

4.9

⋅

+









⋅

+

1
2

4

⋅

0.2

⋅

1

−

3

3.4

⋅

2
3

4.9

⋅

+









⋅

+

1
2

4

⋅

0.2

⋅

2
3

0.7

⋅

1
3

1.2

⋅

−









⋅

+

1
2

4

⋅

0.2

⋅

2
3

4.9

⋅

1
3

2.8

⋅

−









⋅

+

1
2

4.25

⋅

0.2

⋅

2
3

⋅

2.8

⋅

+









⋅

7.12 10

4

−

×

=

- 10 -

M

3

M

P0

1

4 kN



3P0

=

∫

M

3

⋅M

P0

EI

ds



3P0

=2,881 ⋅10

−3

m

1

20510

6

⋅

3060

⋅

10

8

−

⋅

1
2

9.5

⋅

0.2

⋅

2
3

⋅

1.2

⋅

1
2

4.5

⋅

0.4

⋅

2
3

⋅

2.2

⋅

+

1
2

0.6

⋅

4

⋅

2
3

3.4

⋅

1
3

4.9

⋅

−









⋅

+

1
2

0.6

⋅

4

⋅

1

−

3

3.4

⋅

2
3

4.9

⋅

+









⋅

+

1
2

4

⋅

0.6

⋅

2
3

4.9

⋅

1
3

2.8

⋅

−









⋅

+

1
2

1.8

⋅

4

⋅

1
3

4.9

⋅

2
3

2.8

⋅

−









⋅

+

1
2

4.25

⋅

2.7

⋅

2
3

⋅

2.8

⋅

+









⋅

2.881 10

3

−

×

=

- 11 -

● wyznaczenie amBi



11

−

1

m

1

⋅p

2

⋅am B

1



12

⋅amB

2



13

⋅amB

3



1P0

=0



21

⋅amB

1



22

−

1

m

2

⋅p

2

⋅am B

2



23

⋅amB

3



2P0

=0



31

⋅amB

1



32

⋅amB

2



33

−

1

m

3

⋅p

2

⋅am B

3



3P0

=0

−0,0724 ⋅10

−5

−

1

3400

⋅534

2

⋅am B

1

0,0205 ⋅10

−5

⋅amB

2

0,0722 ⋅10

−5

⋅amB

3

−6,079 ⋅10

−4

=0

−0,0205 ⋅10

−5

⋅amB

1

−0,1200 ⋅10

−5

−

1

3400

⋅534

2

⋅am B

2

0,0155 ⋅10

−5

⋅amB

3

7,1200 ⋅10

−4

=0

0,0722

⋅10

−5

⋅amB

1

0,0155 ⋅10

−5

⋅amB

2

0,7622 ⋅10

−5

−

1

3400

⋅534

2

⋅am B

3

2,881 ⋅10

−3

=0

amB

1

=−1327,4 [ N ]=−1,3 [kN ]

amB

2

=784,4 [ N ]=0,8 [kN ]

amB

3

=−268,2 [ N ]=−0,3 [kN ]

● wyznaczenie wartości momentów dynamicznych:

M

d

=M

P0

M

1

⋅amB

1

 M

2

⋅amB

2

 M

3

⋅amB

3

M

d

4,50

4,00

4,00

4,25

4,

00

4,

50

1,62

[kNm]

0,35

1,99

1,78

3,32

1,35

1,24

2,59

- 12 -