Podstawy Robotyki

laboratorium

´

Cwiczenie 3

Mariusz Janusz-Bielecki

Zak lad Informatyki i Robotyki

Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005

Wst

,

ep

Do zada´

n in˙zynier´

ow robotyk´

ow nale˙z

,

a wszelkie dzia lania dotycz

,

ace wyboru,

monta˙zu, uruchomienia, obs lugi, programowania, serwisu oraz napraw ma-
nipulator´

ow i robot´

ow. Zagadnieniem realizowanym najcz

,

e´

sciej jest progra-

mowanie. Z lo˙zono´

s´

c tego procesu wymaga od programisty solidnych pod-

staw matematycznych. Mimo, ˙ze wsp´

o lczesne systemy sterowania robot´

ow

s

,

a wyposa˙zone w narz

,

edzia programistyczne znacznie u latwiaj

,

ace opraco-

wanie programu, cz

,

esto do realizacji niestandardowych funkcji programista

musi opracowywa´

c np. trajektori

,

e maszyny pos luguj

,

ac si

,

e aplikacjami ze-

wn

,

etrznymi. Jednym z trudniejszych zagadnie´

n s

,

a proste i odwrotne zadania

kinematyki robot´

ow. Notacja Denavita-Hartenberga umo˙zliwia usprawnie-

nie ˙zmudnych rachunk´

ow.

Rozdzia l 1

Notacja
Denavita-Hartenberga

Wyznaczanie prostego i odwrotnego zadania kinematyki dla robot´

ow prze-

strzennych o wielu stopniach swobody w oparciu o r´

ownania algebraiczne nie

jest wygodne. Bywa czasoch lonne i cz

,

esto prowadzi do b l

,

ednych oblicze´

n.

W praktyce do opisu robota wykorzystuje si

,

e notacj

,

e parametryzuj

,

ac

,

a po-

szczeg´

olne ogniwa - cz lony maszyny. Umo˙zliwia ona wprowadzenie rachunku

macierzowego przez co podstawowe obliczenia mo˙zna bez trudu zalgorytmi-
zowa´

c i w prosty spos´

ob opracowa´

c dla nich funkcje, programy oraz aplikacje

komputerowe.

1.1

Notacja Denavita-Hartengerga (D-H)

Notacja ta jest metod

,

a systematycznego opisu warunk´

ow kinematycznych.

Zosta la na wprowadzona w celu rozwa˙zania kinematyki mechanizm´

ow prze-

strzennych. Znalaz la ona znaczne rozszerzenie w mechanice mechanizm´

ow,

a przede wszystkim w robotyce. Metoda opiera si

,

e na macierzowym (4 × 4

- wymiarowym) przedstawieniu pozycji i orientacji cia la sztywnego i wyko-
rzystuje minimaln

,

a liczb

,

e parametr´

ow, tak zwanych parametr´

ow DH, do

pe lnego opisu kinematyki tego˙z cia la. Idea metody polega na tym, aby po-
da´

c mo˙zliwie jednoznaczny przepis (instrukcj

,

e) dla uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych

sztywno powi

,

azanych z cia lem. Z rozwa˙za´

n kinematycznych wynika, ˙ze ra-

cjonalnie jest przy tym wybra´

c osie przegub´

ow mechanizmu jako osie wsp´

o l-

rz

,

ednych. Przewidziana do tego jest o´

s z. Rysunek

1.1

pokazuje dwa s

,

asiadu-

j

,

ace cia la uk ladu mechanicznego i odpowiadaj

,

ace im uk lady wsp´

o lrz

,

ednych

wed lug notacji DH. Uk lady te s

,

a ustalone przez dwie regu ly.

ˆ Pocz

,

atek uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych KS le˙zy w punkcie przeci

,

ecia wsp´

olnej

normalnej przegubu i oraz i+1 z osi

,

a przegubu i+1

2

Notacja Denavita-Hartenberga

Rysunek 1.1: Zasada tworzenia parametr´

ow DH

ˆ orientacja KS jest tak dobrana, ˙ze:

– o´

s z wskazuje w kierunku osi przegugu i+1,

– o´

s x wskazuje w kierunku przed lu˙zoenj wsp´

olnej normalnej,

– o´

s y daje si

,

e okre´

sli´

c z warunku uk ladu prawoskr

,

etnego.

1.1.1

Parametry D-H

Po lo˙zenie uk ladu KS

i

wzgl

,

edem KS

i−1

jest okre´

slane przez cztery parame-

try Denavita-Hartenberga , gdzie

ˆ θ

i

- k

,

at obrotu wok´

o l osi z

i−1

, to znaczy k

,

at (x

i−1

, H

i

O

i

),

ˆ d

i

- przesuni

,

ecie w kierunku z

i−1

, to znaczy odleg lo´

s´

c H

i

O

i

,

ˆ a

i

- d lugo´

s´

c wsp´

olnej normalnej H

i

O

i

,

ˆ α

i

- k

,

at obrotu wok´

o l osi x

i

, to znaczy k

,

at (z

i−1

, z

i

).

Przez zdefiniowanie tych poj

,

e´

c wida´

c, ˙ze transformacja wsp´

o lrz

,

ednych KS

i

na KS

i−1

mo˙ze by´

c dokonana przez zestaw kolejnych transformacji elemen-

tarnych:

– rotacji KS

i−1

wok´

o l osi z

i−1

(k

,

at θ

i

),

– translacji w kierunku osi z

i−1

(odcinek d

i

) i w kierunku osi x

i

(odcinek

a

i

);

1.2 Notacja D-H w praktyce

3

– rotacji wok´

o l osi x

i

(k

,

at α

i

).

Obowi

,

azuje wi

,

ec formu la

T

i−1

i

= ROT (z, θ

i

) ∗ T RAN S(a

i

, 0, d

i

) ∗ ROT (x, α

i

),

(1.1)

gdzie:

ROT (z , θ

i

) =







cosθ

i

−sinθ

i

0

0

sinθ

i

cosθ

i

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1







TRANS (a

i

, 0 , d

i

) =







1

0

0

a

i

0

1

0

0

0

0

1

d

i

0

0

0

1







ROT (x , α

i

) =







1

0

0

0

0

cosθ

i

−sinα

i

0

0

sinα

i

cosα

i

0

0

0

0

1







1.2

Notacja D-H w praktyce

Dla wydajnego zastosowania tej koncepcji nale˙zy mie´

c jeszcze na uwadze

pewne przypadki szczeg´

olne. W zastosowaniach technicznych chodzi cz

,

esto

o przeguby z jednym stopniem swobody. Wtedy jeden z czterech parame-
tr´

ow DH jest wsp´

o lrz

,

edn

,

a uog´

olnion

,

a. Tak wi

,

ec, w przypadku przegubu

obrotowego θ

i

jest zmienn

,

a przegubu (q

i

= θ

i

), w przypadku przegubu po-

suwistego d

i

jest zmienn

,

a przegubu (q

i

= d

i

). Notacja DH nie zawsze jest

jednoznaczna. Wida´

c to naj latwiej przy r´

ownoleg lych osiach przegub´

ow. W

tym przypadku istnieje dowolnie wiele wsp´

olnych normalnych. Skutek: d

i

,

jest nieoznaczone. Wyj´

sciem z tej sytuacji jest dowolne ustalenie d

i

, na

przyk lad d

i

= 0. Przy przecinaj

,

acych si

,

e osiach przegub´

ow musi by´

c a

i

= 0.

Je˙zeli osie przegub´

ow s

,

a wzajemnie prostopad le, to obowi

,

azuje α

i

= ±π/2.

Specjalnych regulacji wymaga tak˙ze ustalenie uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych bazo-

wych KS

0

b

,

ad´

z uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych ostatniego cz lonu KS

N

, poniewa˙z

uk lady te nie maj

,

a ani uk lad´

ow poprzedzaj

,

acych, ani nast

,

epuj

,

acych. Dla

uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych bazowych s luszna jest tylko regu la, ˙ze o´

s z musi wska-

zywa´

c w kierunku osi przegubu. O´

s x

0

lub o´

s y

0

mog

,

a by´

c wybrane dowolnie.

W ostatnim cz lonie pocz

,

atek uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych KS

N

mo˙ze by´

c wybrany

dowolnie. Celowe jest jednak umieszczenie go w punkcie efektora. Opr´

ocz

tego, wed lug notacji DH, o´

s x

N

musi wskazywa´

c na przed lu˙zenie normalnej

uk ladu poprzedzaj

,

acego. Wszystkie dalsze ustalenia s

,

a dowolne.

4

Notacja Denavita-Hartenberga

Rysunek 1.2: Manipulator typu SCARA

1.3

´

Cwiczenia

1. Wyprowad´

z macierzow

,

a posta´

c r´

owno´

sci

1.1

.

2. Okre´

sl notacj

,

e DH dla manipulatora p laskiego sk ladaj

,

acego si

,

e z trzech

par obrotowych.

3. Okre´

sl notacj

,

e DH dla manipulatora typu SCARA

1.2

.

4. Okre´

sl notacj

,

e DH dla manipulatora przestrzennego XYZ.

5. Wymie´

n zalety notacji DH.

6. Wymie´

n wady notacji DH.

7. Do jakich cel´

ow wykorzystana jest notacja DH ?

8. W jakim przemy´

sle wykorzystywane s

,

a manipulatory (roboty) typu

SCARA.

Dodatek A

MuPad

Ci

,

ag dalszy pracy z MuPadem (wersja 2.5.3 Light).

A.1

Macierze

Zapoznaj si

,

e z materia lem ze strony nr 60 Tutoriala. Dotyczy on zapisu i

elemnetarnych operacji na macierzach w systemie.

A.2

Pochodne i r´

o ˙zniczki

Zapoznaj si

,

e z materia lem ze strony nr 88 Tutoriala. Dotyczy on zapisu i

elemnetarnych operacji z wykorzystaniem pochodnych i r´

o˙zniczek.

Bibliografia

[1] M.W. Spong, M. Vidyasagar, Dynamika i Sterowanie Robot´

ow, WNT,

Warszawa.

[2] J.J. Craig, Wprowadzenie do Robotyki, WNT, Warszawa.

[3] MuPad Team, MuPAD Tutorial, MuPAD v. 2.53.

8

BIBLIOGRAFIA