Autor opracowania: Marek Walesiak

1

PROJEKT C – MODEL NIELINIOWY

funkcja produkcji z dwiema zmiennymi objaśniającymi

Nazwisko i imię studenta 1: ..........................................
Kierunek i rok studiów studenta 1: ......
Numer grupy studenta 1: .....

Nazwisko i imię studenta 2: ..........................................
Kierunek i rok studiów studenta 2: ......
Numer grupy studenta 2: .....

Uwagi dla studentów:

1. Program R należy pobrać ze strony: http://cran.r-project.org/
2. Co najmniej jeden projekt (A, B, C, D) należy przesłać na e-mail prowadzącego laboratoria
3. Projekty można wykonywać osobiście lub w zespołach dwuosobowych (liczba zrealizowanych

projektów oraz jakość i estetyka wykonania będzie decydować o ocenie z laboratorium dla
przedmiotu Ekonometria)

4. Liczba obserwacji (dane w postaci szeregów przekrojowych z roku 2009 lub 2010) w projekcie

A, B oraz C musi wynosić co najmniej 12, a w projekcie D co najmniej 30. Dla danych staty-
stycznych należy koniecznie podać źródło

5. Nie wolno w projektach stosować zmiennych użytych w przykładowych projektach prezentowa-

nych na laboratoriach (nie dotyczy projektu C)

6. Wraz z każdym projektem opracowanym w edytorze Word (może też być jego odpowiednik z

pakietu OpenOffice) należy przesłać:
a) plik (pliki) danych w formacie csv
b) odpowiednie procedury w programie R

7. Termin przesłania projektu (projektów): do 03 stycznia 2012 roku
8. Proszę przesyłać projekty z własnych e-maili podając w e-mailu skład zespołu (imię i nazwisko,

rok i forma studiów, numer grupy lub specjalność)

9. Warunkiem przyjęcia projektu (projektów) jest uzyskanie pozytywnej odpowiedzi od prowadzą-

cego laboratoria

10. Odpowiedzi na e-maile informujące o akceptacji projektu lub projektów będą przesyłane w cią-

gu siedmiu dni od ich nadesłania

11. Odrzucane będą projekty, które wykonali inni studenci

Autor opracowania: Marek Walesiak

2

PROJEKT C – MODEL NIELINIOWY

funkcja produkcji z dwiema zmiennymi objaśniającymi

1. Zebrać z Roczników Statystycznych co najmniej 12 obserwacji na zmiennej objaśnianej i

dwóch zmiennych objaśniających (dane w postaci szeregów przekrojowych) do modelu
funkcji produkcji

Dane przekrojowe (województwa Polski z 2006 r.)

y – produkcja sprzedana przemysłu województwa w mln zł (ceny bieżące),
x1 – liczba pracujących w przemyśle województwa w tys. osób (stan na koniec roku),
x2 – wartość brutto środków trwałych w przemyśle województwa w mln zł (bieżące ceny ewidencyjne).
Źródło: Rocznik statystyczny województw. Główny Urząd Statystyczny, Warszawa 2007.

a) wprowadzić dane statystyczne do programu EXCEL w następującym układzie:

Plik Dane_przekrojowe_f_prod

b) zapisać dane w formacie csv na dysku

(podać nazwę pliku Dane_przekrojowe_f_prod.csv)

Autor opracowania: Marek Walesiak

3

Funkcja produkcji:



e

x

x

b

y

b

b

2

1

2

1

0



(1)

Transformacja liniowa (w programie R log oznacza logarytm naturalny):











2

2

1

1

0

log

log

log

log

x

b

x

b

b

y

Podstawianie:

z

y



log

,

a

b



0

log

,

1

1

log

v

x



,

2

2

log

v

x













2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

(2)

2. Wykorzystując w programie R procedurę

Reg_wieloraka_model_nieliniowy_f_prod_2010.r:
a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu (2). Zapisać po-

stać modelu (2) z oszacowanymi parametrami podając w nawiasach pod ocenami estymato-
rów parametrów ich błędy. Podać interpretację parametrów strukturalnych oraz błędów esty-
matorów parametrów strukturalnych dla modelu (2),

b) zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej dla modelu (2) (standardowy

błąd oceny, współczynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji),

c) za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji modelu (2),
d) przedstawić wykres płaszczyzny regresji modelu (2),
e) wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych modelu (2),
f) wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy modelu (2) ma rozkład

normalny,

g) sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu (2) nie występuje problem przybliżonej współlinio-

wości,

h) wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność warian-

cji składników losowych dla modelu (2),

i) za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie wy-

stępuje autokorelacja pierwszego stopnia dla modelu (2),

j) sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe dla modelu (2),
k) sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe dla modelu (2),
l) zapisać postać modelu (1) z oszacowanymi parametrami. Podać interpretację współczynników

elastyczności punktowej produkcji oraz obliczyć i zinterpretować efekt skali produkcji (ESP).

ODPOWIEDZI Z WYKORZYSTANIEM obliczeń w programie R

a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu (2)

[1] Wyniki estymacji MNK

Call:

Autor opracowania: Marek Walesiak

4

lm(formula = log(y) ~ log(x1) + log(x2), data = d, x = TRUE,
y = TRUE)

Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0,34626 -0,07106 -0,01740 0,05555 0,33718

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1,2691 1,0854 1,169 0,2633
log(x1) 0,6238 0,2362 2,640 0,0204 *
log(x2) 0,5935 0,2090 2,839 0,0139 *
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0,001 ‘**’ 0,01 ‘*’ 0,05 ‘.’ 0,1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0,1892 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9522, Adjusted R-squared: 0.9449
F-statistic: 129.6 on 2 and 13 DF, p-value: 2,594e-09

a) zapisać postać modelu (2) z oszacowanymi parametrami podając w nawiasach pod oce-

nami estymatorów parametrów ich błędy

2

)

2090

,

0

(

1

)

2362

,

0

(

)

0854

,

1

(

5935

,

0

6238

,

0

2691

,

1

ˆ

v

v

z







a) podać interpretację parametrów strukturalnych oraz błędów estymatorów parametrów

strukturalnych dla modelu (2)

6238

,

0

ˆ

1



b

– wzrost (spadek) logarytmu liczby pracujących w przemyśle województwa (warto-

ści zmiennej objaśniającej v1) o jednostkę spowoduje wzrost (spadek) logarytmu produkcji sprze-
danej przemysłu województwa (zmienna objaśniana z) średnio o 0,6238 jednostki (ceteris paribus);

5935

,

0

ˆ

2



b

– wzrost (spadek) logarytmu wartości brutto środków trwałych w przemyśle woje-

wództwa (wartości zmiennej objaśniającej v2) o jednostkę spowoduje wzrost (spadek) logarytmu
produkcji sprzedanej przemysłu województwa (zmienna objaśniana z) średnio o 0,5935 jednostki
(ceteris paribus);

2691

,

1

ˆ



a

(wyraz wolny) – brak w tym przypadku interpretacji ekonomicznej.

0854

,

1

)

ˆ

(



a

S

– szacując parametr

a , gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej po-

pulacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 1,0854 (

0854

,

1

2691

,

1





a

),

2362

,

0

)

ˆ

(

1



b

S

– szacując parametr

1

b , gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej po-

pulacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 0,2362 (

2362

,

0

6238

,

0

1





b

),

2090

,

0

)

ˆ

(

2



b

S

– szacując parametr

2

b , gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej po-

pulacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 0,2090 (

2090

,

0

5935

,

0

2





b

).

b) zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej dla modelu (2) (standar-

dowy błąd oceny, współczynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji)

standardowy błąd oceny (Residual standard error: 0,1892) – wartości empiryczne

zmiennej objaśnianej (logarytm produkcji sprzedanej przemysłu województwa) odchylają się od
wartości teoretycznych przeciętnie o 0,1892 jednostki.

współczynnik determinacji (Multiple R-Squared: 0.9522) – 95,22% zmienności zmiennej

objaśnianej (logarytm produkcji sprzedanej przemysłu województwa) zostało wyjaśnionych
przez zbudowany model.

skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared: 0.9449) – 94,49% wa-

riancji zmiennej objaśnianej (logarytm produkcji sprzedanej przemysłu województwa) zostało
wyjaśnionych przez zbudowany model.

Autor opracowania: Marek Walesiak

5

c) za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji dla modelu (2)

Test t
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1,2691 1,0854 1,169 0,2633
log(x1) 0,6238 0,2362 2,640 0,0204 *
log(x2) 0,5935 0,2090 2,839 0,0139 *

Z uwagi na to, że dla a

2633

,

0

05

,

0







nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Oznacza to, że parametr a nieistotnie różni się od zera.

Z uwagi na to, że dla

1

b

0204

,

0

05

,

0







hipotezę zerową odrzucamy. Oznacza to, że parametr

1

b istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca v1 ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą z.

Z uwagi na to, że dla

2

b

0139

,

0

05

,

0







hipotezę zerową odrzucamy. Oznacza to, że parametr

2

b istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca v2 ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą z.

Test F
F-statistic: 129.6 on 2 and 13 DF, p-value: 2,594e-09

Z uwagi na to, że

09

594

,

2

05

,

0







e



(UWAGA!

09



e

oznacza przesunięcie przecinka w

lewo o 9 miejsc) hipotezę zerową należy odrzucić. Oznacza to, że regresja jako całość jest istotna.

d) przedstawić wykres płaszczyzny regresji modelu (2)

log(x1)

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

lo

g

(x2

)

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

11,5

lo

g

(y)

9

10

11

12

e) wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych dla mo-

delu (2)

[1] Przedziały ufności dla parametrów
2,5 % 97,5 %
(Intercept) -1,0757379 3,613934
log(x1) 0,1133937 1,134155
log(x2) 0,1419439 1,045118

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział





614

,

3

076

,

1

;



pokryje nieznaną wartość parametru a

z modelu











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

.

Autor opracowania: Marek Walesiak

6

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział





134

,

1

113

,

0

;

pokryje nieznaną wartość parametru

1

b z

modelu











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

.

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział





045

,

1

;

142

,

0

pokryje nieznaną wartość parametru

2

b z

modelu











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

.

Węższe (szersze) przedziały ufności można uzyskać poprzez zmniejszenie (zwiększenie) pozio-

mu ufności.

f) wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy ma rozkład normalny

dla modelu (2)

[1] Wyniki testu Shapiro-Wilka
Shapiro-Wilk normality test
data: reg$residuals
W = 0,9454, p-value = 0,4205

Z uwagi na to, że

0,4205

value









p

05

,

0



nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o nor-

malności rozkładu składnika losowego.

g) sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu nie występuje problem przybliżonej współli-

niowości dla modelu (2)

[1] VIF - czynnik inflacji wariancji
log(x1) log(x2)
8,888769 8,888769

Wartości

1



j

VIF

informują ile razy wariancja estymatora parametru jest większa od wariancji

prawdziwej (tzn. nie zakłóconej współliniowością statystyczną). Wartości

20



j

VIF

wskazują na

problemy związane ze współliniowością. W analizowanym modelu nie występuje problem związa-
ny ze współliniowością zmiennych objaśniających.

h) wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność

wariancji składników losowych

[1] Wyniki testu Goldfelda-Quandta
Goldfeld-Quandt test
data: reg
GQ = 0,8334, df1 = 3, df2 = 2, p-value = 0,5859

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że składnik losowy jest homoskedastyczny

(

0,5859

value









p

05

,

0



).

i) za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie

występuje autokorelacja pierwszego stopnia

[1] Wyniki testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya na auto-
korelację pierwszego stopnia
lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
1 0,0005780169 1,988776 0,494
Alternative hypothesis: rho > 0

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order 1
data: reg
LM test = 0, df = 1, p-value = 0,998

Oba testy potwierdzają brak w modelu autokorelacji reszt pierwszego stopnia, z uwagi na to, że

value







p

05

,

0



.

Autor opracowania: Marek Walesiak

7

j) sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe (rys. z lewej strony)

5

10

15

-4

-2

0

2

4

numer obserwacji

re

szt

y

st

u

d

e

n

tyzo

w

a

n

e

Mazowieckie

5

10

15

0

,2

0

,4

0

,6

0

,8

numer obserwacji

h

a

t

va

lu

e

s

Opolskie

Obserwacje nietypowe (outliers) charakteryzują się dużą resztą. Tego typu obserwacje wpływają

na pogorszenie dopasowania modelu do danych. Dla szacowanego modelu











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

jest jedna reszta nietypowa (woj. mazowieckie). W przypadku wystąpienia reszt nietypowych model
należy oszacować i zweryfikować powtórnie z pominięciem obserwacji nietypowych.

k) sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe (rys. z prawej stro-

ny)

Obserwacje wpływowe (influential observations) silnie oddziałują na oszacowane parametry

strukturalne. Włączenie do zbioru danych tych obserwacji powoduje, że znacznie zmieniają się
oszacowane parametry modelu. Dla szacowanego modelu











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

obserwacja doty-

czące woj. opolskiego jest wpływowa. Należy więc oszacować i zweryfikować powtórnie model z
pominięciem tego województwa.

l) zapisać postać modelu (1) z oszacowanymi parametrami. Podać interpretację współ-

czynników elastyczności punktowej produkcji oraz obliczyć i zinterpretować efekt skali
produkcji (ESP)











2

2

1

1

v

b

v

b

a

z

(2)

gdzie:

z

y



log

,

a

b



0

log

,

1

1

log

v

x



,

2

2

log

v

x



2

)

2090

,

0

(

1

)

2362

,

0

(

)

0854

,

1

(

5935

,

0

6238

,

0

2691

,

1

ˆ

v

v

z







a

b



0

log

,

0

)

exp(

b

a



;

0

)

2691

,

1

exp(

b



;

5576

,

3

0



b

5935

,

0

2

6238

,

0

1

5576

,

3

ˆ

x

x

y







(1)

Współczynniki elastyczności punktowej:

6238

,

0

1



x

E

i

5935

,

0

2



x

E

.

6238

,

0

1



x

E

– wzrost (spadek) liczby pracujących w przemyśle województwa o 1% spowoduje

wzrost (spadek) produkcji sprzedanej przemysłu województwa w przybliżeniu o 0,6238% (ceteris
paribus).

5935

,

0

2



x

E

– wzrost (spadek) wartości brutto środków trwałych w przemyśle województwa o

1% spowoduje wzrost (spadek) produkcji sprzedanej przemysłu województwa w przybliżeniu o
0,5935% (ceteris paribus).

2173

,

1

5935

,

0

6238

,

0

2

1











x

x

E

E

ESP

.

Zatem funkcja (1) jest funkcją o rosnących przyrostach, dla której efektywne jest zwiększanie

nakładów.