Kolokwium 2.

1.

sin ⁡(1−𝑐𝑜𝑠𝑥 )

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋

2

0

𝑑𝑥

2.

𝜕𝑓
𝜕𝑥

𝑥, 𝑦 ,

𝜕𝑓
𝜕𝑦

𝑥, 𝑦 = ? , 𝑔𝑑𝑦

a) Z(x,y) = (arcsinx

2

)

ln(y^2+1)

b) Z(x,y) = 2

arctg x/y

3. Pole

y = x

2

, styczna w (1,1) i (-2,4) oraz y=-1

4.

a) lim

𝑥,𝑦 →(0,0)

sin (𝑥,𝑦)

𝑥

2

+𝑦

2

b) lim

𝑥,𝑦 →(0,0)

𝑥

2

−𝑦

2

𝑥

2

+𝑦

2

5. Ciągłośd

𝑓 𝑥, 𝑦 =

1 − cos⁡(𝑥 + 𝑦)

𝑥

2

+ 𝑦

2

,

𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)

0, 𝑥, 𝑦 = (0,0)

Kolokwium 3.

1. Zbadad różniczkowalnośd funkcji

𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥 + 𝑦 +

𝑥𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

,

𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)

0,

𝑥, 𝑦 = (0,0)

2. Wyznaczyd gradient funkcji 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥
𝑦

w punkcie M(1,1) oraz

wyznaczyd wersor tego gradientu.

3. Obliczyd:

a) lim

𝑥,𝑦 →(0,0)

1−cos ⁡(𝑥,𝑦)

𝑥𝑦 𝑥

2

+𝑦

2

b) lim

𝑥,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

4. Wyznaczyd pochodną funkcji 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥, 𝑦) w punkcie P(1,1)

w kierunku dwusiecznej kąta pierwszej dwiartki układu
współrzędnych.

5. Zbadad zbieżnośd szeregu

𝑛 + 1

𝑛

2

ln 𝑛

∞

𝑛=2

Wskazówka:

𝑥+1

𝑥

2

ln 𝑥

>

1

𝑥 ln 𝑥

dla 𝑥 ≥ 2