http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II

10. Szczególna teoria względności

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA



Mechanika newtonowska (nazywana

też mechaniką klasyczną)

dobrze

opisywała rzeczywistość dla prędkości niewielkich w

porównaniu z prędkością światła.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



W

przypadku

ruchu

z

prędkościami porównywalnymi z

prędkością

światła

poprawną

jest

natomiast

mechanika

relatywistyczna, zwana

też szczególną teorią względności.



Mechanika newtonowska jest tylko

przybliżeniem mechaniki

relatywistycznej - tym lepszym, im mniejsze

są prędkości ciał, których

ruch rozpatruje.

TEORIA WZGLĘDNOŚCI



Teoria

względności zajmuje się pomiarami zdarzeń: ustalenia gdzie

i kiedy one

zachodzą; ponadto zajmuje się transformacjami wyników

pomiarów tych wielkości między poruszającymi się względem siebie
układami odniesienia.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Szczególna teoria względności dotyczy tylko inercjalnych układów

odniesienia.



Głównymi postulatami teorii względności (stworzonej przez Einsteina)

są obserwowalne fakty:
1) Dla wszystkich

obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia

prawa fizyki

są takie same.

2)

Prędkość światła jest taka sama dla dowolnego obserwatora,

również poruszającego się względem źródła, emitującego to światło.
W

próżni:

s

m

c

/

10

998

,

2

8





TEORIA ETERU



Teorie XIX-wieczne

zakładały, że światło rozchodzi się w jakimś

hipotetycznym

ośrodku, zwanym eterem. W tym przypadku tylko w

układzie, który by spoczywał względem eteru, byłaby spełniona
równość:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

c

v

światla



Dla obserwatora,

poruszającego się względem eteru z prędkością

,

zmierzona

prędkość światła byłaby sumą tych prędkości:

.

Eter

miał być ośrodkiem fizycznym, ale nie posiadającym masy!

v

v

c









Ziemia porusza

się w swoim obiegu wokół

Słońca z prędkością liniową około 30 km/s –
a

więc muszą być w ciągu roku momenty,

gdy

poruszałaby się ona względem eteru o tę

prędkość w jedną lub drugą stronę ->
powinno

się zmierzyć prędkość światła różną

o 60km/s!

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA



Próba zmierzenia zmian w prędkości światła, gdy Ziemia porusza się

względem eteru:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA



Gdy eter porusza

się równolegle do kierunku obserwacji (kierunku

biegu

światła):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Czas przebiegu impulsu

świetlnego “tam i z powrotem” między

źródłem światła i zwierciadłem:

1

2

2

1

2



























c

v

c

D

v

c

D

v

c

D

t

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA



Gdy eter porusza

się prostopadle

do kierunku obserwacji (kierunku
biegu

światła):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Czas przebiegu impulsu:

2

1

2

2

1

2

'



















c

v

c

D

t

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA



Różnica czasu dla przebiegu prostopadłego i równoległego:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Dla:

i

3

2

'

c

Dv

t

t





mamy:

(ok.:

)

m

D 1



s

km

v

/

30



s

t

t

17

10

3

,

3

'











40

1



Michelson i Morley: Brak zmian w obrazie interferencyjnym!

Wniosek:

Prędkość światła nie dodała się do prędkości Ziemi.

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA



Próby wyjaśnienia wyników doświadczenia Michelsona i Morleya:

- eter przypadkowo porusza

się względem układu słonecznego z

prędkością równa prędkości Ziemi podczas obiegu Słońca ->
doświadczenie powtórzono pół roku później, z podobnym rezultatem;
- Ziemia

„pociąga” za sobą lokalny obszar eteru -> gwiazdy

musiałyby zmieniać swoje położenia w ciągu roku -> przeczą temu
obserwacje astronomiczne;

- zmiana praw

elektryczności taka, aby światło było zawsze

emitowane z

prędkością względem źródła fal EM -> przeczą temu

obserwacje astronomiczne gwiazd

podwójnych.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Wniosek:

prędkość światła jest taka sama względem źródła i

zwierciadeł interferometru -> jest stała.

DYLATACJA CZASU



Skonstruujmy zegar

świetlny:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

DYLATACJA CZASU



Dla obserwatora nieruchomego A droga,

którą impuls świetlny

przebywa w zegarze B jest

dłuższa:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

     

2

2

2



c

vT

cT





a

stąd:





T

gdzie:

2

2

1

1

c

v









Dla nieruchomego obserwatora A czas ten jest

dłuższy niż czas między

„tyknięciami” zegara spoczywającego

, nazywanego czasem

własnym

układu – czasem między zdarzeniami, które obserwator widzi w tym samym
punkcie przestrzeni.



DYLATACJA CZASU



Ta zmiana czasu o czynnik

nazywana jest

dylatacją czasu. Jest

to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji

„zegara

świetlnego”. Tak więc również wszystkie procesy fizyczne (i
chemiczne; i biologiczne!)

muszą być spowalniane w ruchu.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





Przykład:

Czas

połowicznego rozpadu próbki promieniotwórczej musi podlegać

spowolnieniu. (piony o

).

s

t

8

2

1

10

8

,

1









Zegar

Mössbauera (1960):

Fotony z rozpadu

promieniotwórczego izotopu żelaza w krysztale żelaza –

dokładności mierzenia czasu rzędu

.

Przesunięcie czasu ujawnia się

jako wzrost liczby tempa zliczania

fotonów.

s

16

10



TRANSFORMACJE LORENTZA



Wyobraźmy sobie dwa układy współrzędnych, poruszające się

względem siebie z prędkością

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

v

x

y

x’

y’

v

v

Układ XY

Układ
primowany

W mechanice klasycznej

byłoby

:

vt

x

x





'

y

y



'

z

z



'

t

t



'



Szukamy takiej transformacji

współrzędnych, żeby w obu układach

współrzędnych wiązka światła miała prędkość, czyli:
jeśli:

to

również:

ct

x



'

' ct

x



TRANSFORMACJE LORENTZA



Otrzymamy

ostatecznie

transformacje,

które spełniają nasze

postulaty, w postaci:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





vt

x

x







'











 



x

c

v

t

t

2

'



Są to tzw. transformacje Lorentza.



Podobnie

wyglądają transformacje przeciwne:

2

2

1

1

c

v











'

' vt

x

x

















 



'

'

2

x

c

v

t

t





W teorii

względności czas bywa nazywany czwartym wymiarem –

widać, że wielkości

i

mogą zostać ze sobą przemieszane zależnie

od

prędkości obserwatora. Matematycznie wielkości te zachowują się

w ten sam

sposób!

x

ct

DYLATACJA DŁUGOŚCI



Wyobraźmy sobie teraz pręt o długości

,

spoczywający w układzie

„primowanym”, poruszającym się względem układu XY z prędkością .
Zmierzymy

długość tego pręta w układzie XY.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

'

L

x

y

x’

y’

v

x

1

’

x

2

’

x

1

x

2

L’

1

1

1

'

vt

x

x









2

2

2

'

vt

x

x









a

stąd:









1

2

1

2

1

2

'

'

t

t

v

x

x

x

x

















Pomiar powinien

być dokonany w tym samym czasie (

),

więc:

1

2

t

t







L

x

x

x

x

L















1

2

1

2

'

'

'

'

1

'

1

2

2

L

c

v

L

L











albo:

JEDNOCZESNOŚĆ



W opisanym eksperymencie

skróceniu uległ pręt poruszający się

(podobnie dla dylatacji czasu:

zmienił się czas trwania zjawiska) –

ale

przecież ruch ze stałą prędkością nie wyróżnia w żaden sposób

żadnego układu jako „bezwzględnego”, a w obu obserwatorzy
zauważą skrócenie pręta!

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przyczyną fizyczną tego, że pręt wydaje się krótszy dla obu

obserwatorów jest fakt, że zdarzenia jednoczesne dla jednego
obserwatora nie

są jednoczesne dla drugiego (w opisanym

przykładzie założyliśmy, że położenie obu końców zostało zmierzone
równocześnie!).



Jeżeli więc dwa zdarzenia zachodzą w obrębie czasu krótszym

niż potrzebuje światło, aby przebiec między nimi, kolejność
zajścia obu wydarzeń jest nieokreślona – zależy od prędkości
obserwatora!

Można

sprawić,

przez

wybór

odpowiednio

poruszającego się obserwatora, że zdarzenia rzekomo późniejsze
będą poprzedzały te „przeszłe”!

DYLATACJA DŁUGOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

'

A

A

B

'

B

B

A

'

A

'

B

'

A

A



A

B

'

A

'

B

'

B

A



A

B

'

A

'

B

'

A

B



A

B

'

A

'

B

'

B

B



'

A

'

B

'

A

'

B

'

A

'

B

'

A

'

B

B

A

B

A

B

A

B

A

'

A

B



'

B

A



'

B

B



'

A

A





Zdefiniujmy

interwał czasoprzestrzenny

jako:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

gdzie:

jest

klasyczną odległością między dwoma punktami.



Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji

Lorentza:

12

S





 



2

12

2

12

2

12

l

t

c

S













 

 



2

12

2

12

2

12

12

z

y

x

l















'

12

12

S

S







(w mechanice klasycznej:

zarówno czas między zdarzeniami jak i

odległość przestrzenna są zachowane niezależnie!).

INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY



Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest większy od zera:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest mniejszy od zera:

INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY



 



0

2

12

2

12

2

2

12













l

t

c

S

nazywamy

interwałem typu czasowego.

Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to zawsze jedno z nich poprzedza drugie
(zachowana

jest

kolejność ich zachodzenia w czasie), niezależnie od wyboru układu

współrzędnych. Dla takiego interwału nie istnieje układ inercjalny, w którym zdarzenia mogłyby
zajść w tym samym czasie, ale istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejscu.

   

0

2

12

2

12

2

2

12













l

t

c

S

nazywamy

interwałem typu przestrzennego.

Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to nie istnieje taki układ inercjalny, w którym
zdarzenia

mogłyby zajść w tym samym miejscu, ale istnieje układ, w którym zdarzenia te zajdą w tym

samym czasie.

CZASOPRZESTRZEŃ



Współrzędne przestrzenne

i

współrzędna czasowa wszystkich

możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie
odniesienia

tworzą

czterowymiarową

przestrzeń

zdarzeń

o

współrzędnych

. Inaczej nazywamy

ją czasoprzestrzenią

lub

przestrzenią Minkowskiego.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





z

y

x

,

,

t





z

y

x

ct

,

,

,



Czasoprzestrzeń traktuje się jako czterowymiarową przestrzeń

„pseudoeuklidesową” – odległość między punktami w tej przestrzeni
może być zarówno liczbą rzeczywistą jak, i urojoną!

t

x

x=ct

x=-ct

absolutna przyszłość

absolutna przeszłość

absolutne oddalenie

PARADOKS BLIŹNIĄT



Zgodnie z obliczona

dylatacją czasu dla obiektów poruszających się z

prędkością przyświetlną, zegary i wszystkie procesy fizyczne (życie!)
na statku kosmicznym,

poruszającym się z prędkością

, spowolnione

są

razy.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

v

2

1





c

v







Można by wyjaśnić ten fakt tym, że obserwator lecący rakietą „widzi”

skróconą odległość do przebycia, więc zajmuje mu to mniej czasu, niż
wychodziłoby to z obliczeń obserwatora „stacjonarnego”.



Paradoksalnie jednak obserwator w rakiecie

mógłby powiedzieć, ze to

Ziemia oddala

się od niego z dużą prędkością, więc on zaobserwuje zegary

ziemskie

chodzące wolniej!



Wyjaśnienie paradoksu leży w fakcie, że zagadnienie nie ma „pełnej

symetrii”: poruszający się rakietą kosmonauta zmienia układ odniesienia
podczas powrotu na

Ziemię!



Obserwacje

weryfikujące „paradoks bliźniąt”:

„ogrzany” zegar Mössbauera;
zegar

podróżujący na pokładzie samolotu dookoła świata.

PRĘDKOŚĆ RELATYWISTYCZNA



Dodawanie

prędkości według Einsteina:

Transformacje Lorentza:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





vt

x

x







'











 



x

c

v

t

t

2

'



Różniczkując wyrażenia na te współrzędne czasoprzestrzeni:





vdt

dx

dx







'











 



dx

c

v

dt

dt

2

'



i

dzieląc je przez siebie, otrzymamy:

 

 

'

1

'

'

2

2

x

x

x

u

u

c

v

v

u

dx

c

v

dt

vdt

dx

dt

dx















dt

dx

u

x



gdzie:

Jest to

wzór Einsteina na dodawanie prędkości.



Dla

mamy:

bez

względu na

!

c

u

x



c

u

x



'

v

PĘD RELATYWISTYCZNY



Klasyczna definicja

pędu:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

u

m

p







Taka definicja

pędu, w połączeniu z transformacją Einsteina dla prędkości

nie zapewni nam jednak

spełnienia zasady zachowania pędu! (

jest

prędkością cząstki).

u





Nowa definicja

pędu (która zapewni prawdziwość zasady

zachowania

pędu przy

transformacji

do

dowolnego

układu

współrzędnych) podana przez Einsteina:

 

u

u

m

p









 

2

2

1

1

c

u

u







(uwaga!

Podobieństwo oznaczeń, ale TO

zależy od prędkości cząstki

, a

nie od

prędkości

poruszania

się układu współrzędnych!).

 

u



u

v

PĘD RELATYWISTYCZNY



Dla tak zdefiniowanego

pędu, możemy podać również zasady

transformacji przy zmianie

układu współrzędnych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Wielkości

i

transformują się podobnie jak para:

i

!

c

E

p

p

x

x









'

x

p

c

E

c

E









'

gdzie:

i

 

2

c

u

m

E





 

2

'

'

c

u

m

E





x

p

c

E

x t



Wielkość

oznacza

składową pędu w kierunku prędkości

„transformującej” z jednego układu współrzędnych do drugiego.
Einstein

utożsamił wielkość

z

energią cząstki zakładając, że

wielkości pędu i energii powinny się zachowywać względem siebie
jak

położenie i czas.

x

p

E

ENERGIA RELATYWISTYCZNA



Podana definicja

pędu w przypadku prędkości dużo mniejszych od

prędkości światła przechodzi w definicję klasyczną:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





 





x

x

x

mu

u

u

m

p

c

v













Energia zdefiniowana przez Einsteina

też powinna ulec takiej

transformacji, a

więc:





 







































c

c

u

m

c

u

m

E

c

v

2

1

2

2

2

1





Dla

małych prędkości możemy jeszcze skorzystać z rozwinięcia w

szereg

wyrażenia na energię. Otrzymamy wtedy:

2

2

1

2

2

2

2

2

mu

mc

c

c

u

m

E





















ENERGIA RELATYWISTYCZNA



Przypomnijmy

wzór na rozwinięcie „nowej” definicji energii:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2

2

2

mu

mc

E







Drugi

człon jest klasyczną energią kinetyczną – energią cząstki

swobodnej o

prędkości . Pierwszy człon jest natomiast pewną stałą,

którą według praw mechaniki klasycznej można dodać jako dowolną
wartość do całkowitej energii ciała (por. pojęcie energii potencjalnej!).

u



Według Einsteina ten pierwszy człon:

2

0

mc

E



ma

sens

energii

spoczynkowej

ciała – wielkości, której istnieniu

zawdzięczamy m.in. bombę atomową...

MASA RELATYWISTYCZNA



Można sformułować definicję pędu relatywistycznego cząstki na

sposób „klasyczny” jako:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

u

u

m

p







jeśli wprowadzimy pojęcie masy relatywistycznej:

 

2

2

1

c

u

m

u

m





gdzie

jest

masą spoczynkową cząstki.

m



Masa relatywistyczna to inaczej energia relatywistyczna podzielona

przez

stałą

- masa relatywistyczna

układu odosobnionego jest

zachowana,

podczas

gdy

masa

spoczynkowa,

zawarta

w

indywidualnych

cząstkach, może się zmieniać (zasada zachowania

energii).

2

c

RÓWNOWAŻNOŚĆ MASY I ENERGII



Według przewidywań Einsteina, spoczywająca masa

zawiera

olbrzymią ilość energii:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

m

2

0

mc

E



Nawet zmniejszenie masy spoczynkowej

cząstki (np. w wyniku rozpadu

promieniotwórczego – tzw. defekt masy) o niewielką ilość

spowodowałoby

wyzwolenie

potężnej energii.

m



Przykład:

Energia

węgla:

a) spalonego klasycznie w

elektrociepłowni:

g

1











J

cal

J

cal

kg

E

spalania

4

3

10

9

,

2

18

,

4

7000

10









b) uzyskana z wyzwolenia z masy spoczynkowej:







J

s

m

kg

E

13

2

8

3

0

10

9

10

3

10











RELATYWISTYCZNA ENERGIA KINETYCZNA



Definicja energii kinetycznej:

część energii całkowitej cząstki,

wynikająca z ruchu cząstki (a więc związana z jego prędkością) –
definicja

prawdziwa

zarówno w mechanice klasycznej, jak i

relatywistycznej.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



W mechanice relatywistycznej

możemy więc obliczyć energię

kinetyczną jako różnicę między energią całkowitą a energią
spoczynkową:









































1

1

2

1

2

2

2

2

c

u

mc

mc

E

E

c

k



Dla

małych prędkości wykorzystujemy rozwinięcie dwumianu:











n

n









1

1

lim

0

co daje nam ostatecznie znane

wyrażenie:

2

2

1

mu

E

k



ZWIĄZKI MIĘDZY ENERGIĄ A PĘDEM



Korzystając z wprowadzonych definicji relatywistycznego pędu i

energii (dla przypomnienia):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

u

c

u

m

p





2

1

2

2

1



















2

2

1

2

2

1

c

c

u

m

E



















możemy znaleźć związki między pędem i energią w ujęciu relatywistycznym:

a)

dzieląc stronami:

2

c

E

u

p







b)

rugując z obu równań prędkość cząstki

:

u

4

2

2

2

2

c

m

c

p

E







Taka

postać równań na pęd i energię implikuje jeszcze jeden ważny fakt,

podstawowy dla mechaniki relatywistycznej:

żadna cząstka materialna

(m>0) nie

może osiągnąć prędkości światła, gdyż wtedy jej pęd i energia

wzrosłyby do nieskończoności.

CZĄSTKI O ZEROWEJ MASIE SPOCZYNKOWEJ



Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej! Należą

do nich np. fotony

– kwanty promieniowania elektromagnetycznego.

Teoria korpuskularna

światła każe je traktować jak cząstki ze względu

na to,

że mają one pęd i energię, choć nie mają masy – właśnie masy

spoczynkowej!

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Korzystając ze związku:

4

2

2

2

2

c

m

c

p

E





i podstawiając m=0 otrzymamy:

c

E

p



czyli

związek między pędem i energią takiej „bezmasowej” cząstki,

analogiczny do postulowanego przez de

Broglie’a!.



Korzystając z kolei ze związku:

2

c

E

u

p







stwierdzimy,

że prędkość cząstki o masie spoczynkowej równej 0 musi

wynosić c!

SIŁA RELATYWISTYCZNA



Wygodnie jest

również w mechanice relatywistycznej zdefiniować siłę

tak,

żeby III zasada dynamiki Newtona była słuszna dla dwóch

oddziaływujących cząstek. Z kolei ze względu na zasadę zachowania
pędu, „pozostawimy” definicję siły jako:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

dt

p

d

F







Przy takiej definicji jednak

wartość i kierunek siły będą zależeć od

prędkości poruszającego się obserwatora!



Efekty,

potwierdzające takie podejście, zostały zaobserwowane – w

elektrodynamice pokazano,

że np. stacjonarne pole elektryczne

jest

„widziane” przez poruszającego się obserwatora jako pole magnetyczne o
indukcji

równej:

E



B



E

c

v

B











2

( w

układzie CGS)

Fizycznie pola

i

dla

poruszających się obserwatorów przechodzą wzajemnie jedno w

drugie, a

więc powinno się o nich myśleć jako o jednym polu elektromagnetycznym – w

elektrodynamice

współczesnej zwykło się nawet traktować pole magnetyczne jako

„relatywistyczną manifestację” pola elektrycznego!

E



B



OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI



Podany

dotąd „przepis” na mechanikę relatywistyczną nazywamy

szczególną teorią względności. Została ona całkowicie opracowana przez
Einsteina w 1905 r.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Ogólna teoria względności była opracowana później, poczynając od 1911

r., przez Einsteina. Jest ona

nowoczesną, relatywistyczną teorią grawitacji.



Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest

równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie
odróżnić jednej od drugiej).



Jednym z

wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność masy

„odkształca” otaczającą ją przestrzeń i wobec tego poruszające się w takiej
przestrzeni

ciała mają tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie

spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń („normalne” w ruchu
krzywoliniowym) i jest obserwowane jako

działanie sił grawitacyjnych!



Inną konsekwencją tej teorii są np.:

powiększenie się długości fali światła emitowanego przez źródło, mające
masę – grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni;
zakrzywianie

się wiązki światła w pobliżu dużej masy.