Zjawiska interferencji w

mechanice kwantowej

Tadeusz Paszkiewicz,

Sławomir Wolski

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Podręcznik Feynmana

Feynmana wykłady z fizyki. T. 3,
Mechanika kwantowa, Richard P.
Feynman, Robert B. Leighton,
Matthew Sands, Wydawnictwo
naukowe PWN, cena 55,50 zł

Richard P. Feynman

Richard Feynman 1918-1988

Epitafium napisane przez

Juliana Schwingera

(Richard Feynman) „Uczciwy człowiek,
najwybitniejszy intuicjonista naszych
czasów, najlepszy przykład tego, co czeka
ludzi gotowych iść w takt innego bębna”

Trzy rodzaje doświadczeń typu

two-slits

Górny rysunek: wynik
doświadczenia z cząstkami
klasycznymi.

Ś

rodkowy rysunek:

interferencja fal.

Dolny rysunek: doświadczenie
z mikrocząstkami.

(Rysunek z pracy Feynmana z
Review of Modern Physics

t. 20, str.367, 1948)

Two-slit experiments

Doświadczenie z dwoma szczelinami (i jego różne warianty)
stały się klasycznym

Gedankenexperiment

(doświadczeniem

myślowym). Powodem było przejrzyste przedstawienie
podstawowej zagadki fizyki kwantowej. Rzeczywiste
doświadczenie tego typu zostało wykonane dopiero w

1961

(Claus Joensson University of Tübingen, Zeitschrift für Physik
161, 454; C Joensson 1974 Electron diffraction at multiple slits
American Journal of Physics 42 4-11). Dopiero w

1974

udało

się je przeprowadzić w laboratorium Uniwersytetu w
Mediolanie (grupa kierowana przez Pier Giorgio Merli, of
LAMEL-CNR Bolonia) tak, aby pomiędzy przesłoną ze
szczelinami i ekranem zawsze znajdował się co najwyżej jeden
elektron.

Two-slit experiments

Wyniki doświadczeń przeprowadzonych w zostały opublikowane, a
nawet powstał krótki film, lecz nie wywołały większego
zainteresowania. Doświadczenie to zostało powtórzone w

1989

r.

przez Tonomurę i współpracowników z Hitachi w Japonii. Ich
wyposażenie było lepsze, co związane było z postępem
technicznym, który miał miejsce w ciągu 15 lat, które upłynęły od
1974 r. i staraniami zespołu z Hitachi .Wyniki późniejszego
eksperymentu potwierdziły rezultaty wcześniejszego.

We wrześniu 2002 r. czytelnicy Physics World uznali

doświadczenie Clausa Joenssona (nowoczesna wersję
doświadczenia Younga z 1805 r.) za najpiękniejsze doświadczenie.

Doświadczenie Younga – interferencja
ś

wiatła przeprowadzone przez Clausa

Joenssona. (źródło

Wikipedia Image)

Thomas Young

Thomas Young (ur. W Milverton,
Somerset, Anglia, 13 czerwca,
1773, zm. Londyn, 10 maja, 1829).
Zasłynął z badań nad światłem i
widzeniem. Nadał prawu Hooka
jakościową postać wprowadzając
moduł Younga. Badał soczewki,
interferencję i dyfrakcję światła.
Zauważył, że światło jest falą
poprzeczną. Zajmował się też
odczytywaniem hieroglifów
egipskich.

Wyniki doświadczeń Sterna i

Estermana (1930)

Stern i Esterman rozpraszali cząstki H

2

na powierzchni

kryształu LiF.

Współczesne doświadczenie z

interferencją na dwóch szczelinach

Hitachi experiment:

Electrons are emitted one by one from the source in the electron
microscope. They pass through a device called the "electron
biprism", which consists of two parallel plates and a fine filament
at the center. The filament is thinner than 1 micron (1/1000 mm)
in diameter. Electrons having passed through on both sides of the
filament are detected one by one as particles at the detector. This
detector was specially modified for electrons from the photon
detector produced by Hamamatsu Photonics (PIAS). To our
surprise, it could detect even a single electron with almost 100 %
detection efficiency.

Filament – żarnik, włókno

Schemat doświadczenia Hitachi

Wyniki doświadczenia Hitachi

Film Hitachi – tworzenie obrazu

interferencyjnego

http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html
http://www.hitachi.com/rd/research/em/doubleslit.html

Doświadczenie Feynmana

Doświadczenie Feynmana z cząstkami

mikroskopowymi

przechodzącymi przez dwie szczeliny. Strumień cząstek
jest stacjonarny, tj. nie zmienia się z upływem czasu.

Warunki doświadczenia

1.

Otwory ułożone są symetrycznie względem

ź

ródła cząstek.

2. Cząstki wysyłane są w odstępach czasu
dłuższych niż czas reakcji detektora.

3. Pozwala to uniknąć jednoczesnego wpadania
do

detektora

więcej

niż

jednej

cząstki

i

ewentualnych efektów interferencji cząstek w
obszarze pomiędzy ekranem i przesłoną

.

4. Strumień cząstek jest stacjonarny, tj. nie zmienia
się z upływem czasu.

Zasłonięta prawa szczelina

Gdy odsłonięty jest tylko jeden otwór, zależność n(x)
przypomina dobrze znany wynik – krzywą Gaussa z
maksimum przesuniętym w stronę tego otworu.

1

2

S

D

x

Zasłonięta lewa szczelina

Nie ma niespodzianek – w wyniku wielokrotnego
strzelania do tarczy otrzymuje się krzywą Gaussa
przesuniętą w stronę szczeliny nr 2.

1

2

S

D

x

Odsłonięte obie szczeliny

W przypadku doświadczenia z cząstkami mikroskopo-
wymi dwie szczeliny działają jak siatka dyfrakcyjna.

1

2

S

D

x

Klasyczne i kwantowe

zachowanie się cząstek

Cząstki klasyczne: gdy odsłonięte są obydwa otwory, to wynik
wielu serii strzelania przedstawia krzywa

czerwona

. Krzywa

niebieska

- wynik dla mikrocząstek

0

-5

0

5

Ważna obserwacja

Nigdy nie zaobserwowano części elektronu (tj.
ładunku mniejszego od e). Zatem elektron przechodzi
albo przez szczelinę nr. 1, albo przez szczelinę nr 2.
Są to dwa wykluczające się zdarzenia.

Skoro elektron nie zostaje „rozmazany”, to

jedynym sposobem wyjaśnienia wyników doświad-
czenia jest wprowadzenie

prawdopodobieństwa

trafienia elektronu w małe otoczenie punktu x.

Zasadnicze obiekty

mechaniki kwantowej

W mechanice kwantowej najważniejsze
są

amplitudy

zdarzeń

(procesów

kwantowych). Prawdopodobieństwo jest
obiektem wtórnym. Należy nauczyć się
operować amplitudami i je wyznaczać.

Prawdopodobieństwo P(A) zajścia zdarzenia A
równe jest kwadratowi modułu amplitudy

φ

(A).

Podstawowa zasada

mechaniki kwantowej

Mechanika kwantowa podaje metody znajdowania
amplitud dla różnych procesów kwantowych.
Związane są one z funkcją falową.

( )

2

P A

(A) .

= φ

Doświadczenie dla obydwu

otwartych szczelin

Zapiszemy amplitudę zdarzenia A

xS

cząstka

wychodzi ze źródła S i trafia do detektora

W jaki sposób można zrealizować to zdarzenie?

xS

cząstka przybywa do x cząstka wychodzi z S .

φ =

Przejście elektronów przez

dwie szczeliny

Elektron przechodzi albo przez otwór nr 1, albo otwór
nr 2.

1

2

S

D

x

(2)

xS

A

(1)

xS

A

Zdarzenie polegające na tym, że elektron, który
wyszedł ze źródła trafia do detektora w punkcie x
można zrealizować na dwa wykluczające się sposoby:

Zdarzenie

: Elektron wychodzi ze źródła i trafia do

punktu x ekranu przez szczelinę nr 1. Przypiszemy mu
amplitudę:

.

Zdarzenie

: Elektron wychodzi ze źródła trafia do

punktu

x

przez

szczelinę

2.

Przypiszemy

mu

amplitudę:

.

W jaki sposób można zrealizować

zdarzenie przejścia przez szczeliny?

( )

(1)

(1)

xS

xS

A

φ = φ

( )

( 2)

(2)

xS

xS

A

φ = φ

(1)

xS

A

(2)

xS

A

Prawo klasycznego rachunku

prawdopodobieństwa

Dla dwóch

wykluczających

się zdarzeń

prawdopodobieństwo jest równe:

P(A albo B)

P(A)

P(B).

=

+

Uogólnienie: Prawdopodobieństwo zajścia któregokolwiek
(wszystko jedno którego) ze zdarzeń
równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, jeżeli
każde dwa spośród nich wyłączają się wzajemnie:

1

2

n

A , A ,..., A

(

)

1

2

n

1

2

n

P A albo A albo ... albo A

P(A ) P(A ) ... P(A ).

=

+

+ +

Prawo rachunku

prawdopodobieństwa dla amplitud

W przypadku naszego doświadczenia

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

xS

xS

xS

xS

xS

xS

xS

(A

albo A

)

(A )

(A

)

.

φ ≡ φ

= φ

+ φ

= φ + φ

Możemy już podać wyrażenie dla prawdopodobieństwa
rejestracji elektronu w punkcie x ekranu, dla otwartych
obydwu szczelin

2

(1)

(2)

xS

xS

xS

P

.

= φ + φ

Je

ż

eli uda si

ę

amplitudom przypisa

ć

liczby zespolone, to

mo

ż

emy oczekiwa

ć

,

ż

e uda si

ę

nam opisa

ć

zjawiska

interferencji fotonów, elektronów, itd.

Jak realizowane jest zdarzenie A

(1)

xS

?

Aby dotrzeć do detektora przez otwór nr 1 cząstka musi wyjść ze
ź

ródła, dojść do otworu nr 1

i

będąc w otoczeniu otworu nr 1 dojść

do detektora znajdującego się w punkcie x.

1

2

S

D

x

Klasyczne prawo mnożenia

prawdopodobieństw

W przypadku klasycznym prawdopodobieństwo P(A i B)
zdarzenia A i B równe jest

P(A i B)

P(A)P(B | A)

P(B)P(A | B) .

=

=

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to P(A|B)=P(A), wtedy

P(A i B)

P(A)P(B).

=

P(A|B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A pod
warunkiem wystąpienia zdarzenia losowego B.

Jeżeli P(A|B)

≠

P(A) to zdarzenia A i B są skorelowane.

Modyfikacja klasycznego prawa

mnożenia prawdopodobieństw

dla zdarzeń niezależnych

Przeniesiemy regułę

na grunt mechaniki kwantowej:

(

) (

) ( )

(

) ( )

x1

1S

x1

1S

1S

1S

x1

x1

x1

1S

A

i A

A | A

A

A | A

A

(A ) (A )

x 1 1 S .

φ

= φ

φ

=

= φ

φ

= φ

φ

=

(

)

(2)

xS

x 2

2S

x 2

2S

A

i A

(A ) (A )

x 2 2 S .

φ = φ

= φ

φ

=

Podobnie, w przypadku dla drugiej szczeliny możemy zapisać

P(A i B)

P(A)P(B)

=

Wyrażenie dla całkowitej

amplitudy

Moglibyśmy zrobić w przesłonie więcej (np. n)
otworów, wtedy przy wszystkich otworach odsłoniętych
możemy napisać:

xS

x 2 2 S

x 1 1 S .

φ =

+

n

xs

i 1

x 1 1 S

x 2 2 S

...

x n n S

x i i S .

=

φ =

+

+ +

=

∑

Uogólnienie prawa mnożenia

klasycznych prawdopodobieństw

zdarzeń niezależnych

Niech A, B i C oznaczają trzy zdarzenia niezależne,
wtedy

P(A i B i C)

P(A i B)P(C)

P(A)P(B)P(C).

=

=

W ogólnym przypadku, gdy mamy do czynienia z n
zdarzeniami niezależnymi

(

)

( )

1

2

n

i

n

i 1

P A i A i ...i A

P A

.

=

=

∏

Prawo mnożenia prawdopodobieństw

niezależnych na gruncie mechaniki

kwantowej

Uwzględniając wszystkie możliwe realizacje zdarzenia A

xS

1

2

S

D

x

a

b

c

( )

(

) ( ) ( ) ( )

(1)

xS

1S

b1

xb

xb

b1

1S

A

A

i A

i A

A

A

A

x b b 1 1 S .

φ

= φ

= φ

φ

φ

=

( )

xS

2

c

i 1 j a

A

x j j i i S .

= =

φ

=

∑∑

Dla zaznaczonego zdarzenia:

Mechanika klasyczna wynika

z kwantowej

Jeżeli prawdopodobieństwo dojścia cząstki od punktu, w
którym znajduje się źródło S, do dowolnego punktu x ekranu
po

pewnej

trajektorii

będzie

znacznie

większe

od

prawdopodobieństwa

ruchu

po

wszystkich

innych

trajektoriach, to będziemy mieli mamy do czynienia z sytuacją
bardzo

podobną

do

klasycznego

opisu

ruchu

cząstki

swobodnej.

Prawdopodobieństwa te muszą zależeć od masy cząstek, gdyż
obserwujemy zjawisko interferencji w przypadku neutronów,

ale nie obserwujemy interferencji np. piłek tenisowych.

Nieskończenie wiele przesłon

z nieskończenie wieloma otworami

Gdy liczba przesłon rośnie bez ograniczeń i gdy liczba
otworów w każdej z nich rośnie nieograniczenie, to
będziemy mogli uwzględnić wszystkie możliwe drogi
(trajektorie), po których cząstka może dotrzeć od
ź

ródła S do punktu x ekranu.

S

x

D

l

Sformułowanie mechaniki

kwantowej podane przez Feynmana

Z kontinuum trajektorii, łączących punkt S z punktem x,
przesłony z otworami wybierają niewielki podzbiór.
Gdy nie ma przesłon w każdym z doświadczeń cząstka
„wybiera” którąś z tych trajektorii. Z każdym z
wyborów związana jest odpowiednia amplituda, a więc
i odpowiednie prawdopodobieństwo. Cząstka klasyczna
wybiera klasyczną trajektorię. Prawdopodobieństwo
wybrania przez nią trajektorii nieklasycznej jest
znikomo małe.

Metoda całek po trajektoriach

Na podstawie podobnych rozważań, w późnych latach
40

ubiegłego

wieku,

R.

Feynman

podał

nowe

sformułowanie mechaniki kwantowej:

metodę całek po

trajektoriach

Quantum Mechanics and Path Integrals.

Którą drogę wybierze cząstka?

Rozpraszamy fotony na elektronach.

Długość fali światła musi być znacznie mniejsza od odległości
pomiędzy szczelinami. W przeciwnym przypadku nie będziemy w
stanie ustalić w pobliżu której ze szczelin foton został rozpro-
szony.

1

2

S

D

x

L

D

1

D

2

Amplitudy rozproszenia fotonu

przez elektrony

Oznaczymy amplitudę prawdopodobieństwa rozproszenia
fotonu przez elektron znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 1 do
detektora D

1

przez a. Podobnie oznaczymy amplitudę

prawdopodobieństwa rozproszenia fotonu przez elektron
znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 2 do detektora D

2

przez a.

Natomiast amplitudę prawdopodobieństwa rozproszenia fotonu
przez elektron znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 1 (nr 2) do
detektora D

2

(D

1

) oznaczymy przez b.

Którą drogę wybierze cząstka?

Amplituda zdarzenia polegającego na tym, że elektron wychodzi ze źródła
S, przechodzi przez szczelinę 1 i trafia do detektora w punkcie x oraz

rozprasza foton w kierunku detektora D

1

równa jest

(1)

xS

x 1 a 1 S

a

.

= φ

1

2

S

D

x

L

D

1

D

2

Którą drogę wybierze cząstka?

Ze względu na symetryczną konstrukcję „aparatury” amplituda zdarzenia
polegającego na tym, że elektron wychodzi ze źródła S, przechodzi przez
szczelinę 2 i trafia do detektora w punkcie x oraz rozprasza foton w
kierunku detektora D

2

równa jest

(2)

xS

x 2 a 2 S

a

.

= φ

1

2

S

D

x

L

D

1

D

2

Którą drogę wybierze cząstka?

Amplitudy zdarzeń polegających na tym, że elektron wychodzi ze
ź

ródła S, przechodzi przez szczelinę nr 1 (nr 2) i trafia do detektora

w punkcie x oraz rozprasza foton w kierunku detektora D

2

(D

1

)

równe są odpowiednio:

1

2

S

D

x

L

D

1

D

2

(1)

(2)

xS

xS

x 1 b 1 S

b

, x 2 b 2 S

b

.

= φ

= φ

Obliczenie amplitud

prawdopodobieństw

Zajmijmy się teraz amplitudą następującego zdarzenia: elektron

wychodzi z S, foton wychodzi z L

→

elektron w x, foton w D

1

:

(1)

(2)

xS

xS

1

elektron w x elektron z S

a

b

.

foton w D

foton z L

= φ + φ

(1)

(2)

xS

xS

2

elektron w x elektron z S

b

a

.

foton w D

foton z L

= φ + φ

W podobny sposób znajdziemy amplitudę drugiego zdarzenia:
elektron wychodzi z S, foton wychodzi z L

→

elektron w x, foton

w D

2

:

Wyrażenia dla

prawdopodobieństw

Znając amplitudy omawianych zdarzeń możemy
znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwa:

2

2

(1)

(2)

xS

xS

1

elektron w x elektron z S

a

b

,

foton w D

foton z L

= φ + φ

2

2

(1)

(2)

xS

xS

2

elektron w x elektron z S

b

a

.

foton w D

foton z L

= φ + φ

Aparatura doskonale selektywna

Dla doskonale selektywnego urządzenia: a

≠

0, b=0

2

2

2

2

(1)

(1)

xS

xS

1

elektron w x elektron z S

a

a

,

foton w D

foton z L

= φ

=

φ

Można ustalić

, którą z dwóch dróg „wybrał” elektron.

Efekty interferencji są

nieobecne

. Alternatywy są

rozróżnialne

.

2

2

2

(2)

xS

2

elektron w x elektron z S

a

foton w D

foton z L

=

φ

.

Aparatura doskonale selektywna

Gdy odsłonięte są obydwa otwory to czasami
reaguje detektor D

1

, a czasami detektor D

2

.

Wiemy którą z dróg wybrał elektron. Wynikiem
doświadczenia jest

krzywa czerwona

0

-5

0

5

Aparatura zupełnie nieselektywna

Nie można

ustalić, którą z dwóch dróg „wybrał”

elektron.

Obecne

są efekty interferencji.

Alternatywy są

nierozróżnialne

.

W przypadku urządzenia zupełnie nie selektywnego
a=b, wtedy czynnik |a|

2

można wyciągnąć przed znak

modułu

2

2

2

(1)

(2)

xS

xS

1

elektron w x elektron z S

a

.

foton w D

foton z L

=

φ + φ

I zasada mechaniki kwantowej

Przyjmijmy, że przejście ze stanu i do stanu f może odbyć się
na s

nierozróżnialnych

sposobów. Amplituda przejścia jest

równa sumie amplitud 〈 i | f 〉

j

(j=1,2,...,s), odpowiadających

różnym sposobom przejścia i

→

f .

1

,

s

j

j

f i

f i

=

=

∑

1

2

s

i

f

II zasada mechaniki kwantowej

Jeżeli przejście i

→

f (| i 〉

→

| f 〉) odbywa się przez stan pośredni

ν

, o wektorze stanu | ν 〉, to amplituda prawdopodobieństwa 〈 f | i 〉

jest równa iloczynowi amplitud 〈 f | ν 〉, 〈 ν | i 〉

f

i

ν

,

f i

f v v i

=

III zasada mechaniki kwantowej

Załóżmy,

ż

e

mamy

do

czynienia

z

dwoma

obiektami

mikroskopowymi. Niech pierwszy z nich ulega przejściu i

→

f,

a drugi I

→

F . Te przejścia charakteryzują amplitudy

〈 f | i 〉

,

〈 F | I 〉

. Amplituda

〈 fF | iI 〉

przejścia układu złożonego ze

stanu i I do f F równa jest iloczynowi amplitud

〈 f | i 〉

,

〈 F | f 〉

f F i I

f i F I .

=

IV zasada mechaniki kwantowej

Układ kwantowy może znaleźć się
w jednym z j=1..s

rozróżnialnych

stanów końcowych. Wyniki doś-
wiadczeń przeprowadzonych nad
układem w s stanach końcowych
różnią się, to właśnie pozwala
odróżnić te stany.
Prawdopodobieństwo przejścia ze
stanu i do któregoś ze stanów
końcowych

jest

równe

sumie

poszczególnych

prawdopodobieństw

|〈 f | i〉

j

|

2

i

f

1

f

s

f

2

2

2

1

.

s

j

j

f i

f i

=

=

∑

Własności liczb zespolonych

2

2

2

1 2

1

2

,

z z

z

z

=

(

)(

)

2

*

2

2

,

z

zz

x iy

x iy

x

y

=

= +

−

=

+

cos

sin ,

ix

e

x i

x

=

+

( )

(

)

*

*

cos

sin

cos

sin

,

ix

ix

e

x i

x

x i

x

e

−

=

+

=

−

=

2

1 .

ix

ix

ix

e

e e

−

=

=

Matematyczny opis

doświadczenia Feynmana

Przyjmijmy, że

amplitudy

przejścia cząstki od

szczeliny nr 1 lub nr 2 do detektora
znajdującego się w punkcie x są równe:

1

ip /

1

e

x 1

,

l

l

=

ℏ

2

ip /

2

e

x 2

.

l

l

=

ℏ

l

1

- odległość od szczeliny nr 1 do detektora znajdującego się

w punkcie x,
l

2

- odległość pomiędzy szczeliną nr 2 i detektorem.

Geometria doświadczenia

1

2

S

D

x+

a

/2

-a/2

+a/2

x-

a

/2

l

l

2

l

1

(

)

(

)

2

2

2

2

1

2

x - a / 2

,

x + a / 2

.

l

l +

l

l +

=

=

Gdy odsłonięto jeden otwór

Gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, np. nr 1, to

( )

1

2

2

(1)

(1)

Sx

xS

2

ip /

2

2

-2

1

1

P A

x 1 1 S

e

x 1

1 S

.

l

l

l

= φ

=

=

=

∝

=

ℏ

Nie ma interferencji!

Gdy odsłonięto drugi otwór

Gdy otwarta jest tylko druga szczelina, to

( )

2

2

2

(2)

(2)

Sx

xS

2

ip /

2

2

-2
2

2

P A

x 2 2 S

e

x 2

2 S

.

l

l

l

= φ

=

=

=

∝

=

ℏ

Nie ma interferencji!

Otwarte są obydwie szczeliny

Ze względu na symetrię wynikającą z
geometrii doświadczenia: 〈 1 | S 〉 = 〈 2 | S 〉

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

1

2

2

(1)

(2)

(1)

(2)

Sx

Sx

xS

xS

2

ip /

ip /

2

2

2

1

2

2

2

2

ip /

1

2

1

2

1

2

c

2

2

1

2

1

2

1

P

A

albo A

x 1 1 S

x 2 2 S

e

e

1 S

x 1

x 2

1 S

1

1 S

e

1

exp ik

c 1

exp ik

/

/

.

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

= φ + φ

=

+

=

=

+

=

+

=

=

+

−

=









=

+

−









ℏ

ℏ

ℏ



Matematyka. Poradnik

encyklopedyczny

Matematyka. Poradnik
encyklopedyczny, Igor N.
Bronsztejn, Konstantin A.
Siemiendiajew,
Wydawnictwo Naukowe
PWN

Matematyka. Poradnik

encyklopedyczny

Matematyka. Poradnik encyklopedyczny
Wznowienie najpopularniejszego poradnika dla uczniów i
studentów zawierającego podstawowe wiadomości z następujących
działów matematyki: matematyka elementarna, geometria
analityczna, geometria różniczkowa, analiza matematyczna,
rachunek prawdopodobieństwa, procesy stochastyczne, statystyka
matematyczna.
Książka prezentuje tablice i wykresy funkcji elementarnych oraz
tablice funkcji specjalnych. Poradnik polecany wszystkim
poszukującym zwięzłych i łatwo dostępnych wiadomości z
dziedziny matematyki.
Wydanie: dwudzieste, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010

S

zereg dla uogólnionego dwumianu

Bronsztejn i Siemiendiajew, Matematyka Poradnik
Encyklopedyczny, str. 416:

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

3

1

1

2

1

1

;

2!

3!

1,

0 .

m

m m

m m

m

m

m

µ

µ

µ

µ

µ

+

+

−

±

= ±

+

±

+

≤

>

…

Tożsamości trygonometryczne:

( )

2

2

2

2

sin

cos

1; cos 2

cos

sin

.

α

α

β

β

β

+

=

=

−

Przybliżone wyrażenie dla l

2

-l

1

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x + a / 2

x - a / 2

x + a / 2

x - a / 2

1

1

1 x + a / 2

1 x - a / 2

1

1

2

2

x + a / 2

x - a / 2

2

1

2 a / 2 + a / 4

2 a / 2 - a / 4

.

2

l

l

l +

l +

l

+

+

l

l

l

+

l

l

l

l

ax

x

x

x

x

l

l

− =

−

=

















=

−





































− −

=

































=

−

=





=

+

− +

=

≃

≃

2

1 / 2,

/ 2

1

,

.

m

x

a

l

x

l a

l

µ

=

±





=









<

<

≪

Przybliżenia

[

] [

]

1

2

2

1

2

2

1

/

1;

/

;

/

/

.

l

l

l

l

ax l

l

l

ax l

L

L

L

−

− =

=

=

≃

≃

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1

2

2

/

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1 exp

/

1 exp

/

1 exp

/

1 exp

/

2 2 cos

/

2

2

1 cos 2

/ 2

sin

2

/ 2

cos

2

/ 2

4

cos

2

/ 2

sin

2

/ 2

sin

2

ip l

l

l

c

c

c

e

ipax l

ikax l

l

l

l

l

c

c

ikax l

ikax l

kax l

l

l

c

c

kax

l

kax

l

kax

l

l

l

c

kax

l

kax

l

kax

l

−

+

+

=

+

=

=

+

+

−

=

+

=



 









 









=

+

=

+

−













−

+

=



ℏ

≃

ℏ

(

)

/ 2

0.

l

≥

Przybliżenia słuszne dla

l >> a, x

gdzie

1

2

≈ ≈

l

l

l

2

1

a

x

≈

l - l

l

(

)

(

)

(

)

2

1

2

2

(1)

(2)

(1)

(2)

Sx

Sx

xS

xS

2

ip

/

2

2

1

2

1

2

2

2

2

P

A

albo A

x 1 1 S

x 2 2 S

e

c

1 S

x 1

x 2

1

2c

kax

4c

kax

1 cos

sin

0 ,

2

l

l

l

l

l

l

l

l

l

−

= φ + φ

=

+

=

+

=

+

≈













≈

+

=

≥

























ℏ

2

c

1 S

.

=

Sens otrzymanego wyniku

Wzór

(

)

(

)

(1)

(2)

2

Sx

Sx

2

4c

kax

P

A

albo A

sin

2

l

l





≈









jest słuszny dla x << l, i a << l

.

Określa on

co najwyżej jedno

maksimum skon-

centrowane dookoła punktu x=0. Pobocznych maksimów
w tak prostym przybliżeniu nie otrzymamy. Kształt
maksimum określa funkcja trygonometryczna, a nie
funkcja Gaussa.

Obecność oscylującej funkcji

( )

2

sin

k ax / 2l









wzmacnia zasadność oczekiwań dotyczących obecności
efektów interferencyjnych.

Zjawiska interferencji

kwantowej innego typu

Istnieje bardzo wiele zjawisk związanych z interferencją
kwantową. Przykłady:
• Zjawisko dyfrakcji cząstek mikroskopowych
na otworach w przesłonach (przykład: M.N. Wise i T.G. Kelly,
American Journal of Physics, t. 45, No. 4, str. 384, 1974).
• Mikroskop elektronowy działa na zasadzie interferencji
kwantowej.
• Na skutek kwantowej interferencji rozpraszanie

jednakowych

cząstek na sobie bardzo się różni od klasycznego rozpraszania.
Jest ono podstawą do podziału cząstek mikroskopowych na
dwie klasy: bozonów i fermionów.

Dyfrakcja –inne zjawisko

interferencji amplitud

26.05.2011