Andrzej Raczy´

nski

Fizyka kwantowa I

Abstract

Opracowanie niniejsze obejmuje materia l wyk ladu w trzecim semestrze

studi´

ow w roku 2004/2005 i nie wykracza w zasadzie poza ten materia l.

D lu˙zsze obliczenia zosta ly przedstawione w skr´

ocie. Opracowanie ma

charakter roboczy i mo˙ze s lu˙zy´

c jako uzupe lnienie notatek, nie mo˙ze

natomiast zast¸

api´

c lektury podr¸

ecznik´

ow daj¸

acej rozszerzenie infor-

macji przedstawionych na wyk ladzie.
Prezentacja nie jest zupe lnie ´

scis la z matematycznego punktu widzenia.

W szczeg´

olno´

sci nie zwraca si¸

e uwagi na fakt, ˙ze pojawiaj¸

ace si¸

e op-

eratory nieograniczone okre´

slone s¸

a nie na ca lej przestrzeni lecz na

jej g¸estym podzbiorze. W spos´

ob nieformalny rozszerzono przestrze´

n

funkcji ca lkowalnych z kwadratem przez do l¸

aczenie funkcji normowal-

nych w sensie Diraca. Trzema gwiazdkami oznaczono formu ly szczeg´

olnie

wa˙zne. Zalecane podr¸

eczniki:

1. R.Eisberg, R.Resnick, Fizyka kwantowa, PWN, Warszawa 1983;
2. H.Haken, H.C.Wolf, Atomy i kwanty, PWN, Warszawa 1997;
3. L.Schiff, Mechanika kwantowa, PWN,Warszawa 1977;
4. R.L.Liboff, Wst¸

ep do mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa 1987;

5. G.K.Woodgate, Struktura atomu, PWN, Warszawa, 1974;
6. I.Bia lynicki-Birula, M.Cieplak, J.Kami´

nski, Teoria kwant´

ow, PWN,

Warszawa 1971;
7. L.D.Landau, E.M.Lifszyc, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa,
1979;
8. J.Ginter, Wst¸

ep do fizyki atomu, cz¸

asteczki i cia lasta lego, PWN,

Warszawa, 1979.

1

Wst¸

ep i elementy historii

Fizyka kwantowa jako wyk ladany przedmiot ma specjalne znaczenie. Przede
wszystkim dostarcza j¸ezyka, a wi¸ec aparatury poj¸eciowej i formalizmu, kt´

ore

1

b¸ed¸

a u˙zywane w trakcie innych wyk lad´

ow. Ma tak˙ze znaczenie og´

olnoksza lc¸

ace,

formacyjne, poniewa˙z zmusza do porzucenia ´swiatopogl¸

adu naiwnie realisty-

cznego, a wnioski teorii kwantowej musz¸

a by´

c brane pod uwag¸e przy tworze-

niu wizji ´swiata nawet na prywatny u˙zytek. Histori¸e mechaniki kwantowej
uwa˙za si¸e te˙z za typowy przyk lad powstawania nowej teorii naukowej.

Mechanika kwantowa zmusza do nowego rozumienia poj¸e´

c takich jak

cz¸astka, jej ruch, jej struktura, uk lady rozseparowane, zwi¸

azek przyczynowy

czy niezale˙zno´s´

c przedmiotu poznania od obserwatora. W pewnych warunk-

ach nie mo˙zna stosowa´

c logicznej zasady wy l¸

aczonego ´srodka (zachodzi ”a”

lub ”nie a”).

Jako´sciowo nowe elementy to:

1. Opis probabilistyczny, tzn. typowa odpowied´

z na pytanie, czy wielko´s´

c

fizyczna dla danego uk ladu przyjmuje warto´s´

c z przedzia lu (a, b), brzmi:

”tak” z prawdopodobie´

nstwem p i ”nie” z prawdopodobie´

nstwem 1−p. Praw-

dopodobie´

nstwa dodaj¸

a si¸e z mo˙zliwo´sci¸

a interferencji;

2.

Komplementarno´s´

c, tzn.

okre´slaj¸

ac pewne wielko´sci charakteryzuj¸

ace

uk lad musimy zrezygnowa´

c z okre´slenia pewnych innych wielko´sci;

3. Kwantyzacja wielko´sci fizycznych jako regu la, tzn. je´sli wielko´s´

c fizyczna

mo˙ze przyjmowa´

c warto´sci a i b, to mo˙ze nie by´

c mo˙zliwe, by przyjmowa la

dowoln¸

a warto´s´

c rzeczywist¸

a z przedzia lu (a, b);

4. Istnienie wielko´sci fizycznych nie maj¸

acych klasycznego odpowiednika, np.

spinu - momentu p¸edu nie zwi¸

azanego z ruchem;

5. Nierozr´

o˙znialno´s´

c cz¸

astek identycznych.

Teoria kwantowa stanowi pot¸e˙zne narz¸edzie pozwalaj¸

ace skutecznie przewidzie´

c

wyniki pomiar´

ow. W warstwie j¸ezykowej nie jest natomiast teori¸

a sko´

nczon¸

a

- brak jest zar´

owno pogl¸

adowego, intuicyjnego rozumienia jej poj¸e´

c i praw,

jak i pe lnej zgody specjalist´

ow co do ich interpretacji.

Skala typowych wielko´sci w fizyce atomowej to:

1. rozmiary atom´

ow rz¸edu 10

−10

m, rozmiary j¸

adra atomowego rz¸edu 10

−14

m;
2. masa elektronu 9.11 × 10

−31

kg, masa protonu 1.67 × 10

−27

kg;

3. czasy charakterystyczne w fizyce atomowej rz¸edu 10

−16

s, w fizyce j¸

adrowej

o kilka rz¸ed´

ow kr´

otsze;

4. momenty p¸edu - wielokrotno´sci sta lej Plancka ¯

h = 1.054 × 10

−34

Js;

5. pr¸edko´s´

c elektronu na pierwszej orbicie (poj¸ecia nie u˙zywane w nowoczes-

nej teorii) - rz¸edu 10

6

m/s;

6. energia elektronu w stanie podstawowym atomu wodoru 2.18 × 10

−18

2

J=13.6 eV, energia spoczynkowa elektronu 0.511 MeV, energia oscylacyjna
drobiny - kilkadziesi¸

at meV, energia rotacji drobiny - dwa rz¸edy mniej.

Pierwszy etap powstawania teorii kwantowej (pierwsze ´

cwier´

cwiecze wieku)

polega l na pr´

obach ratowania fizyki klasycznej przez do l¸

aczanie sztucznych

postulat´

ow kwantowych (postulaty ”ad hoc”) w celu zinterpretowania poszczeg´

olnych

do´swiadcze´

n. Najwa˙zniejsze problemy i wydarzenia z tego okresu to:

1. Promieniowanie cia la doskonale czarnego.

Rozwa˙zmy promieniowanie zamkni¸ete w pudle o doskonale odbijaj¸

acych ´sciankach.

Uk lad jest w r´

ownowadze i jego temperatura wynosi T . Niech ρ(ν) b¸edzie en-

ergi¸

a przypadaj¸

ac¸

a na jednostk¸e obj¸eto´sci i na jednostk¸e cz¸esto´sci ν. Wykres

ρ(ν) tworzy charakterystyczny niesymetryczny ”kapelusz”.

Teoria klasy-

czna odtwarza kszta lt krzywej tylko dla ma lych cz¸esto´sci. Niech sze´scienne
pud lo rozci¸

aga si¸e w ka˙zdym kierunku od 0 do a. Rozwa˙zmy najpierw fal¸e

rozchodz¸

ac¸

a si¸e w jednym wymiarze. Nat¸e˙zenie pola elektrycznego wynosi

E = A cos(kx − ωt), gdzie liczba falowa k =

2π

λ

=

2πν

c

. Po odbiciu od ´scianki

(ze skokiem fazy o π) powstaje fala odbita E = −A cos(−kx−ωt), a w wyniku
ich interferencji - fala stoj¸

aca E = 2A sin kx cos ωt. Na brzegach musi by´

c

w¸eze l, czyli sin ka = 0, czyli k =

n

x

π

a

, gdzie n

x

= 1, 2, 3... . Fali rozchodz¸

acej

si¸e w dowolnym kierunku mo˙zna przypisa´

c wektor falowy k = (k

x

, k

y

, k

z

) i

dla ka˙zdego z trzech kierunk´

ow mo˙zna przeprowadzi´

c podobne rozumowanie.

W pudle mog¸

a si¸e wi¸ec rozchodzi´

c fale takie, ˙ze k

x

=

n

x

π

a

, k

y

=

n

y

π

a

, k

z

=

n

z

π

a

,

n

x,y,z

= 1, 2, 3... .

Na jedn¸

a dozwolon¸

a fal¸e przypada jedna kom´

orka w

przestrzeni wektor´

ow falowych, o obj¸eto´sci (

π

a

)

3

. Ilo´s´

c dozwolonych fal o

ko´

ncu wektora k le˙z¸

acym w warstwie o promieniu k i grubo´sci dk wynosi

1
8

4πk

2

dk

(

π
a

)

3

=

a

3

4πν

2

dν

c

3

= n(ν)dν; (czynnik

1
8

wyst¸epuje, poniewa˙z bierzemy taki

u lamek powierzchni kuli, dla kt´

orego wszystkie wsp´

o lrz¸edne s¸

a dodatnie).

Wynik nale˙zy jeszcze pomno˙zy´

c przez 2 ze wzgl¸edu na 2 mo˙zliwe polaryza-

cje.
Obliczona klasycznie ´srednia energia przypadaj¸

aca na jedn¸

a fal¸e wynosi

E =

R

∞

0

E exp(−βE)dE

R

∞

0

exp(−βE)dE

=

1

β

,

gdzie β =

1

k

B

T

; k

B

jest sta l¸

a Boltzmanna. Poszukiwana g¸esto´s´

c energii wynosi

ρ(ν) =

1

a

3

n(ν)E =

8πν

2

k

B

T

c

3

.

3

Wielko´s´

c ta ro´snie nieograniczenie dla du˙zych cz¸esto´sci (katastrofa ultrafio-

letowa). Planck w 1900 roku zauwa˙zy l, ˙ze wynik zasadniczo si¸e zmienia, je´sli
sztucznie za lo˙zy´

c skwantowanie energii, tzn. E = nhν, gdzie h jest sta l¸

a. Jej

warto´s´

c wyznaczono potem jako h = 6.626 × 10

−34

Js=2π¯

h. Wtedy ´sredni¸

a

energi¸e nale˙zy liczy´

c inaczej

E =

P

∞
n=0

nhν exp(−βnhν)

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

.

Wielko´s´

c ta jest r´

owna

−

d

dβ

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

=

−

d

dβ

ln

∞

X

n=0

exp(−βnhν) = −

d

dβ

ln

1

1 − exp(−βhν)

=

hν

exp(βhν) − 1

.

W konsekwencji

ρ(ν) =

8πhν

3

c

3

[exp(βhν) − 1]

(∗ ∗ ∗).

Rozk lad energii w zale˙zno´sci od d lugo´sci fali otrzymamy jako

˜

ρ(λ) = ρ(

c

λ

)|

dν

dλ

| = ρ(

c

λ

)

c

λ

2

.

Gdy βhν << 1, exp(βhν) ≈ 1 + βhν i otrzymamy wynik klasyczny.

Ca lkowit¸

a energi¸e na jednostk¸e obj¸eto´sci otrzymamy ca lkuj¸

ac

Z

∞

0

ρ(ν)dν =

8π

5

T

4

15h

3

c

3

k

4

B

.

Jest to prawo Stefana-Boltzmanna. Skorzystano z faktu, ˙ze

Z

∞

0

x

3

dx

exp(x) − 1

=

π

4

15

.

Maksimum funkcji lub ˜

ρ(λ) mo˙zna obliczy´

c k lad¸

ac lub ˜

ρ

0

(λ) = 0). Otrzy-

muje si¸e warunek

βhcλ

max

= x

0

= 4.965,

4

gdzie x

0

jest piewiastkiem r´

ownania 1 − exp(−x) =

x

5

. W konsekwencji za-

chodzi relacja λ

max

T = 0.29 cm K. Relacja ta znana jest jako prawo prze-

suni¸e´

c Wiena.

Zdolno´s´

c emisyjna, czyli moc emitowana przez jednostk¸e powierzchni w

dowolnym kierunku przypadaj¸

aca na jednostk¸e cz¸esto´sci, wynosi R(ν) =

c

4

ρ(ν).

2. Zjawisko fotoelektryczne.

Zjawisko fotoelektryczne zewn¸etrzne polega na wybijaniu elektron´

ow z met-

alu pod wp lywem promieniowania elektromagnetycznego. Energia wybitych
elektron´

ow nie zale˙zy od nat¸e˙zenia ´swiat la, zale˙zy natomiast, i to progowo, od

cz¸esto´sci fali. Ilo´s´

c fotoeletron´

ow jest proporcjonalna do nat¸e˙zenia promieniowa-

nia. Einstein w roku 1904 wyja´sni l to zjawisko postuluj¸

ac, ˙ze energia fali

elektromagnetycznej jest skwantowana: E = nhν.

Jeden kwant powoduje wybicie jednego elektronu. Energia kwantu promieniowa-

nia jest zamieniona na pokonanie pracy wyj´scia W i nadanie elektronowi
energii kinetycznej

hν = W +

1

2

mv

2

(∗ ∗ ∗).

3. Ciep lo w la´sciwe cia l sta lych (Einstein 1907, Debye 1914).

Wed lug teorii klasycznej ciep lo w la´sciwe cia l sta lych powinno by´

c niezale˙zne

od temperatury. Zgodnie z zasad¸

a ekwipartycji energii na jeden stopie´

n swo-

body cz¸

astki swobodnej wypada energia

1
2

k

B

T , dla atomu w sieci krystal-

icznej - 2

3
2

k

B

T , gdzie czynnik 2 pochodzi st¸

ad, ˙ze dla oscylatora harmon-

icznego ´srednia energia potencjalna jest r´

owna ´sredniej energii kinetycznej.

Tymczasem w niskich temperaturach ciep lo w la´sciwe zmierza do zera. Daje
si¸e to wyja´sni´

c dzi¸eki dodatkowemu za lo˙zeniu, ˙ze energia drga´

n atom´

ow w

krysztale jest skwantowana.

4. Widma atomowe (Ritz-Rydberg 1908)

Zaobserwowano, ˙ze atomy emituj¸

a lub absorbuj¸

a promieniowanie o ´sci´sle

okre´slonych d lugo´sciach (linie widmowe). Cz¸esto´sci fal dla wodoru spe lniaj¸

a

relacj¸e

ν

nm

= Rc(

1

n

2

−

1

m

2

)(∗ ∗ ∗),

gdzie m i n s¸

a liczbami naturalnymi, a R = 109677.581cm

−1

nazywa si¸e sta l¸

a

Rydberga. Dowodzi to skwantowania energii atomu. Warto´s´

c dozwolonych

energii atomu wodoru wynosi

−Rhc

n

2

.

Linie widmowe uk ladaj¸

a si¸e w serie – dla emisji ci¸

agi linii odpowiadaj¸

acych

5

przej´sciom z r´

o˙znych poziom´

ow m na ustalony poziom n (n = 1 - seria

Lymana, n = 2 - seria Balmera, n = 3 - seria Paschena,...). Po lo˙zenia linii w
serii w funkcji cz¸esto´sci zag¸eszczaj¸

a si¸e ze wzrostem cz¸esto´sci.

Dla bardziej z lo˙zonych atom´

ow relacje te dadz¸

a si¸e uog´

olni´

c

ν

nln

0

l

0

=

Rc

[n − ∆(n, l)]

2

−

Rc

[n

0

− ∆(n

0

, l

0

)]

2

,

gdzie liczby ∆ (tzw.defekty kwantowe) s¸

a pewnymi u lamkami zale˙znymi

przede wszystkim od dodatkowej liczby kwantowej l.

5. Model Bohra (1911)

Bohr zaproponowa l orbitalny model atomu. Elektron porusza si¸e po orbicie
ko lowej, tak ˙ze si la kulombowska gra rol¸e si ly do´srodkowej. Dozwolone s¸

a

tylko takie orbity, dla kt´

orych orbitalny moment p¸edu jest wielokrotno´sci¸

a

sta lej ¯

h =

h

2π

= 1.05459 × 10

−34

Js,

mv

2

r

=

e

2

4π

0

r

2

(∗ ∗ ∗),

mvr = n¯

h(∗ ∗ ∗).

Prowadzi to do wniosku, ˙ze dozwolone s¸

a tylko orbity o promieniu n

2

a, gdzie

a =

4π

0

¯

h

2

me

2

, natomiast dozwolone poziomy energii E

n

= −

e

4

m

32π

2



2
0

¯

h

2

n

2

(∗ ∗ ∗),

gdzie n = 1, 2, 3... . Elektron na orbicie nie promieniuje (niezgodnie z za-
sadami fizyki klasycznej), promieniuje tylko przeskakuj¸

ac z orbity na orbit¸e.

Model ten dobrze t lumaczy obserwacje Rydberga-Ritza. Model Bohra nic
nie m´

owi o energiach dodatnich, nie nadaje si¸e do prostego uog´

olnienia dla

atom´

ow wieloelektronowych.

Model ko lowych orbit uog´

olni l Sommerfeld w latach 1915-16 dopuszczj¸

ac or-

bity eliptyczne.

6. Do´swiadczenie Francka-Hertza (1913).

W do´swiadczeniu tym mierzono nat¸e˙zenie pr¸

adu elektrycznego przep lywaj¸

acego

przez ba´

nk¸e z parami rt¸eci w zale˙zno´sci od napi¸ecia przy´spieszaj¸

acego. Dla

pewnego napi¸ecia U (i jego wielokrotno´sci) nat¸e˙zenie pr¸

adu spada lo. Oz-

nacza to, ˙ze elektrony w zderzeniach z atomami trac¸

a energi¸e (a wi¸ec i

pr¸edko´s´

c) dopiero, gdy przekracza ona pr´

og eU . Energia w atomie musi

by´

c skwantowana: atom nie mo˙ze zaabsorbowa´

c energii mniejszej ni˙z eU .

Elektron mo˙ze w trakcie swojej drogi od katody do anody kilkakrotnie by´

c

6

przy´spieszonym do energii wi¸ekszej ni˙z eU i kilkakrotnie j¸

a traci´

c w zderzeniu

z atomami. P´

o´

zniej stwierdzono, ˙ze energia eU potrzebna jest do przej´scia

atomu rt¸eci do drugiego stanu wzbudzonego, a przej´scie do pierwszego stanu
wzbudzonego jest ma lo prawdopodobne z innych wzgl¸ed´

ow.

7. Efekt Comptona (1923).

Efekt ten polega na rozproszeniu promieniowania elektromagnetycznego na
elektronie. Fala rozproszona pod k¸

atem θ ma d lugo´s´

c zwi¸ekszon¸

a o ∆λ =

h

mc

(1 − cos θ)(∗ ∗ ∗) (

h

mc

= 0.0243 × 10

−10

m). Efekt ten mo˙zna przewidzie´

c

teoretycznie zak ladaj¸

ac, ˙ze promieniowanie elektromagnetyczne sk lada si¸e

z foton´

ow o energii hν i p¸edzie

hν

c

. Za l´

o˙zmy, ˙ze foton pada wzd lu˙z osi x

na nieruchomy elektron. Po zderzeniu foton jest rozproszony pod k¸

atem

θ wzgl¸edem osi x i ma cz¸esto´s´

c ν

0

. Elektron, maj¸

acy pocz¸

atkowo energi¸e

spoczynkow¸

a mc

2

i zerowy p¸ed, przejmuje p¸ed p, ma energi¸e E i biegnie pod

k¸

atem φ wzgl¸edem osi x. Z powodu zachowania momentu p¸edu ruch jest

p laski (w p laszczy´

znie xy). Zasady zachowania energii oraz obu sk ladowych

p¸edu daj¸

a

mc

2

+ hν = E + hν

0

,

hν

c

=

hν

0

c

cos θ + p cos φ,

0 =

hν

0

c

sin θ − p sin φ,

E

2

= p

2

c

2

+ m

2

c

4

.

Rozwi¸

azuj¸

ac powy˙zszy uk lad r´

owna´

n i wprowadzaj¸

ac d lugo´s´

c fali λ =

c

ν

otrzymujemy cytowany wy˙zej wz´

or na przyrost d lugo´sci fali. Efekt jest wa˙zny

dla fal kr´

otkich, dla kt´

orych przyrost d lugo´sci nie jest o wiele rz¸ed´

ow mniejszy

ni˙z d lugo´s´

c.

Skuteczno´s´

c takiego opisu jest kolejnym dowodem korpuskularnej natury

promieniowania elektromagnetycznego oraz kwantyzacji jego energii i p¸edu.

8. Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha (1922). W do´swiadczeniu tym prze-

puszczano wi¸

azk¸e atom´

ow srebra przez niejednorodne pole magnetyczne.

Wi¸

azka rozszczepi la si¸e na dwie wi¸

azki sk ladowe. Liczba tych wi¸

azek mo˙ze

by´

c wyja´sniona tylko tak, ˙ze elektrony posiadaj¸

a spin, czyli wewn¸etrzny (nie

zwi¸

azany z ruchem) moment p¸edu. Jest to przyk lad wielko´sci fizycznej nie

maj¸

acej analogii klasycznej. Problem ten b¸edzie om´

owiony szerzej.

7

9. Hipoteza de Broglie’a (1923). De Broglie postulowa l, aby z ka˙zd¸

a

cz¸

astk¸

a o p¸edzie p zwi¸

aza´

c fal¸e o d lugo´sci λ =

h

p

. By l to wa˙zny krok koncep-

cyjny w kierunku nowoczesnej teorii kwantowej opieraj¸

acej si¸e na poj¸eciu fal

materii.

10.

Do´swiadczenie Davisona-Germera (1927).

W do´swiadczeniu tym

wi¸

azka elektron´

ow ulega la ugi¸eciu na sieci krystalicznej, analogicznie do promieni

R¨

ontgena. R´

o˙znica dr´

og elektron´

ow (lub promieni) odbitych od dw´

och warstw

atom´

ow odleg lych o d, i padaj¸

acych pod k¸

atem θ (mierzonym wyj¸

atkowo od

p laszczyzny kryszta lu, a nie od prostopad lej) wynosi 2d sin θ. W zale˙zno´sci
od k¸

ata, a wi¸ec od r´

o˙znicy dr´

og, obserwuje si¸e pr¸

a˙zki dyfrakcyjne.

Jest

to wyra´

zny dow´

od falowej natury cz¸

astek, tak˙ze tych o niezerowej masie

spoczynkowej.

Oko lo roku 1926 dzi¸eki pracom Heisenberga, Schr¨

odingera, Diraca, Pauliego,

Borna, Bohra, Wignera i wielu innych stworzono now¸

a, kompletn¸

a, sp´

ojn¸

a

teori¸e.

2

Postulaty mechaniki kwantowej

Zasady mechaniki kwantowej mo˙zna uj¸

a´

c w czterech postulatach. W ko´

ncowej

partii wyk ladu zostan¸

a one nieco uog´

olnione i uzupe lnione pi¸

atym, dodatkowym.

Postulat´

ow tych nie mo˙zna wyprowadzi´

c z jakich´s naturalnych za lo˙ze´

n; nale˙zy

je przyj¸

a´

c jako zgadni¸ete i potwierdzone przez zgodno´s´

c z do´swiadczeniem i

wewn¸etrzn¸

a sp´

ojno´s´

c.

Postulat I: Stan cz¸

astki jest w pe lni opisany funkcj¸

a falow¸

a.

Funkcja ta oznaczana ψ = ψ(r, t) jest zespolon¸

a funkcj¸

a rzeczywistych zmien-

nych: trzech wsp´

o lrz¸ednych po lo˙zenia r=(x,y,z) (zamiast strza lki pogrubiona

litera) i czasu t. Symbol r oznacza d lugo´s´

c wektora r, tzn. r = |r|.

Interpretacja probabilistyczna funkcji (Borna) m´

owi, ˙ze |ψ(r, t)|

2

jest

g¸esto´sci¸

a prawdopodobie´

nstwa znalezienia cz¸

astki w punkcie r w chwili t,

czyli

Z

V

0

|ψ(r, t)|

2

d

3

r(∗ ∗ ∗)

jest prawdopodobie´

nstwem znalezienia cz¸

astki w chwili t w obj¸eto´sci V

0

;

d

3

r = dxdydz. W zwi¸

azku z tym funkcja powinna by´

c unormowana, tzn.

Z

V =R

3

|ψ(r, t)|

2

d

3

r = 1(∗ ∗ ∗)

8

(jest to prawdopodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki gdziekolwiek, czyli pewno´s´

c).

Dalej V b¸edzie oznacza´

c R

3

.

Je´sli funkcja ψ nie jest unormowana, lecz jest normowalna, tzn.

Z

V

|ψ(r, t)|

2

d

3

r = M < ∞,

to mo˙zna j¸

a unormowa´

c, czyli przej´s´

c do funkcji φ = M

−

1
2

ψ, kt´

ora jest ju˙z

unormowana.

Dla modeli jednowymiarowych zmienn¸

a r zast¸epuje po prostu x, a ca lka

normalizacyjna jest jednowymiarowa (od −∞ do ∞).

Funkcja falowa okre´slona jest z dok ladno´sci¸

a do czynnika fazowego, tzn.

funkcje ψ i exp[iα]ψ, gdzie α jest dowoln¸

a sta l¸

a rzeczywist¸

a, opisuj¸

a ten sam

stan.

Prawdopodobie´

nstwa otrzymania poszczeg´

olnych wynik´

ow pomiar´

ow wielko´sci

fizycznych innych ni˙z po lo˙zenie okre´sli postulat III.

Funkcje mo˙zna mno˙zy´

c przez liczby zespolone i dodawa´

c. Zbi´

or funkcji

falowych tworzy przestrze´

n wektorow¸

a ze wzgl¸edu na te operacje. Obowi¸

azuje

zasada superpozycji, kt´

ora m´

owi, ˙ze je´sli stan mo˙ze by´

c opisany funkcjami

ψ i φ, to mo˙ze by´

c te˙z opisany funkcj¸

a ψ = c

1

ψ + c

2

φ, gdzie c

1,2

s¸

a liczbami

zespolonymi.

Funkcje mo˙zna mno˙zy´

c skalarnie. Iloczyn skalarny dw´

och funkcji ψ oraz

φ jest liczb¸

a

(ψ, φ) =

Z

V

d

3

rψ

∗

(r)φ(r)(∗ ∗ ∗),

gdzie

∗

oznacza sprz¸e˙zenie zespolone. Normalizacja oznacza wi¸ec, ˙ze (ψ, ψ) =

1. D lugo´s´

c wektora ψ jest to

q

(ψ, ψ). Funkcje, kt´

orych iloczyn skalarny

wynosi 0, nazywamy ortogonalnymi.

Funkcje mo˙zna rozwija´

c w bazach. Najwygodniej, gdy baza {ψ

n

} jest

ortonormalna, tzn.(ψ

n

, ψ

s

) = δ

ns

, gdzie δ

ns

= 1 dla n = s i δ

ns

= 0 dla n 6= s

(δ Kroneckera). Je´sli wektory bazowe ψ

n

, n=1,2,... nie s¸

a ortogonalne, to

mo˙zna je zortogonalizowa´

c metod¸

a Schmidta. Polega ona na zbudowaniu

nowej, ortogonalnej bazy {φ

s

}

φ

1

= ψ

1

,

φ

n

= ψ

n

−

n−1

X

j=1

a

nj

φ

j

,

9

gdzie a

nj

= (φ

j

, ψ

n

)/(φ

j

, φ

j

). Konstrukcja polega na tym, ˙ze ka˙zdy nast¸epny

wektor jest ortogonalny do skonstruowanych poprzednio.

Rozwini¸ecie oznacza, ˙ze

ψ =

X

n

c

n

ψ

n

(∗ ∗ ∗).

Dla bazy ortogonalnej oznacza to, ˙ze c

n

s¸

a rzutami wektora ψ na kierunki

ψ

n

, czyli c

n

= (ψ

n

, ψ)(∗ ∗ ∗).

Przyk ladami baz ortogonalnych (w jednym wymiarze) s¸

a funkcje

ψ

n

(x) = (2l)

−

1
2

exp[i

nπx

l

], n = 0, ±1, ±2...

(baza Fourierowska na odcinku (−l, l) ),

P

l

(x) =

1

2

l

l!

d

l

dx

l

(x

2

− 1)

l

(wielomiany Legendre’a na odcinku (−1, 1) ).

Poj¸ecie ortonormalnych baz mo˙zna uog´

olni´

c dla przypadku uk lad´

ow funkcji

nieprzeliczalnych (numerowanych liczbami rzeczywistymi). Sumy nale˙zy wt-
edy zast¸

api´

c ca lkami, a delt¸e-Kroneckera - delt¸

a Diraca. Ta ostatnia jest

uog´

olnion¸

a funkcj¸

a, tak¸

a ˙ze (***)

δ(x) = 0, dla x 6= 0

δ(0) = ∞,

ale

Z

∞

−∞

δ(x)dx = 1.

Oznacza to, ˙ze

Z

∞

−∞

f (x)δ(x)dx = f (0)(∗ ∗ ∗).

Powy˙zsza w lasno´s´

c przys luguje ca lce po dowolnym przedziale zawieraj¸

acym

zero, tzn.

Z

b

a

f (x)δ(x)dx = f (0),

gdy a < 0 < b. Badaj¸

ac zachowanie si¸e delty Diraca pod ca lk¸

a z dowoln¸

a

regularn¸

a funkcj¸

a f mo˙zna pokaza´

c, ˙ze

Z

∞

−∞

f (x)δ(x − a)dx = f (a),

10

δ(αx) =

1

|α|

δ(x)

,

δ(F (x)) =

X

j

1

|F

0

(x

j

|

δ(x − x

j

), gdzie F (x

j

) = 0.

Je´sli funkcje ψ

k

stanowi¸

a baz¸e nieprzeliczaln¸

a unormowan¸

a do delty Diraca,

to rozwini¸ecie w bazie ma posta´

c

ψ(r) =

Z

∞

−∞

dkc

k

ψ

k

(r),

gdzie

c

k

=

Z

V

d

3

rψ

∗

k

(r)ψ(r).

Przyk ladem bazy nieprzeliczalnej (w jednym wymiarze) jest zbi´

or funkcji

φ

k

(x) = (2π)

−

1
2

exp(ikx),

tzn.

(φ

k

0

, φ

k

) =

1

2π

Z

∞

−∞

exp[i(k − k

0

)x]dx = δ(k − k

0

).

Rozwini¸ecie w tej bazie nazywa si¸e transformat¸

a Fouriera

ψ(x) = (2π)

−

1
2

Z

∞

−∞

dkg(k) exp(ikx)(∗ ∗ ∗),

gdzie

g(k) = (2π)

−

1
2

Z

∞

−∞

dx exp(−ikx)ψ(x)(∗ ∗ ∗).

Postulat II: Wielko´sci fizyczne s¸

a w mechanice kwantowej reprezentowane

przez pewne operatory (hermitowskie, posiadaj¸

ace bazowe uk lady funkcji

w lasnych).
Operator A jest to ”przepis” pozwalaj¸

acy ka˙zdej funkcji przyporz¸

adkowa´

c

pewn¸

a funkcj¸e,tzn. dla ka˙zdej funkcji ψ istnieje dok ladnie jedna funkcja φ =

A(ψ) ≡ Aψ; (w pewnych sytuacjach wystarczy, ˙ze okre´slone jest dzia lanie
operatora nie na wszystkie funkcje, lecz na funkcje z pewnego zbioru g¸estego).

Wsp´

o lrz¸ednym (x, y, z) po lo˙zenia odpowiadaj¸

a operatory (ˆ

x, ˆ

y, ˆ

z) mno˙zenia

przez odpowiedni¸

a wsp´

o lrz¸edn¸

a, tzn.

ˆ

xψ = xψ,

itd.(∗ ∗ ∗)

11

Sk ladowym p¸edu (p

x

, p

y

, p

z

) odpowiadaj¸

a operatory r´

o˙zniczkowe ( ˆ

p

x

, ˆ

p

y

, ˆ

p

z

)

ˆ

p

x

ψ = −i¯

h

∂ψ

∂x

, itd.(∗ ∗ ∗)

Zachowane s¸

a klasyczne zwi¸

azki mi¸edzy wielko´sciami, np.

- operator momentu p¸edu ˆ

L = ˆ

r × ˆ

p, czyli ˆ

L

x

= ˆ

y ˆ

p

z

− ˆ

z ˆ

p

y

(∗ ∗ ∗), (mo˙zna

przestawi´

c cyklicznie indeksy);

- operator kwadratu momentu p¸edu ˆ

L

2

= ˆ

L

x

2

+ ˆ

L

y

2

+ ˆ

L

z

2

(***);

- operator energii kinetycznej ˆ

T =

1

2m

( ˆ

p

x

2

+ ˆ

p

y

2

+ ˆ

p

z

2

) = −

¯

h

2

2m

∇

2

(***);

- operator energii potencjalnej ˆ

V = V (ˆ

r), czyli mno˙zenie przez funkcj¸e

V (***);
-operator energii ca lkowitej (operator Hamiltona, hamiltonian) ˆ

H = ˆ

T + ˆ

V =

−

¯

h

2

2m

∇

2

+ V (∗ ∗ ∗).

(dalej ”daszek” b¸edzie czasem opuszczany).
Wszystkie te operatory s¸

a liniowe, tzn. dla dowolnych funkcji ψ i φ oraz

dla dowolnych liczb zespolonych λ i µ

A(λψ + µφ) = λAψ + µAφ.

Operatory mo˙zna dodawa´

c, mno˙zy´

c przez liczb¸e oraz mno˙zy´

c przez siebie

(sk lada´

c), z czego zrobiono ju˙z u˙zytek konstruuj¸

ac powy˙zsze przyk lady. Og´

olnie

mo˙zna napisa´

c dla dowolnych ψ i dowolnych liczb zespolonych λ

C = A + B, tzn. Cψ = Aψ + Bψ
C = λA, tzn. Cψ = λ(Aψ)
C = AB, tzn. Cψ = A(Bψ)
Na og´

o l wynik dzia lania iloczynu zale˙zy od kolejno´sci, tzn.

AB 6= BA.

Wprowadza si¸e obiekt zwany komutatorem

[A, B] ≡ AB − BA.

M´

owi si¸e, ˙ze operatory komutuj¸

a, je´sli ich komutator jest r´

owny zeru. Przez

bezpo´srednie obliczenia mo˙zna pokaza´

c, ˙ze

[ˆ

x, ˆ

y] = 0 i analogicznie dla innych wsp´

o lrz¸ednych,

[ ˆ

p

x

, ˆ

p

y

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych p¸edu,

[ˆ

x, ˆ

p

x

] = i¯

h(***),

[ˆ

x, ˆ

p

y

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych,

[ ˆ

L

x

, ˆ

L

y

] = i¯

h ˆ

L

z

(mo˙zna przestawi´

c cyklicznie indeksy),

12

[ ˆ

L

z

, ˆ

L

2

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych,

[ ˆ

p

x

, ˆ

T ] = 0, [ ˆ

L

x

, ˆ

T ] = 0, [ ˆ

L

2

, ˆ

T ] = 0, [ˆ

x, ˆ

V ] = 0 i analogicznie dla innych

sk ladowych,
[ ˆ

L

x

, ˆ

V ] = [ ˆ

L

2

, ˆ

V ] = 0 dla V=V(r) (potencja ly sferycznie symetryczne).

Wprowadza si¸e operacj¸e hermitowskiego sprz¸e˙zenia operator´

ow: A

†

jest

operatorem hermitowsko sprz¸e˙zonym do A, je´sli dla dowolnych ψ i φ (ψ, Aφ) =
(A

†

ψ, φ), tzn.

Z

V

d

3

rψ

∗

Aφ =

Z

V

d

3

r(A

†

ψ)

∗

φ.

Mo˙zna pokaza´

c korzystaj¸

ac z definicji, ˙ze

(A + B)

†

= A

†

+ B

†

, (λA)

†

= λ

∗

A

†

, (AB)

†

= B

†

A

†

.

Je´sli A = A

†

, to operator nazywamy hermitowskim lub samosprz¸e˙zonym.

Wymienione wy˙zej operatory wielko´sci fizycznych s¸

a samosprz¸e˙zone. Samo-

sprz¸e˙zono´s´

c dla p¸edu pokazuje si¸e wykonuj¸

ac ca lkowanie przez cz¸e´sci i ko-

rzystaj¸

ac ze faktu, ˙ze normowalna funkcja musi zmierza´

c do zera, gdy kt´

ora´s

ze wsp´

o lrz¸ednych zmierza do ±∞.

R´

ownanie w lasne operatora jest to r´

ownanie

Aψ

n

= α

n

ψ

n

(∗ ∗ ∗).

Liczb¸e α

n

nazywamy warto´sci¸

a w lasn¸

a operatora A, funkcj¸e ψ

n

- nale˙z¸

ac¸

a

do niej funkcj¸

a w lasn¸

a. Je´sli istniej¸

a r´

o˙zne funkcje w lasne (tzn. r´

o˙zni¸

ace

si¸e wi¸ecej ni˙z o sta ly czynnik) to tak¸

a warto´s´

c w lasn¸

a nazywamy zdegen-

erowan¸

a, a ilo´s´

c niezale˙znych funkcji w lasnych do tej samej warto´sci w lasnej

- krotno´sci¸

a degeneracji. Op laca si¸e wtedy zmieni´

c notacj¸e

Aψ

ns

= α

n

ψ

ns

(∗ ∗ ∗),

gdzie pierwszy wska´

znik numeruje warto´sci w lasne, a drugi funkcje w lasne

nale˙z¸

ace do tej samej warto´sci w lasnej.

Je´sli warto´sci w lasne tworz¸

a zbi´

or nieprzeliczalny, to funkcje w lasne s¸

a

normowalne do delty Diraca i trzeba je indeksowa´

c liczbami rzeczywistymi α

Aψ

α

= αψ

α

.

Mo˙zna dowie´s´

c, ˙ze warto´sci w lasne operatora hermitowskiego s¸

a rzeczywiste,

a funkcje w lasne nale˙z¸

ace do r´

o˙znych warto´sci w lasnych s¸

a ortogonalne.

We´

zmy

(ψ

n

, Aψ

s

) = α

s

(ψ

n

, ψ

s

)

13

r´

ownocze´snie powy˙zsze wyra˙zenie jest r´

owne

(Aψ

n

, ψ

s

) = (α

n

ψ

n

, ψ

s

) = α

∗
n

(ψ

n

, ψ

s

).

A wi¸ec (α

∗
n

− α

s

)(ψ

n

, ψ

s

) = 0.

Wstawiaj¸

ac kolejno n = s i n 6= s otrzymujemy dow´

od obu cz¸e´sci twierdzenia.

Dla funkcji w lasnych nale˙z¸

acych do tej samej warto´sci w lasnej ortogonalno´s´

c

nie musi zachodzi´

c; mo˙zna je tak wybra´

c (stosuj¸

ac metod¸e Schmidta), aby

tworzy ly baz¸e ortonormaln¸

a.

Postulat III: Dozwolonymi wynikami pomiar´

ow wielko´sci fizycznej A mog¸

a

by´

c tylko warto´sci w lasne reprezentuj¸

acego j¸

a operatora. Niech uk lad fizy-

czny (cz¸

astka) opisany jest aktualnie pewn¸

a funkcj¸

a ψ. Funkcj¸e t¸e mo˙zna

roz lo˙zy´

c w bazie funkcji w lasnych operatora A, tzn. ψ =

P

n

c

n

ψ

n

, gdzie

Aψ

n

= α

n

ψ

n

. Liczby |c

n

|

2

s¸

a prawdopodobie´

nstwami otrzymania w wyniku

pomiaru poszczeg´

olnych warto´sci α

n

(∗ ∗ ∗).

Jest to kluczowy postulat wi¸

a˙z¸

acy formalizm z do´swiadczeniem. Jego

tre´sci¸

a jest powszechne prawo kwantyzacji i powszechna probabilistyczna in-

terpetacja teorii kwantowej.

Je´sli warto´sciami w lasnymi s¸

a wszystkie liczby rzeczywiste z ca lej prostej

rzeczywistej (lub jej cz¸e´sci), to wielko´s´

c fizyczna nie jest skwantowana. Wt-

edy postulat nale˙zy nieco zmodyfikowa´

c. Rozk lad w bazie ma posta´

c

ψ(r) =

Z

∞

−∞

dαc

α

ψ

α

(r)(∗ ∗ ∗),

a |c

α

|

2

jest g¸esto´sci¸

a prawdopodobie´

nstwa dla wynik´

ow pomiaru, tzn.

Z

α

2

α

1

dα|c

α

|

2

jest prawdopodobie´

nstwem, ˙ze wynik pomiaru znajdzie si¸e w przedziale (α

1

, α

2

)(∗∗

∗).

W wyniku pomiaru, gdy realizuje si¸e jedna z wielu potencjalnych mo˙zliwo´sci

i otrzymujemy w wyniku liczb¸e np.

α

1

, uk lad przechodzi natychmiast do

odpowiedniego stanu w lasnego ψ

1

. Wynik nast¸epnego pomiaru wykonanego

natychmiast po poprzednim jest ju˙z przes¸

adzony i wynosi α

1

.

Znajomo´s´

c rozk ladu prawdopodobie´

nstwa jest idea lem, ale cz¸esto charak-

teryzuje si¸e go cz¸e´sciowo podaj¸

ac warto´s´

c ´sredni¸

a i wariancj¸e.

Warto´sci

14

´srednie dla przypadk´

ow dyskretnego i ci¸

ag lego wynosz¸

a

A =

X

n

α

n

|c

n

|

2

(∗ ∗ ∗)

lub

A =

Z

∞

−∞

dα|c

α

|

2

α(∗ ∗ ∗).

W obu przypadkach mo˙zna napisa´

c

A =

Z

V

d

3

rψ

∗

Aψ(∗ ∗ ∗).

R´

ownowa˙zno´s´

c obu powy˙zszych wzor´

ow mo˙zna wykaza´

c podstawiaj¸

ac do

drugiego rozwini¸ecia funkcji ψ w bazie i korzystaj¸

ac z r´

ownania w lasnego i

ortonormalno´sci funkcji w lasnych.

Wariancja rozk ladu jest to z definicji

W (A) = (A − A)

2

(∗ ∗ ∗).

´

Srednie odchylenie kwadratowe jest pierwiastkiem z wariancji

∆A =

q

W (A).

Zerowa wariancja oznacza brak rozrzutu, czyli pewno´s´

c otrzymania okre´slonego

wyniku pomiaru

W (A) = (ψ, [A − A]

2

ψ) = ([A − A]ψ, [A − A]ψ).

Jest to kwadrat d lugo´sci wektora [A−A]ψ. Jest ona r´

owna zeru wtedy i tylko

wtedy, gdy wektor ten jest zerowy, tzn. Aψ = Aψ. Innymi s lowami oznacza
to, ˙ze w rozwini¸eciu na funkcje w lasne tylko jeden wyraz jest niezerowy (c

m

=

1), a inne c

n

si¸e zeruj¸

a (dla n 6= m).

Wa˙znym przyk ladem jest paczka (funkcja) gaussowska

ψ(x) = (2π)

−

1
4

σ

−

1
2

exp[−

(x − a)

2

4σ

2

+ ikx].

Warto´s´

c ´srednia po lo˙zenia wynosi

x =

Z

∞

−∞

(2π)

−

1
2

σ

−1

exp[−

(x − a)

2

2σ

2

]xdx = a,

15

a wariancja

W (x) =

Z

∞

−∞

(2π)

−

1
2

σ

−1

exp[−

(x − a)

2

2σ

2

](x − a)

2

dx = σ

2

.

Mo˙zna tak˙ze obliczy´

c analitycznie rozk lad p¸ed´

ow. Funkcje w lasne p¸edu

ψ

p

(x) spe lniaj¸

a r´

ownanie

−i¯

h

d

dx

ψ

p

(x) = pψ

p

(x).

R´

ownanie to daje si¸e rozwi¸

aza´

c przez rozdzielenie zmiennych i funkcja po

unormowaniu do delty Diraca ma posta´

c

ψ

p

(x) = (2π¯

h)

−

1
2

exp(

ipx

¯

h

)(∗ ∗ ∗).

Amplituda rozk ladu p¸ed´

ow ma posta´

c

g(p) =

Z

∞

−∞

dx(2π¯

h)

−

1
2

exp(

−ipx

¯

h

)ψ(x).

Jest to z dok ladno´sci¸

a do wyboru jednostek transformata Fouriera

Dla paczki gaussowskiej po obliczeniu ca lki (na podstawie tablic) otrzy-

muje si¸e

|g(p)|

2

= (2π)

−

1
2

(

¯

h

2σ

)

−1

exp[

−(p − ¯

hk)

2

2(

¯

h

2σ

)

2

],

czyli otrzymujemy rozk lad Gaussa z centrum w ¯

hk i o szeroko´sci

¯

h

2σ

. W spos´

ob

konieczny precyzyjnej znajomo´sci po lo˙zenia (ma la warto´s´

c σ) odpowiada

nieprecyzyjna znajomo´s´

c p¸edu (du˙za warto´s´

c

¯

h

2σ

) i odwrotnie.

Na mo˙zliwo´s´

c r´

ownoczesnego pomiaru dwu wielko´sci fizycznych A i B

istnieje ograniczenie: zasada nieoznaczono´sci (nieokre´slono´sci, niepewno´sci)
Heisenberga. M´

owi ona, ˙ze

W (A)W (B) ≥

1

4

|(ψ, [A, B]ψ)|

2

(∗ ∗ ∗).

Dow´

od opiera si¸e na nier´

owno´sci Schwarza

(φ, φ)(χ, χ) ≥ |(φ, χ)|

2

.

16

Nier´

owno´s´

c t¸e otrzymuje si¸e korzystajcac z tego, ˙ze (φ + λχ, φ + λχ) ≥ 0 dla

dowolnych funkcji φ i χ oraz liczby λ = −(χ, φ)/(χ, χ). W nier´

owno´sci tej

nale˙zy podstawi´

c φ = (A − A)ψ oraz χ = (B − B)ψ.

W (A)W (B) = (ψ, [A − A]

2

ψ)(ψ, [B − B]

2

ψ) =

([A − A]ψ, [A − A]ψ) ([B − B]ψ, [B − B]ψ) ≥ |([A − A]ψ, [B − B]ψ)|

2

=

|(ψ, [A − A][B − B]ψ)|

2

=

1

4

|(ψ, {[A−A][B−B]+[B−B][A−A]}ψ)+(ψ, {[A−A][B−B]−[B−B][A−A]}ψ)|

2

≥

1

4

|(ψ, [A, B]ψ)|

2

,

gdzie skorzystano z faktu, ˙ze pierwszy z iloczyn´

ow skalarnych wewn¸

atrz

warto´sci bezwzgl¸ednej jest liczb¸

a rzeczywist¸

a, drugi - urojon¸

a, ˙ze warto´s´

c

bezwzgl¸edna z liczby zesplonej jest nie mniejsza od warto´sci bezwzgl¸ednej jej
cz¸e´sci urojonej oraz ˙ze operator w drugim iloczynie skalarnym jest po prostu
komutatorem.

Dla po lo˙zenia i p¸edu otrzymujemy w szczeg´

olno´sci [x, p

x

] = i¯

h i dalej

W (x)W (p) ≥

¯

h

2

4

, albo, po wzi¸eciu pierwiastka, ∆x∆p

x

≥

¯

h

2

. Wida´

c, ˙ze dla

funkcji Gaussowskiej realizuje si¸e r´

owno´s´

c.

Je´sli [A, B] = 0, to nie ma ogranicze´

n na dok ladno´s´

c jednoczesnego po-

miaru, tzn. mo˙zna tak przygotowa´

c uk lad, ˙ze wynik pomiaru obu wielko´sci

b¸edzie przes¸

adzony.

Inaczej mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze komutuj¸

ace operatory

maj¸

a wsp´

olny bazowy uk lad funkcji w lasnych.

Istnieje tak˙ze zasada nieoznaczono´sci dla czasu i energii

∆E∆t ≥ ¯

h.

Nie mo˙ze ona jednak by´

c uwa˙zana za szczeg´

olny przyk lad relacji przytoczonej

wy˙zej, gdy˙z czas nie jest tu wielko´sci¸

a fizyczn¸

a: nie ma operatora czasu. Sens

tej zasady jest taki, ˙ze przy dwu kolejnych pomiarach energii wykonanych w
bardzo kr´

otkim odst¸epie czasu ∆t mo˙zna dosta´

c wyniki r´

o˙zni¸

ace si¸e o ∆E.

Przy energii spoczynkowej elektronu mc

2

= 0.511 MeV oznacza to mo˙zliwo´s´

c

pojawiania si¸e par elektron-pozytron ˙zyj¸

acych kr´

ocej ni˙z 10

−21

s.

17

Postulat IV: Ewolucja uk ladu kwantowego (cz¸

astki), gdy nie dokonuje si¸e

pomiaru, jest opisana r´

ownaniem Schr¨

odingera zale˙znym od czasu:

i¯

h

∂ψ

∂t

= Hψ(∗ ∗ ∗),

gdzie H jest operatorem energii. Jest to fundamentalne r´

ownanie mechaniki

kwantowej. Dla cz¸

astki o masie m w polu o potencjale V (r) ma wi¸ec posta´

c

i¯

h

∂

∂t

ψ(r, t) =

−¯

h

2

2m

∇

2

ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t)(∗ ∗ ∗).

Mo˙zna pokaza´

c, ˙ze przy sensownych za lo˙zeniach dotycz¸

acych potencja lu V,

r´

ownanie posiada jednoznaczne rozwi¸

azanie dla okre´slonych warunk´

ow pocz¸

atkowych

ψ(r, t = 0) = f (r).

Wa˙zn¸

a klas¸e rozwi¸

aza´

n tworz¸

a rozwi¸

azania stacjonarne, istniej¸

ace, gdy

potencja l V = V (r), tzn. nie zale˙zy od czasu. Wtedy rozwi¸

azania mo˙zna

szuka´

c w postaci iloczynu funkcji zale˙znej tylko od zmiennych przestrzennych

i funkcji zale˙znej tylko od czasu

ψ(r, t) = φ(r)χ(t).

Po podstawieniu do r´

ownania Schr¨

odingera otrzymuje si¸e

i¯

hφ(r)

dχ(t)

dt

= χ(t)Hφ(r),

czyli

i¯

h

1

χ(t)

dχ(t)

dt

=

1

φ(r)

Hφ(r).

Lewa strona powy˙zszego r´

ownania zale˙zy tylko od czasu, prawa tylko od

zmiennych przestrzennych (tu korzysta si¸e z za lo˙zenia o niezale˙zno´sci hamil-
tonianu od czasu). Oznacza to, ˙ze obie strony musz¸

a by´

c r´

owna sta lej E

n

.

Rozwi¸

azanie r´

ownania dla χ daje

χ(t) = χ

n

(t) = exp(

−iE

n

t

¯

h

),

natomiast φ = φ

n

musi spe lnia´

c r´

ownanie w lasne dla H, zwane r´

ownaniem

Schr¨

odingera niezale˙znym od czasu

Hφ

n

= E

n

φ

n

,

18

gdzie wprowadzono indeks n numeruj¸

acy rozwi¸

azania w lasne. Dla ci¸

ag lego

widma warto´sci w lasnych energii nale˙zy ten indeks zast¸

api´

c ci¸

ag lym indeksem

E.

Rozwi¸

azania stacjonarne opisuj¸

a uk lady nie zmieniaj¸

ace si¸e w czasie,

tzn. takie ˙ze wyniki wszystkich mo˙zliwych pomiar´

ow nie zale˙z¸

a od czasu.

Rzeczywi´scie, sta ly czynnik fazowy χ(t), przy czym |χ(t)| = 1, nie zmieni
warto´sci bezwzgl¸ednych wsp´

o lczynnik´

ow rozwini¸enia w ˙zadnej bazie. Uk lad

w lo˙zony w stan stacjonarny ”˙zyje” w nim dowolnie d lugo i zawsze ”wygl¸

ada”

tak samo.

Rozwi¸

azania niestacjonarne ψ(r, t) mog¸

a zawsze by´

c przedstawione jako

superpozycje (paczki) rozwi¸

aza´

n stacjonarnych, tzn.

ψ(r, t) =

X

n

c

n

φ

n

(r) exp(

−iE

n

t

¯

h

),

lub, dla widma ci¸

ag lego

ψ(r, t) =

Z

dEc

E

φ

E

(r) exp(−

iEt

¯

h

),

gdzie zachodzi Hφ

n

= E

n

φ

n

lub Hφ

E

= Eφ

E

.

Z r´

ownania Schr¨

odingera mo˙zna otrzyma´

c tzw. r´

ownanie ci¸

ag lo´sci. Je´sli

wprowadzi´

c g¸esto´s´

c prawdopodobie´

nstwa ρ(r, t) = ψ

∗

(r, t)ψ(r, t), obliczy´

c

pochodn¸

a tego iloczynu wzgl¸edem czasu i skorzysta´

c z r´

ownania Schr¨

odingera

dla funkcji ψ oraz z r´

ownania sprz¸e˙zonego do niego dla funkcji ψ

∗

otrzymuje

si¸e

∂ρ(r, t)

∂t

+ ∇j(r, t) = 0,

gdzie j jest wektorem g¸esto´sci pr¸

adu

j(r, t) =

−i¯

h

2m

[ψ

∗

∇ψ − (∇ψ

∗

)ψ].

Je´sli r´

ownanie to sca lkowa´

c po dowolnej obj¸eto´sci V

0

i zamieni´

c ca lk¸e obj¸eto´sciow¸

a

z ∇j na ca lk¸e powierzchniow¸

a z j po powierzchni zamkni¸etej Σ

0

otaczaj¸

acej

obszar V

0

, otrzymuje si¸e

d

dt

Z

v

0

ρd

3

r = −

I

Σ

0

jdσ.

19

Sens tej r´

owno´sci jest taki, ˙ze zmiana prawdopodobie´

nstwa znalezienia cz¸

astki

w obj¸eto´sci V

0

mo˙ze nast¸

api´

c tylko w wyniku przep lywu cz¸

astki przez powierzchni¸e.

Wektor g¸esto´sci pr¸

adu wyznacza wi¸ec prawdopodobie´

nstwo przep lywu cz¸

astki

przez jednostk¸e powierzchni na jednostk¸e czasu, prostopadle do powierzchni.

Wa˙zne jest tak˙ze wyznaczenie, jak zmienia si¸e w czasie warto´s´

c ´srednia

dowolnej wielko´sci fizycznej A, tzn. obliczenie

d

dt

A =

d

dt

(ψ, Aψ) = (

dψ

dt

, Aψ) + (ψ, A

dψ

dt

) =

(

1

i¯

h

Hψ, Aψ) + (ψ, A

1

i¯

h

Hψ) =

1

i¯

h

(ψ, [A, H]ψ).

To czy wielko´s´

c fizyczna jest zachowana, zale˙zy wi¸ec od tego, czy jej operator

komutuje z hamiltonianem.

W szczeg´

olno´sci dla A = ˆ

x i A = ˆ

p

x

mamy relacje komutacji [ˆ

x, H] =

i¯

h

m

ˆ

p

x

oraz [ ˆ

p

x

, V ] = −i¯

h

∂V

∂x

i w konsekwencji

d

dt

x =

1

m

p

x

d

dt

p

x

= −

∂V

∂x

.

Relacje powy˙zsze stanowi¸

a tre´s´

c twierdzenia Ehrenfesta, kt´

ore m´

owi, ˙ze r´

ownania

kwantowe dla ´srednich s¸

a analogonami r´

owna´

n klasycznych. Rzeczywi´scie,

pierwsze z nich przypomina zwi¸

azek mi¸edzy p¸edem i pr¸edko´sci¸

a, a drugie -

r´

ownanie Newtona ruchu:

d

dt

p

x

= F

x

= −

∂V

∂x

.

R´

ownanie ci¸

ag lo´sci i twierdzenie Ehrenfesta uprawomocniaj¸

a interpre-

tacj¸e cz¸

astki jako rozmytej struktury, w pewnym sensie ”chmury”, g¸estej tam,

gdzie jest du˙ze prawdopodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki, a rozrzedzonej tam,

gdzie to prawdopodobie´

nstwo jest ma le. ´

Srodek chmury porusza si¸e ruchem

analogicznym do ruchu cz¸

astki klasycznej. Analogia nie jest pe lna, gdy˙z w

og´

olno´sci

∂V (x)

∂x)

6=

∂V (x

∂x

; tak jest np. dla cz¸

astki swobodnej i dla oscylatora

harmonicznego. Analogia psuje si¸e te˙z dla cz¸

astki s labo zlokalizowanej, gdy

na przyk lad chmura sk lada si¸e z dwu cz¸e´sci: wtedy ´srodek chmury (´srednie
po lo˙zenie) mo˙ze wypada´

c zupe lnie gdzie indziej ni˙z jej najg¸estsze miejsce (na-

jbardziej prawdopodobne miejsce znalezienia cz¸

astki). Sama chmura zmienia

w czasie kszta lt, zachowuj¸

ac si¸e podobnie do klasycznego p lynu. Pomiar

powoduje natychmiastow¸

a zmian¸e kszta ltu chmury.

20

3

Cz¸

astka swobodna

Dla cz¸

astki swobodnej w jednym wymiarze hamiltonian ma prost¸

a posta´

c

H =

−¯

h

2

2m

d

2

dx

2

.

Hamiltonian ten komutuje z operatorem p¸edu −i¯

h

d

dx

. Funkcje w lasne p¸edu

do warto´sci w lasnej p maj¸

a posta´

c

ψ

p

(x) = (2π¯

h)

−

1
2

exp(

ipx

¯

h

)

i s¸

a tak˙ze funkcjami w lasnymi energii do warto´sci w lasnej E

p

=

p

2

2m

. Stany

stacjonarne opisane s¸

a wi¸ec funkcjami falowymi

(2π¯

h)

−

1
2

exp(

ipx

¯

h

) exp(

−iE

p

t

¯

h

).

Funkcje te, normowalne do delty Diraca, opisuj¸

a sytuacj¸e idealn¸

a, gdy

znamy dok ladnie p¸ed cz¸

astki p (i jej energi¸e E

p

) i nie posiadamy ˙zadnej

informacji o jej po lo˙zeniu. W praktyce mamy zawsze do czynienia z paczkami
falowymi

ψ(x, t) =

Z

∞

−∞

g(p)ψ

p

(x) exp(−

iE

p

t

¯

h

)dp .

Je´sli g(p) znika poza przedzia lem (p

0

− ∆p, p

0

+ ∆p) i jest na tym odcinku

funkcj¸

a sta l¸

a oraz dodatkowo zrobi si¸e przybli˙zenie

E

p

=

p

2

2m

≈ E

p

0

+

dE

p

dp

|

p=p0

(p − p

0

) =

1

2m

[p

2
0

+ 2p

0

(p − p

0

)],

mo˙zna ca lk¸e wykona´

c analitycznie. Kwadrat warto´sci bezwzgl¸ednej funkcji

jest z dok ladno´sci¸

a do sta lego czynnika r´

owny

sin

2 (x−v

g

t)

¯

h

(x−v

g

t)

2

¯

h

2

,

gdzie v

g

≡

dE

p

dp

|

p=p0

=

p

0

m

. Maksimum paczki porusza si¸e wi¸ec ruchem jednos-

tajnym z pr¸edko´sci¸

a v

g

zwan¸

a pr¸edko´sci¸

a grupow¸

a, sama paczka nie zmienia

kszta ltu.

21

´

Scis ly rachunek, mo˙zliwy na przyk lad dla paczki gaussowskiej, pokazuje,

˙ze r´

ownie˙z kszta lt paczki si¸e zmienia.

Niech funkcja w chwili t=0 ma posta´

c

ψ(x) = (2π)

−

1
4

σ

−

1
2

0

exp[−

(x − a)

2

4σ

2

0

+ ikx].

Mo˙zna j¸

a roz lo˙zy´

c na funkcje w lasne p¸edu

ψ(x) =

Z

∞

−∞

g(p)ψ

p

(x)

(por.przyk lad w dyskusji Postulatu III). Wtedy w dowolnej chwili czasu

ψ(x, t) =

Z

∞

−∞

dpg(p)ψ

p

(x) exp(

−iE

p

t

¯

h

).

Po wykonaniu oblicze´

n (za pomoc¸

a tablic) otrzymujemy g¸esto´s´

c prawdopodobie´

nstwa

znalezienia cz¸

astki w postaci r´

ownie˙z funkcji gaussowskiej

|ψ(x, t)|

2

= (2π)

−

1
2

σ(t)

−1

exp[−

(x − a −

¯

hkt

m

)

2

2σ(t)

2

],

gdzie σ(t)

2

= σ

2

0

+

¯

h

2

t

2

4m

2

σ

2

0

. Maksimum przesuwa si¸e wi¸ec ruchem jednostajnym

z pr¸edko´sci¸

a

¯

hk

m

, a szeroko´s´

c paczki σ(t) wzrasta.

W przypadku tr´

ojwymiarowym uog´

olnienie jest nast¸epuj¸

ace. Operator

energii kinetycznej (i ca lkowitej) ma posta´

c

H = −

¯

h

2

2m

∇

2

.

Operator ten komutuje z wszystkimi trzema sk ladowymi p¸edu. Wsp´

olne

funkcje w lasne tych czterech operator´

ow maj¸

a posta´

c

ψ

p

(r) = ψ

p

x

(x)ψ

p

y

(y)ψ

p

z

(z) =

(2π¯

h)

−

3
2

exp[

i

¯

h

(p

x

x + p

y

y + p

z

z)] = (2π¯

h)

−

3
2

exp(

i

¯

h

pr).

Rozwi¸

azania stacjonarne maj¸

a posta´

c

ψ

p

(r) exp(−

i

¯

h

E

p

t),

22

gdzie E

p

=

p

2

2m

=

1

2m

(p

2
x

+ p

2
y

+ p

2
z

).

Paczka falowa ma posta´

c

ψ(r, t) =

Z

d

3

p g(p)ψ

p

(r) exp(−

i

¯

h

E

p

t).

4

Prostok¸

atne studnie i bariery potencja lu

Rozwa˙zmy jednowymiarowy problem, w kt´

orym energia potencjalna jest

funkcj¸

a odcinkami sta l¸

a

V (x) = V

1

, dla x < 0,

V (x) = V

2

, dla 0 ≤ x ≤ a,

V (x) = V

3

, dla x > a.

Oznacza to, ˙ze klasyczna si la F = −

dV

dx

jest r´

owna zeru we wszystkich

punktach z wyj¸

atkiem x = 0 i x = a. W tych dw´

och punktach si la jest

niesko´

nczona, ale poniewa˙z dzia la tylko w punkcie (albo inaczej przez niesko´

nczenie

kr´

otki czas), mo˙ze spowodowa´

c sko´

nczony przekaz p¸edu. Cz¸

astka w tych

punktach doznaje niesko´

nczenie silnego i niesko´

nczenie kr´

otkiego pchni¸ecia.

Je´sli pchni¸ecie jest w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu, to z klasy-
cznego punktu widzenia albo jest ono do´s´

c silne, aby cz¸

astk¸e zawr´

oci´

c (i

wtedy mamy z pewno´sci¸

a odbicie) albo nie jest do´s´

c silne (i wtedy cz¸

astka z

pewno´sci¸

a kontynuuje ruch ze zmniejszon¸

a pr¸edko´sci¸

a).

W podej´sciu kwantowym nale ˙y rozwi¸

aza´

c r´

ownanie Schr¨

odingera

−¯

h

2

2m

d

2

dx

2

ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x).

Niech indeksy 1, 2, 3 odnosz¸

a si¸e odpowiednio do obszr´

ow 1 (x < 0), 2 (0 ≤

x ≤ a) i 3 (x > a). W ka˙zdym obszarze funkcja falowa spe lnia r´

ownanie

−¯

h

2

2m

d

2

dx

2

ψ

j

(x) + V

j

ψ

j

(x) = Eψ

j

(x),

gdzie j = 1, 2, 3. Og´

olne rozwi¸

azanie ma posta´

c

ψ

j

= A

j

exp(ik

j

x) + B

j

exp(−ik

j

x),

23

gdzie k

j

= [

2m(E−V

j

)

¯

h

2

]

1
2

. Sta le A

j

i B

j

nale˙zy okre´sli´

c dopasowuj¸

ac rozwi¸

azania

do warunk´

ow brzegowych. Funkcja i jej pierwsza pochodna powinny by´

c

ci¸

ag le (dla niesko´

nczonego skoku potencja lu mo˙zna wymusi´

c tylko ci¸

ag lo´s´

c

funkcji). Dla punkt´

ow zszycia funkcji, tzn. x = 0 i x = a otrzymuje si¸e

A

1

+ B

1

= A

2

+ B

2

,

ik

1

(A

1

− B

1

) = ik

2

(A

2

− B

2

),

A

2

exp(ik

2

a) + B

2

exp(−ik

2

a) = A

3

exp(ik

3

a) + B

3

exp(−ik

3

a),

ik

2

A

2

exp(ik

2

a) − ik

2

B

2

exp(−ik

2

a) = ik

3

A

3

exp(ik

3

a) − ik

3

B

3

exp(−ik

3

a).

Studni¸

a nazywa si¸e uk lad taki, ˙ze V

2

< V

1

, V

2

< V

3

.

Cz¸

astka jest

wewn¸

atrz studni, gdy E < V

1

, E < V

3

, E > V

2

. Wtedy k

1

= iq

1

oraz k

3

=

iq

3

s¸

a liczbami urojonymi. W funkcji ψ

1

pojawia si¸e wyraz A

1

exp(−q

1

x),

kt´

orego warto´s´

c bezwzgl¸edna zmierza do ∞ dla x → −∞. Podobnie dla

ψ

3

warto´s´

c bezwzgl¸edna wyrazu B

3

exp(q

3

x) zmierza do ∞ dla x → ∞.

Funkcja mo˙ze opisywa´

c cz¸

astk¸e, tzn. by´

c normowalna w sensie Kroneckera

lub Diraca, tylko gdy te dwa wyrazy usuniemy bior¸

ac A

1

= B

3

= 0. Zostaje

nam uk lad czterech r´

owna´

n liniowych, jednorodnych. Ma on rozwi¸

azania

niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje si¸e wyznacznik uk ladu.

B

1

= A

2

+ B

2

,

−ik

1

B

1

= ik

2

(A

2

− B

2

),

A

2

exp(ik

2

a) + B

2

exp(−ik

2

a) = A

3

exp(ik

3

a),

ik

2

A

2

exp(ik

2

a) − ik

2

B

2

exp(−ik

2

a) = ik

3

A

3

exp(ik

3

a).

Jest to w la´sciwie skomplikowane r´

ownanie na energi¸e E, od kt´

orej zale˙z¸

a

k

1,2,3

. Rozwi¸

azania r´

ownania Schr¨

odingera istniej¸

a wi¸ec tylko dla pewnych

energii: jest kwantyzacja energii. W sko´

nczonych studniach istnieje sko´

nczona

ilo´s´

c rozwi¸

aza´

n, a wi¸ec i dozwolonych poziom´

ow energii. Mo˙ze si¸e zdarzy´

c,

˙ze dozwolonych poziom´

ow w og´

ole brak. Dla studni symetrycznej (tzn. gdy

V

1

= V

3

) zawsze istnieje przynajmniej jeden poziom. Funkcja falowa jest

r´

o˙zna od zera w obszarach 1 i 3 - maleje tam wyk ladniczo przy oddalaniu

si¸e od studni. Istnieje sko´

nczone prawdodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki w

tych obszarach, niedost¸epnych klasycznie (energia ca lkowita by laby wi¸eksza

24

od potencjalnej).

Barier¸

a potencja lu jest zasadniczo uk lad, w kt´

orym V

1

< V

2

, V

3

< V

2

. En-

ergia cz¸

astki E > V

1

, E > V

3

. Rozwa˙za si¸e zar´

owno przypadek E < V

2

(bari-

era klasycznie nieprzepuszczalna) jak i E > V

2

(klasycznie przepuszczalna).

Ten ostatni przypadek obejmuje r´

ownie˙z sytuacj¸e, gdy wyst¸epuje uk lad po-

tencja l´

ow typowy dla studni, lecz cz¸

astka jest nad ni¸

a.

Funkcje w ob-

szarach 1 i 3 s¸

a teraz oscyluj¸

ace, nie ma powodu odrzuca´

c jakichkolwiek

wyraz´

ow ze wzgl¸edu na normalizacj¸e funkcji. Nale˙zy natomiast zinterpre-

towa´

c poszczeg´

olne wyrazy.

Latwo obliczy´

c, ˙ze z fal¸

a postaci C exp(ikx)

wi¸

a˙ze si¸e g¸esto´s´

c pr¸

adu

¯

hk

m

|C|

2

.

Je´sli ´

zr´

od lo cz¸

astek znajduje si¸e z lewej strony bariery czyli w obszarze

1, to fali A

1

exp(ik

1

x) odpowiada g¸esto´s´

c pr¸

adu j

A

1

=

¯

hk

1

m

|A

1

|

2

; jest to

warto´s´

c dodatnia (cz¸

astki poruszaj¸

a si¸e w dodatnim kierunku osi x) i fal¸e

mo˙zna nazwa´

c padaj¸

ac¸

a.

Fali B

1

exp(−ik

1

x) odpowiada ujemna g¸esto´s´

c

pr¸

adu j

B

1

= −

¯

hk

1

m

|B

1

|

2

- jest to fala odbita. Fala A

3

exp(ik

3

x) o dodatniej

g¸esto´sci pr¸

adu j

A

3

=

¯

hk

3

m

|A

3

|

2

jest fal¸

a przepuszczon¸

a. Fala B

3

exp(−ik

3

x)

jest fal¸

a biegn¸

ac¸

a ku barierze z lewej strony; tam nie ma ´

zr´

od la, a fala nie

mia la si¸e od czego odbi´

c: nie powinno jej by´

c, czyli B

3

= 0. Do rozwi¸

azania

pozostaj¸

a wi¸ec cztery r´

ownania liniowe jednorodne z pi¸ecioma niewiadomymi.

Maj¸

a one zawsze rozwi¸

azania niezerowe, nie ma wi¸e kwantyzacji. Istnieje

jednoparametrowa rodzina rozwi¸

aza´

n, za parametr mo˙zna przyj¸

a´

c jedn¸

a z

niewiadomych, np.A

1

, kt´

or¸

a mo˙zna wyznaczy´

c normalizuj¸

ac ca l¸

a funkcj¸e do

delty Diraca.

Liczba

R = |

j

B

1

j

A

1

|

jest prawdopodobie´

nstwem odbicia, natomiast

T = |

j

A

3

j

A

1

|

jest prawdopodobie´

nstwem przepuszczenia.

Teoria gwarantuje zachowanie prawdopodobie´

nstwa, tzn. R + T = 1. Na

og´

o l 0 < R, T < 1, a wi¸ec mamy niezerowe prawdopodobie´

nstwo przej´scia

25

w sytuacji, gdy klasycznie jest to niemo˙zliwe (efekt tunelowy), oraz nieze-
rowe prawdopodobie´

nstwo odbicia, gdy klasycznie z pewno´sci¸

a nast¸

api loby

przej´scie.

5

Oscylator harmoniczny

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny jest to cz¸

astka w polu o energii

potencjalnej V (x) =

1
2

kx

2

, gdzie k jest sta l¸

a spr¸e˙zysto´sci. Klasycznie jest

opisany przez r´

ownanie Newtona

m

d

2

x

dx

2

= −

dV

dx

= −kx,

kt´

orego rozwi¸

azaniem og´

olnym jest funkcja x(t) = A cos(ωt + φ), gdzie ω

2

=

k

m

, natomiast A oraz φ s¸

a sta lymi wyznaczanymi z warunk´

ow pocz¸

atkowych.

W ´swiecie kwantowym oscylatorem ze wzgl¸edu na ruch j¸

ader jest na

przyk lad drobina dwuatomowa.

Bardziej skomplikowane drobiny lub dr-

gaj¸

ac¸

a sie´

c kryszta lu mo˙zna uwa˙za´

c za zespo ly oscylator´

ow harmonicznych

(przybli˙zenie ma lych drga´

n). Kwantowy oscylator harmoniczny jest opisany

r´

ownaniem Schr¨

odingera

−

¯

h

2

2m

d

2

dx

2

ψ(x) +

1

2

kx

2

ψ(x) = Eψ(x)(∗ ∗ ∗).

Po przej´sciu do jednostek bezwymiarowych x = αy, gdzie α

2

= ¯

h(km)

−

1
2

otrzymuje si¸e

−

1

2

d

2

dy

2

φ(y) +

1

2

y

2

φ(y) = φ(y),

gdzie  =

E

¯

hω

, φ(y) = ψ(αx). R´

ownanie to mo˙zna rozwi¸

aza´

c metod¸

a wielo-

mian´

ow. Mo˙zna sprawdzi´

c, ˙ze dla du˙zych |y| ”prawie” dobrym rozwi¸

azaniem

jest funkcja exp(−

1
2

y

2

). Szukamy ´scis lego rozwi¸

azania w postaci f (y) exp(−

1
2

y

2

),

a funkcj¸e f (y) przedstawiamy w postaci szeregu f (y) =

P

∞
j=0

a

j

y

j+s

, przy

czym s jest takie, ˙ze a

0

6= 0. Po podstawieniu do r´

ownania otrzymujemy

r´

owno´s´

c to˙zsamo´sciow¸

a szereg´

ow, co mo˙ze zachodzi´

c tylko wtedy, gdy za-

chodzi r´

owno´s´

c wsp´

o lczynnik´

ow przy wszystkich pot¸egach zmiennej y. Otrzy-

muje si¸e wtedy

s(s − 1)a

0

= 0,

26

a wi¸ec s = 0 lub s = 1,

(s + 1)sa

1

= 0,

(j + s + 2)(j + s + 1)a

j+2

= [2(j + s) − 2 + 1]a

j

.

Z ostatniego wzoru wynika, ˙ze dla du˙zych j stosunek

a

j+2

a

j

∼

2
j

. To jest

zachowanie jak dla funkcji exp(y

2

) i takie rozwi¸

azania nale˙zy odrzuci´

c. Je-

dyn¸

a mo˙zliwo´sci¸

a jest urwanie szeregu, tzn. dla pewnego j

∗

musi zachodzi´

c

2(j

∗

+ s) − 2 + 1 = 0. W ten spos´

ob przerwiemy podszereg o parzystch j.

Podszereg o nieparzystych j musimy zlikwidowa´

c przyjmuj¸

ac a

1

= 0; znikaj¸

a

wtedy wszystkie jego wyrazy. Wprowadzaj¸

ac liczb¸e kwantow¸

a n = j

∗

+ s

mo˙zemy zauwa˙zy´

c, ˙ze n = 0, 1, 2, 3, 4...., a energia jest skwantowana, tzn.

 = n +

1
2

, a

E = E

n

= ¯

hω(n +

1

2

)(∗ ∗ ∗).

Odst¸epy mi¸edzy s¸

asiednimi poziomami energii s¸

a wi¸ec r´

owne i wynosz¸

a ¯

hω.

Energia poziomu podstawowego wynosi

1
2

¯

hω, nie jest wi¸ec r´

owna zeru.

Funkcja falowa f(y) jest wi¸ec wielomianem. Pokazuje si¸e, ˙ze po unor-

mowaniu funkcje falowe maj¸

a posta´

c

φ(y) = φ

n

(y) = π

−

1
4

(2

n

n!)

−

1
2

H

n

(y) exp(−

1

2

y

2

),

gdzie H

n

(y) s¸

a wielomianami Hermite’a

H

n

(y) = (−1)

n

exp(y

2

)

d

n

dy

n

exp(−y

2

).

Unormowana funkcja ψ

n

(x) = α

−

1
2

φ

n

(

x

α

).

Wielomian o indeksie n jest stopnia n. Wielomiany stopnia parzystego

s¸

a funkcjami parzystymi, a stopnia nieparzystego - nieparzystymi. Maj¸

a one

rzeczywiste pierwiastki. Wielomiany te maj¸

a szereg specyficznych w lasno´sci

zebranych w tablicach funkcji specjalnych.

Mo˙zna zaobserwowa´

c, ˙ze dla ma lych n otrzymamy najwi¸eksze prawdopodobie´

nstwo

znalezienia cz¸

astki w pobli˙zu minimum potencja lu (x = 0), a dla du˙zych n

- w pobli˙zu klasycznych punkt´

ow zwrotu (tzn. takich w kt´

orych ca la en-

ergia kinetyczna zosta la zamieniona na potencjaln¸

a). Wed lug klasycznych

praw ruchu cz¸

astka przebywa najd lu˙zej w okolicy punkt´

ow zwrotu, bo tam

ma najmniejsz¸

a pr¸edko´s´

c. Mamy tu przyk lad zasady korespondencji, kt´

ora

27

stwierdza, ˙ze dla du˙zych warto´sci liczb kwantowych zachowania uk lad´

ow

kwantowych przypominaj¸

a zachowania ich klasycznych analogon´

ow.

Oscylator harmoniczny mo˙zna inaczej opisa´

c u˙zywaj¸

ac operator´

ow anihi-

lacji a i kreacji a

†

, gdzie

a = 2

−

1
2

(y +

d

dy

),

a

†

= 2

−

1
2

(y −

d

dy

).

Komutator tych operator´

ow wynosi [a, a

†

] = 1. Hamiltonian daje si¸e zapisa´

c

jako

H = ¯

hω(a

†

a +

1

2

).

Niech φ

ν

b¸ed¸

a funkcjami w lasnymi operatora a

†

a.

a

†

aφ

ν

= νφ

ν

.

Rozpatruj¸

ac wyra˙zenia a

†

aaφ

ν

oraz a

†

aa

†

φ

ν

i korzystaj¸

ac z relacji komutacji

dochodzi si¸e do wniosku, ˙ze aφ

ν

jest funkcj¸

a w lasn¸

a operatora a

†

a do warto´sci

w lasnej ν − 1, a a

†

φ

ν

- do warto´sci w lasnej ν + 1. Z normalizacji funkcji φ

ν

otrzymuje si¸e

aφ

ν

=

√

νφ

ν−1

,

a

†

φ

ν

=

√

ν + 1φ

ν+1

.

Stosuj¸

ac wielokrotnie operator a mo˙zna by skonstruowa´

c stan o dowolnie

ma lej energii - nie istnia lby wi¸ec stan podstawowy, co jest sprzeczne z do´swiadczeniem.
To rekurencyjne post¸epowanie mo˙ze by´

c przerwane, je´sli za lo˙zy´

c, ˙ze dla stanu

podstawowego aφ

0

= 0 (wtedy nie da si¸e utworzy´

c φ

−1

. Warto´sci w lasne op-

eratora a

†

a s¸

a wi¸ec r´

owne ν = n = 0, 1, 2, 3, .... R´

ownanie

aφ

0

= 2

−

1
2

(y +

d

dy

)φ

0

= 0

daje rozwi¸

azanie unormowane

φ

0

(y) = π

−

1
4

exp(−

1

2

y

2

).

28

Funkcje wy˙zszych stan´

ow mo˙zna otrzyma´

c przez wielokrotne zastosowanie

operatora a

†

φ

n+1

=

1

(n + 1)

1
2

1

2

1
2

(y +

d

dy

)φ

n

.

To prowadzi do funkcji opisanych wy˙zej.

6

Teoria momentu p¸

edu

Moment p¸edu L jest tr´

ojk¸

a operator´

ow (L

x

, L

y

, L

z

) spe lniaj¸

acych regu ly ko-

mutacji [L

x

, L

y

] = i¯

hL

z

(i relacje otrzymane przez cykliczne przestawienie

indeks´

ow). R´

ownie˙z [L

x,y,z

, L

2

] = 0. Mo˙zna wi¸ec tak przygotowa´

c uk lad

(cz¸

astk¸e), aby wynik pomiaru L

z

i L

2

by l przewidywalny z pewno´sci¸

a, tzn.

istniej¸

a wsp´

olne funkcje w lasne tych operator´

ow

L

2

ψ

λµ

= ¯

h

2

λ

2

ψ

λµ

,

L

z

ψ

λµ

= ¯

hµψ

λµ

.

Rol¸e pojedynczego indeksu n w og´

olnych wzorach gra para λ, µ.

Wprowadza si¸e operatory L

±

= L

x

±iL

y

; zachodzi L

†
±

= L

∓

. Latwo pokaza´

c,

˙ze spe lniaj¸

a one relacje komutacji [L

±

, L

2

] = 0 oraz [L

±

, L

z

] = ∓¯

hL

±

.

Badanie element´

ow macierzowych

(ψ

λ

0

µ

0

, [L

±

, L

2

]ψ

λµ

)

oraz

(ψ

λ

0

µ

0

, [L

±

, L

z

]ψ

λµ

)

prowadzi do relacji

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

)(λ

02

− λ

2

) = 0

oraz

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

)(µ

0

− µ ∓ 1) = 0.

Oznacza to, ˙ze element macierzowy (ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

) zeruje si¸e, je´sli λ 6= λ

0

lub

µ

0

6= µ ± 1. Funkcj¸e L

±

ψ

λµ

mo˙zna rozwin¸

a´

c w bazie

L

±

ψ

λµ

=

X

λ

0

µ

0

ψ

λ

0

µ

0

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

),

29

ale z powodu zerowania si¸e element´

ow macierzowych ka˙zda z tych sum re-

dukuje si¸e do pojedynczego wyrazu.

L

±

ψ

λµ

= C

±

λµ

ψ

λµ±1

,

gdzie

C

±

λµ

= (ψ

λµ±1

, L

±

ψ

λµ

).

Sta le C

±

λµ

mo˙zna wyznaczy´

c badaj¸

ac element macierzowy

(ψ

λµ

, L

±

L

∓

ψ

λµ

).

Z jednej strony jest on r´

owny |C

∓

λµ

|

2

, a z drugiej, poniewa˙z

L

±

L

∓

= L

2
x

+ L

2
y

± ¯

hL

z

= L

2

− L

2
z

− ¯

hL

z

,

jest on r´

owny

¯

h

2

(λ

2

− µ

2

± µ).

Ostatecznie

L

±

ψ

λµ

= ¯

h

q

λ

2

− µ(µ ± 1)ψ

λµ±1

.

Wydaje si¸e, ˙ze stosuj¸

ac wielokrotnie operatory L

±

mo˙zna zbudowa´

c stany

odpowiadaj¸

ace momentowi p¸edu o okre´slonej d lugo´sci i dowolnie du˙zym lub

dowolnie ma lym rzucie. Tej absurdalnej mo˙zliwo´sci mo˙zna unikn¸

a´

c tylko

wtedy, gdy rekurencja zostanie przerwana, tzn. istniej¸

a µ

1

= µ

min

, oraz

µ

2

= µ

max

, takie ˙ze

λ

2

− µ

1

(µ

1

− 1) = 0,

λ

2

− µ

2

(µ

2

+ 1) = 0;

dodatkowo od warto´sci minimalnej do warto´sci maksymalnej mo˙zna przej´s´

c

k skokami o 1, tzn. µ

2

= µ

1

+ k, k=0,1,2,3,... . St¸

ad

λ

2

= µ

1

(µ

1

− 1) = (µ

1

+ k)(µ

1

+ k + 1),

a st¸

ad µ

1

= −

k
2

oraz µ

2

=

k
2

. Oznaczamy l =

k
2

, oraz zmieniamy indeksacj¸e

(λµ) na lm.

Ostatecznie mo˙zna napisa´

c

L

2

ψ

lm

= ¯

h

2

l(l + 1)ψ

lm

(∗ ∗ ∗),

30

L

z

ψ

lm

= ¯

hmψ

lm

(∗ ∗ ∗),

l = 0,

1

2

, 1,

3

2

, 2....(∗ ∗ ∗),

m = −l, −l + 1, −l + 2, ......., l − 1, l(∗ ∗ ∗).

Dla okre´slonej warto´sci liczby l mamy wi¸ec 2l + 1 dozwolonych warto´sci

liczby m. S¸

a to relacje s luszne dla ka˙zdego momentu p¸edu (orbitalny mo-

ment p¸edu jednej cz¸

astki, wypadkowy orbitalny moment p¸edu wielu cz¸

astek,

wewn¸etrzne momenty p¸edu (spiny), ca lkowity moment p¸edu). Korzystano
jedynie z regu l komutacji i samosprz¸e˙zono´sci operator´

ow. Dalej oka˙ze si¸e,

˙ze dla moment´

ow p¸edu posiadaj¸

acych odpowiednik klasyczny (ruch czego´s

wok´

o l czego´s) realizuj¸

a si¸e tylko ca lkowite warto´sci liczby l; warto´sci po l´

owkowe

odpowiadaj¸

a nieklasycznym momentom p¸edu: spinom.

Pogl¸

adowy obraz kwantowego momentu p¸edu musi z natury rzeczy by´

c

u lomny. Pewne cechy oddaje w la´sciwie model wektora wykonuj¸

acego ruch

precesyjny dooko la osi z. D lugo´s´

c wektora wynosi ¯

h

q

l(l + 1), a jego rzut

¯

hm. Tworz¸

aca jest nachylona do osi z pod skwantowanym k¸

atem α, takim

˙ze cos α =

m

√

l(l+1)

. Sk ladowe L

x

i L

y

nie s¸

a okre´slone w modelu klasycznym,

bo si¸e zmieniaj¸

a w czasie, a w modelu kwantowym z powod´

ow zasadniczych.

Te og´

olne relacje mo˙zna zastosowa´

c w szczeg´

olno´sci dla orbitalnego mo-

mentu p¸edu jednej cz¸

astki r × p. W tym celu operatory momentu p¸edu

nale˙zy przedstawi´

c we wsp´

o lrz¸ednych sferycznch

x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ.

Relacje odwrotne maj¸

a posta´

c

r = (x

2

+ y

2

+ z

2

)

1
2

,

θ = arccos

z

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

1
2

,

φ = arctg

y

x

.

31

Wyra˙zaj¸

ac pochodne kartezja´

nskie przez pochodne wzgl¸edem wsp´

o lrz¸ednych

sferycznych wg. zasady

∂

∂x

=

∂r

∂x

∂

∂r

+

∂θ

∂x

∂

∂θ

+

∂φ

∂x

∂

∂φ

itd., a nast¸epnie podstawiaj¸

ac do definicji momentu p¸edu otrzymuje si¸e

L

x

= −i¯

h(− sin φ

∂

∂θ

− ctgθ cos φ

∂

∂φ

),

L

y

= −i¯

h(cos φ

∂

∂θ

− ctgθ sin φ

∂

∂φ

),

L

z

= −i¯

h

∂

∂φ

,

L

+

= −i¯

h exp(iφ)(i

∂

∂θ

− ctgθ

∂

∂φ

),

L

−

= −i¯

h exp(−iφ)(−i

∂

∂θ

− ctgθ

∂

∂φ

).

Przy okazji otrzyma´

c mo˙zna wa˙zne relacje

L

2

= −¯

h

2

Λ

2

= −¯

h

2

[

1

sin θ

∂

∂θ

sin θ

∂

∂θ

+

1

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

],

∇

2

=

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

+

Λ

2

r

2

.

Funkcje w lasne operator´

ow L

2

i L

z

s¸

a funkcjami k¸

at´

ow θ, φ. Mo˙zna spr´

obowa´

c

ka˙zd¸

a z nich przedstawi´

c jako iloczyn cz¸e´sci zale˙znej od θ i cz¸e´sci zale˙znej od

φ

ψ

lm

(θ, φ) = Θ

lm

(θ)Φ

m

(φ);

(taka zale˙zno´s´

c od indeks´

ow zostanie potwiedzona dalej). Podstawienie takiej

funkcji do r´

ownania w lasnego dla L

z

prowadzi do r´

ownania na funkcj¸e Φ

−i¯

h

d

dφ

Φ(φ) = ¯

hmΦ,

32

gdzie skorzystano, ˙ze L

z

nie dzia la na funkcj¸e Θ

lm

(θ) i przez t¸e ostatni¸

a

podzielono obie strony. Rozwi¸

azaniem tego r´

ownania jest funkcja

Φ(φ) = exp(imφ).

Poniewa˙z po obrocie o 2π funkcja przestrzenna nie powinna zmieni´

c warto´sci,

tzn.

exp[im(φ + 2π)] = exp(imφ), m musi by´

c liczb¸

a ca lkowit¸

a: m =

0, ±1, ±2.... Tak samo liczba l musi by´

c ca lkowita (m zmienia si¸e od −l do

l. Ca lkowito´s´

c liczb kwantowych l i m musi zachodzi´

c dla ka˙zdego orbital-

nego (tzn. zwi¸

azanego z ruchem) momentu p¸edu; po l´

owkowe liczby l i m

przys luguj¸

a pewnym momentom p¸edu nie maj¸

acym klasycznego odpowied-

nika (spinom).

Naj latwiej wyznaczy´

c funkcje Θ(θ) dla minimalnej warto´sci m = −l.

Wtedy

L

−

Θ

l−l

exp(−ilφ) = 0,

czyli

−(i

∂

∂θ

+ ctgθ

∂

∂φ

)Θ

l−l

exp(−ilφ) = 0

i dalej

dΘ

l−l

dθ

= lctgθΘ

l−l

.

Latwo zgadn¸

a´

c rozwi¸

azanie ostatniego r´

ownania

Θ(θ) = C sin

l

θ,

gdzie C jest sta l¸

a normalizacyjn¸

a (2πC

2

R

π

0

sin

2l+1

θdθ = 4πC

2

(2l)!!

(2l+1)!!

= 1).

Funkcje dla wi¸ekszych m mo˙zna otrzyma´

c dzia laj¸

ac wielokrotnie operatorem

L

+

ψ

lm+1

=

1

¯

h

q

l(l + 1) − m(m + 1)

L

+

ψ

lm

=

−i

q

l(l + 1) − m(m + 1)

exp(iφ)(i

∂

∂θ

−ctgθ

∂

∂φ

)ψ

lm

,

m = −l, −l + 1, −l + 2, ...., l − 1.

Wszystkie te funkcje maj¸

a posta´

c wielomianu od zmiennej cos θ pomno˙zonego

przez sin θ w jakiej´s pot¸edze i przez czynnik exp(imφ). Funkcje ψ

lm

(θ, φ) po

33

unormowaniu s¸

a standardowo oznaczane symbolem Y

lm

(θ, φ) i nazywaj¸

a si¸e

funkcjami sferycznymi lub kulistymi. Og´

olna ich posta´

c jest

Y

lm

(θ, φ) = [

(2l + 1)(l − |m|)!

4π(l + m|)!

]

1
2

P

|m|

l

(cos θ) exp(imφ),

gdzie P

|m|

l

(x) = (1 − x

2

)

|m|

2

d

|m|

dx

|m|

P

l

(x), nazywaj¸

a si¸e stowarzyszonymi funkc-

jami Legendre’a; P

l

(x) =

1

2

l

l!

d

l

dx

l

(x

2

− 1)

l

s¸

a wielomiamani Legendre’a, a  = 1

dla m < 0 i  = (−1)

m

dla m ≥ 0. Przy inwersji uk ladu wsp´

o lrz¸ednych, tzn.

zamianie r na −r, nast¸epuje zamiana θ → π − θ i φ → φ + π. Funkcje Y

lm

o parzystej liczbie l nie zmieniaj¸

a si¸e, natomiast te o nieparzystej liczbie l

zmieniaj¸

a znak. Parzysto´s´

c wynosi wi¸ec (−1)

l

.

7

Atom wodoru

Najprostszy model atomu wodoru uwzgl¸ednia punktowe j¸

adro umieszczone w

pocz¸

atku uk ladu i elektron jako kwantow¸

a cz¸

astk¸e o wsp´

o lrz¸ednej r poruszaj¸

ac¸

a

si¸e w przestrzeni. Oddzia lywanie mi¸edzy elektronem i j¸

adrem jest kulom-

bowskie. Niech ladunek j¸

adra wynosi Ze, tzn. rozwa˙zamy te˙z przy okazji

jednoelektronowe jony dodatnie. Masa elektronu wynosi m = 9.109 × 10

−31

kg, a ladunek e = 1.602 × 10

−19

C. Hamiltonian uk ladu ma posta´

c

H = −

¯

h

2

2m

∇

2

−

Ze

2

4π

0

r

(∗ ∗ ∗),

gdzie jak zwykle r = |r|, a potencja l kulombowski napisano w jednostkach
mi¸edzynarodowych.

Uproszczenia modelu polegaj¸

a na:

1.

nieuwzgl¸ednieniu ruchu j¸

adra - poni˙zsze wyniki mo˙zna poprawi´

c za-

mieniaj¸

ac mas¸e j¸

adra na tzw. mas¸e zredukowana µ =

mm

j

m+m

j

, gdzie m

j

jest

mas¸

a j¸

adra;

2. nieuwzgl¸ednienie oddzia lywa´

n magnetycznych zwi¸

azanych z istnieniem

wewn¸etrznych moment´

ow magnetycznych elektronu i j¸

adra;

3. nieuwzgl¸ednienie relatywistycznego przyrostu masy;
4. nieuwzgl¸ednienie kwantowej istoty oddzia lywa´

n elektromagnetycznych,

jak¸

a jest ustawiczna emisja i absorpcja wirtualnych foton´

ow oraz modyfikacja

34

pola kulombowskiego w wyniku polaryzacji pr´

o˙zni.

O roli tych efekt´

ow b¸edzie jeszcze mowa dalej.

Hamiltonian komutuje ze wszystkimi sk ladowymi momentu p¸edu i z jego

kwadratem (operator energii kinetycznej zawsze komutuje z momentem p¸edu,
operator energii potencjalnej - dzi¸eki jego sferycznej symetrii). Mo˙zna wi¸ec
zmierzy´

c r´

ownocze´snie energi¸e, kwadrat momentu p¸edu i jego rzut na o´s z,

czyli znale´

z´

c wsp´

olne funkcje w lasne tych trzech operator´

ow.

We wsp´

o lrz¸ednych sferycznych hamiltonian ma posta´

c

H = −

¯

h

2

2m

[

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

+

Λ

2

r

2

] −

Ze

2

4π

0

r

.

Operator −¯

h

2

Λ

2

jest operatorem kwadratu momentu p¸edu. Wida´

c jeszcze

raz spe lnienie regu l komutacji: cz¸e´s´

c hamiltonianu zale˙zna od k¸

at´

ow stanowi

L

2

, kt´

ory komutuje z sob¸

a i z L

z

. Wsp´

olnych funkcji w lasnych mo˙zna szuka´

c

w postaci

ψ(r, θ, φ) = R

nl

(r)Y

lm

(θ, φ);

dalej oka˙ze si¸e, ˙ze funkcja R powinna mie´

c w la´snie te indeksy. Funkcj¸e t¸e

nale˙zy wstawi´

c do r´

ownania, podzia la´

c operatorem L

2

na funkcj¸e kulist¸

a,

a potem przez t¸e funkcj¸e skr´

oci´

c. Dodatkowo nale˙zy podstawi´

c R

nl

=

f (r)

r

(to ostatnie podstawienie ma charakter pomocniczny i indeksy funkcji b¸ed¸

a

chwilowo opuszczone). Po tych operacjach otrzymuje si¸e

−

¯

h

2

2m

d

2

f

dr

2

+

¯

h

2

l(l + 1)

2mr

2

f −

Ze

2

4π

0

r

f = Ef.

Mo˙zna przej´s´

c do wsp´

o lrz¸ednych bezwymiarowych r = aρ, gdzie a =

4π

0

¯

h

2

me

2

=

0.529×10

−10

m jest promieniem pierwszej dozwolonej orbity w modelu Bohra.

R´

ownanie w nowej zmiennej ma posta´

c (podstawiono F (ρ) ≡ f (aρ),  =

E

ma

2

¯

h

2

)

−

1

2

d

2

F

dρ

2

+

l(l + 1)

2ρ

2

F −

Z

ρ

F = F.

Dla du˙zych ρ rozwi¸

azanie r´

ownania powinno si¸e zachowywa´

c jak rozwi¸

azanie

r´

ownania

F

00

− κ

2

F = 0,

gdzie  = −

κ

2

2

. Oznacza to, ˙ze dla energii ujemnych κ > 0 i funkcja F

zachowuje si¸e dla du˙zych ρ jak exp(−κr).

35

Dla ρ → 0 rozwi¸

azania zachowuj¸

a si¸e jak rozwi¸

azania r´

ownania

−

1

2

d

2

F

dρ

2

+

l(l + 1)

2ρ

2

F = 0.

Rozwi¸

azania ostatniego r´

ownania maj¸

a posta´

c F = ρ

l+1

lub ρ

−l

, przy czym te

ostatnie odrzucamy, bo prowadz¸

a do nienormowalnych rozwi¸

aza´

n (przypadek

rho

0

nale˙zy rozwa˙zy´

c osobno).

Ostatecznie spr´

obujmy poszuka´

c ´scis lego

rozwi¸

azania w postaci

F (ρ) = ρ

l+1

exp(−κρ)

∞

X

j=0

a

j

ρ

j

,

przy czym a

0

6= 0. Podstawienie takiej postaci rozwi¸azania do r´

ownania,

uporz¸

adkowanie i por´

ownanie wsp´

o lczynnik´

ow przy tych samych pot¸egach

zmiennej ρ prowadzi to relacji

a

j+1

=

2κ(j + l + 1) − 2Z

(j + l + 2)(j + l + 1) − l(l + 1)

a

j

.

Dla du˙zych j oznacza to, ˙ze

a

j+1

a

j

∼

2κ

j

.

Jest to zachowanie typowe dla funkcji exp(2κρ), tzn.

nasze rozwi¸

azanie

zmierza do niesko´

nczono´sci dla du˙zych ρ, nawet po uwzgl¸ednieniu czynnika

exp(−κρ). Szereg powy˙zszy musi wi¸ec si¸e urywa´

c, tzn. dla pewnego j

∗

2κ(j

∗

+ l + 1) = 2Z,

j

∗

= 0, 1, 2, ... Wprowad´

zmy oznaczenie n = j

∗

+l+1, czyli n = l+1, l+2, .....

Wtedy κ =

Z

n

, czyli  = −

Z

2

2n

2

i otrzymujemy kwantyzacj¸e energii

E = E

n

= −

Z

2

e

4

m

16π

2



2

0

¯

h

2

1

2n

2

(∗ ∗ ∗).

Jest to ten sam wynik, jak dla energii w modelu Bohra.
Bior¸

ac liczb¸e n za zmieniaj¸

ac¸

a si¸e niezale˙znie mo˙zna napisa´

c, ˙ze n = 1, 2, 3, ...

. Wtedy liczba l = 0, 1, 2, ..., n − 1. Liczba m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l. Dla

36

ustalonego n liczba stan´

ow o energii E

n

czyli krotno´s´

c degeneracji, wynosi

P

n−1
l=0

(2l + 1) = n

2

.

Po wykonaniu oblicze´

n i unormowaniu funkcje radialne R

nl

maj¸

a posta´

c

R

nl

(r) = N

nl

[

2Zr

na

]

l

exp[

−Zr

na

] L

2l+1
n+l

(

2Zr

na

),

gdzie

L

k
s

(x) =

d

k

dx

k

L

s

(x),

nazywaj¸

a si¸e stowarzyszonymi wielomianami Laguerre’a, L

s

(x) = exp(x)

d

s

dx

s

x

s

exp(−x)

s¸

a wielomianami Laguerre’a, a

N

nl

= −(

2Z

na

)

3
2

[

(n − l − 1)!

2n(n + l)!

3

]

1
2

.

Funkcja radialna R

nl

jest wi¸ec iloczynem wielomianu i funkcji wyk ladniczo

malej¸

acej. Ma n − l − 1 w¸ez l´

ow, czyli miejsc zerowych (nie licz¸

ac pocz¸

atku

uk ladu). Maksima radialnej funkcji rozk ladu prawdopodobie´

nstwa r

2

R

2
nl

dla

l = n − 1 wypadaj¸

a w r = n

2 a

Z

, czyli tam, gdzie p´

o lklasyczne orbity Bohra.

Dla mniejszych l jest wi¸ecej maksim´

ow i nie wypadaj¸

a dok ladnie tam, gdzie

orbity Bohra. Zale˙zno´s´

c rozk ladu g¸esto´sci chmury elektronowej od kierunk´

ow

tkwi w funkcjach kulistych. Poniewa˙z |Y

lm

(θ φ)| nie zale˙zy of φ, chmura ma

symetri¸e cylindryczn¸

a (obrotow¸

a) wok´

o l osi z. Dla l = 0 funkcja nie zale˙zy

od k¸

ata θ i chmura ma symetri¸e kulist¸

a (izotropowy rozk lad g¸esto´sci). Dla

l = 1 i m = ±1 funkcja Y

1±1

jest proporcjonalna do sin θ - najwi¸eksze praw-

dopodobie´

nstwo znalezienia elektronu jest w okolicy θ = 0 (”r´

ownik” kuli);

analogicznie dla l = 1 i m = 0 Y

10

jest proporcjonalna do cos θ i maksy-

malne prawdopodobie´

nstwo znalezienia elektronu jest w okolicy ”biegun´

ow”

kuli (θ = 0 i θ = π). Ze wzrostem l kszta lt chmury staje si¸e coraz bardziej
skomplikowany.

Dla energii dodatnich nie ma konieczno´sci przerwania szeregu: κ jest wt-

edy wielko´sci¸

a urojon¸

a i funkcja exp(κρ) jest funkcj¸

a oscyluj¸

ac¸

a. Nie ma wi¸ec

kwantyzacji. Funkcje falowe, normowalne do delty Diraca, opisuj¸

a elektron

po jonizacji atomu (fala padaj¸

aca i rozproszona).

Funkcje stan´

ow stacjonarnych opisuj¸

a chmury elektronowe o kszta lcie

niezale˙znym od czasu.

Mo˙zna rozwa˙za´

c paczki falowe, czyli superpozy-

cje stan´

ow stacjonarnych. W szczeg´

olno´sci od niedawna istniej¸

a techniczne

37

mo˙zliwo´sci wprowadzenia atomu wodoru w stan, kt´

orego funkcja falowa jest

superpozycj¸

a stan´

ow o du˙zych n (rz¸edu kilkudziesi¸eciu). Ruch takiej paczki

mo˙ze przypomina´

c ruch klasycznego elektronu w modelu Bohra; centrum

chmury wykonuje ruch orbitalny, a sama chmura na zmian¸e rozmywa si¸e i z
powrotem zbiera.

8

Uog´

olnienie dla wielu cz¸

astek

Przedstawiony wy˙zej formalizm daje si¸e latwo uog´

olni´

c dla N cz¸

astek. Funkcja

falowa musi zale˙ze´

c od wszystkich wsp´

o lrz¸ednych wszystkich cz¸

astek, czyli

ψ = ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t),

przy czym r

j

= (x

j

, y

j

, z

j

). Jest wi¸ec funkcj¸

a 3N zmiennych przestrzennych

oraz czasu. Interpretacja probabilistyczna jest teraz taka, ˙ze

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t)|

2

jest g¸esto´sci¸

a rozk ladu po lo˙ze´

n w przestrzeni 3N wymiarowej, tzn.

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t)|

2

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

jest prawdopodobie´

nstwem ˙ze:

pierwsza wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (x

1

, x

1

+ dx

1

),

druga wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (y

1

, y

1

+ dy

1

),

trzecia wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (z

1

, z

1

+ dz

1

),

pierwsza wsp´

o lrz¸edna drugiej cz¸

astki le˙zy w przedziale (x

2

, x

2

+ dx

2

),

druga wsp´

o lrz¸edna drugiej cz¸

astki le˙zy w przedziale (y

2

, y

2

+ dy

2

),

.............................................. ..............................................
trzecia wsp´

o lrz¸edna N -tej cz¸

astki le˙zy w przedziale (z

N

, z

N

+ dz

N

).

Warunek normalizacji wymaga ca lkowania po wszystkich wsp´

o lrz¸ednych

wszystkich cz¸

astek po ca lym zakresie zmienno´sci (we wsp´

o lrz¸ednych kartezja´

nskich

od −∞ do ∞), czyli po przestrzeni V

N

= R

3N

.

Z

V

N

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, , t)|

2

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

= 1.

38

Iloczyn skalarny dw´

och funkcji ψ i φ jest te˙z zdefniowany jako ca lka po ca lej

przestrzeni 3N -wymiarowej

(ψ, φ) =

Z

V

N

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

ψ

∗

(r

1

, r

2

, ...r

N

)φ(r

1

, r

2

, ...r

N

).

Zasady konstrukcji operator´

ow s¸

a r´

ownie˙z podobne, z tym ˙ze trzeba

rozr´

o˙znia´

c indeksami wsp´

o lrz¸edne poszczg´

olnych cz¸

astek i zaznacza´

c wzgl¸edem

wsp´

o lrz¸ednych kt´

orej cz¸

astki r´

o˙zniczkujemy, tzn. energia kinetyczna j-tej

cz¸

astki jest reprezentowana przez operator

−¯

h

2

2m

j

∇

2
j

, gdzie ∇

j

= (

∂

∂x

j

,

∂

∂y

j

,

∂

∂z

j

).

Na przyk lad Hamiltonian atomu helu, przy pomini¸eciu ruchu j¸

adra i odd-

zia lywa´

n relatywistycznych, ma posta´

c

H = −

¯

h

2

2m

∇

2
1

−

¯

h

2

2m

∇

2
2

−

2e

2

4π

0

r

1

−

2e

2

4π

0

r

2

+

e

2

4π

0

|r

1

− r

2

|

,

gdzie r

1

i r

2

s¸

a wektorami po lo˙zenia obu elektron´

ow wzgl¸edem j¸

adra po lo˙zonego

w pocz¸

atku uk ladu.

Operatory odnosz¸

ace si¸e do r´

o˙znych cz¸

astek komutuj¸

a, w szczeg´

olno´sci [ ˆ

x

j

, ˆ

p

x

k

] =

i¯

hδ

jk

.

Wszystkie zasadnicze twierdzenia przedstawione dla jednej cz¸

astki po-

zostaj¸

a w mocy, je´sli pos lu˙zy´

c si¸e zmodyfikowanymi iloczynami skalarnymi.

9

Formalizm macierzowy

Je´sli znamy funkcj¸e ψ opisuj¸

ac¸

a uk lad i wybierzemy dowoln¸

a´s ortonormaln¸

a

baz¸e ψ

n

, to mo˙zemy rozwin¸

a´

c funkcj¸e ψ w tej bazie

ψ =

X

n

c

n

ψ

n

.

Mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze znajomo´s´

c funkcji ψ jest r´

ownowa˙zna znajomo´sci ci¸

agu

liczb zespolonych c

n

i ˙ze stan uk ladu jest jednoznacznie wyznaczony przez

liczby c

n

, kt´

ore ustawiamy w wektor (sko´

nczenie lub niesko´

nczenie wymi-

arowy)

c =











c

1

c

2

...

c

n

...











.

39

Dodawanie wektor´

ow i ich mno˙zenie przez liczb¸e zespolon¸

a λ przenosi si¸e

na dodawanie wsp´

o lrz¸ednych wektor´

ow i ich mno˙zenie przez λ. Niech ψ =

P

n

c

n

ψ

n

, φ =

P

n

b

n

ψ

n

. Niech χ = ψ +φ. Wtedy χ =

P

n

(c

n

+b

n

)ψ

n

i funkcja

χ =

P

n

a

n

ψ

n

jest reprezentowana przez wektor a, taki ˙ze a

n

= c

n

+ b

n

.

Podobnie funkcja λψ jest reprezentowana przez wektor o wsp´

o lrz¸ednych λc

n

.

Iloczyn skalarny (ψ, φ) przyjmuje posta´

c

(ψ, φ) = (

X

n

c

n

ψ

n

,

X

k

b

k

ψ

k

) =

X

n,k

c

∗
n

b

k

(ψ

n

, ψ

k

) =

X

n

c

∗
n

b

n

dzi¸eki ortonormalno´sci bazy. Sum¸e iloczyn´

ow ”po sk ladowych” mo˙zna za-

pisa´

c macierzowo

(ψ, φ) =



c

∗
1

c

∗
2

... c

∗
n

...













b

1

b

2

...

b

n

...











.

Wektor sprz¸e˙zony do kolumny jest wierszem (czyli jest transponowany) i jest
dodatkowo sprz¸e˙zony w spos´

ob zespolony.

Operatory s¸

a reprezentowane przez macierze kwadratowe (sko´

nczenie lub

niesko´

nczenie wymiarowe). Niech funkcje ψ i φ s¸

a zwi¸

azane relacj¸

a ψ = Aφ,

tzn.

X

n

c

n

ψ

n

= A

X

k

b

k

ψ

k

.

Je´sli wzi¸

a´

c iloczyn skalarny obu stron tej r´

owno´sci z funkcj¸

a ψ

s

otrzymujemy

(ψ

s

,

X

n

c

n

ψ

n

) = (ψ

s

, A

X

k

b

k

ψ

k

)

i dalej

c

s

=

X

k

(ψ

s

, Aψ

k

)b

k

=

X

k

A

sk

b

k

.

Macierz reprezentuj¸

aca operator A jest wi¸ec tablic¸

a liczb zespolonych A

sk

=

(ψ

s

, Aψ

k

). Ostatni¸

a relacj¸e mo˙zna napisa´

c macierzowo











c

1

c

2

...

c

n

...











=











A

11

A

12

... A

1n

...

A

21

A

22

... A

2n

...

...

...

...

...

...

A

n1

A

n2

... A

nn

...

...

...

...

...

...





















b

1

b

2

...

b

n

...











.

40

Operator sprz¸e˙zony po hermitowsku ma t¸e w lasno´s´

c, ˙ze

A

†
nk

= (ψ

n

, A

†

ψ

k

) = (Aψ

n

, ψ

k

) = (ψ

k

, Aψ

n

)

∗

= A

∗
kn

,

jest wi¸ec reprezentowany macierz¸

a operatora A dodatkowo transponowan¸

a i

sprz¸e˙zon¸

a w spos´

ob zespolony. Dla operatora samosprz¸e˙zonego l¸

aczne zas-

tosowanie transpozycji i sprz¸e˙zenia zespolonego nie zmienia macierzy.
W bazie swoich funkcji w lasnych operator jest reprezentowany przez macierz
A

nk

= (ψ

n

, Aψ

k

) = (ψ

n

, α

k

ψ

k

) = α

k

δ

nk

, a wi¸ec przez macierz diagonaln¸

a,

kt´

ora ma warto´sci w lasne na g l´

ownej przek¸

atnej.

Rozwi¸

azanie r´

ownania w lasnego Aψ = αψ sprowadza si¸e do problemu

algebraicznego

X

k

A

jk

c

k

= αc

j

lub

X

k

[A

jk

− αδ

jk

]c

k

= 0.

R´

ownanie to ma rozwi¸

azania niezerowe, gdy zeruje si¸e wyznacznik macierzy

uk ladu

det











A

11

− α

A

12

...

A

1n

...

A

21

A

22

− α ...

A

2n

...

...

...

...

...

...

A

n1

A

n2

... A

nn

− α ...

...

...

...

...

...











= 0.

Przy zmianie bazy ulegaj¸

a zmianie zar´

owno wektory stanu jak i operatory.

Niech φ

n

stanowi¸

a now¸

a baz¸

a ortonormaln¸

a. Nowe wektory bazowe daj¸

a si¸e

oczywi´scie wyrazi´

c przez stare

φ

n

=

X

s

U

ns

ψ

s

.

Poniewa˙z obie bazy s¸

a ortonormalne, mo˙zna napisa´

c

δ

mn

= (φ

m

, φ

n

) = (

X

k

U

mk

ψ

k

,

X

s

U

ns

ψ

s

) =

X

ks

U

∗

mk

U

ns

(ψ

k

, ψ

s

) =

X

ks

U

∗

mk

U

ns

δ

ks

=

X

k

U

nk

U

†

km

= (U U

†

)

mn

,

41

czyli U U

†

= I albo U

†

= U

−1

. Taka macierz U nazywa si¸e unitarna. Wektor

ψ jest okre´slony w bazie ψ

n

przez wsp´

o lczynniki c

n

, tzn. ψ =

P

n

c

n

ψ

n

. Dalej

mo˙zna napisa´

c

ψ =

X

n

c

n

X

s

(U

−1

)

ns

φ

s

=

X

s

X

n

U

∗

sn

c

n

φ

s

=

X

s

c

0
s

φ

s

.

W nowej bazie funkcja ψ jest wi¸ec reprezentowana przez wektor c

0

, gdzie

c

0
s

=

P

n

U

∗

sn

c

n

.

Ta sama macierz U s lu˙zy do transformacji operator´

ow. Mo˙zna napisa´

c

A

0
nm

= (φ

n

, Aφ

m

) = (

X

k

U

nk

ψ

k

, A

X

s

U

ms

ψ

s

) =

X

ks

U

∗

nk

U

ms

(ψ

k

, Aψ

s

) =

X

ks

U

∗

nk

A

ks

U

∗†

sm

= (U

∗

AU

∗†

)

nm

.

10

Spin

Spin cz¸

astki jest jej wewn¸etrznym momentem p¸edu, czyli nie jest zwi¸

azany

z jej ruchem wok´

o l punktu ani z ruchem jej cz¸e´sci sk ladowych. Nie po-

trafimy go zinterpretowa´

c klasycznie. W zwi¸

azku z tym nie potrafimy te˙z

opisa´

c go funkcj¸

a zale˙zn¸

a od zmiennych po lo˙zeniowych ani wyrazi´

c opera-

tor´

ow tego momentu p¸edu przez wsp´

o lrz¸edne lub pochodne. Spin mo˙zna

natomiast wygodnie opisa´

c w formalizmie macierzowym.

Istnienie spinu zapostulowano dla wyja´snienia rozszczepienia linii wid-

mowych (struktura subtelna) oraz szczeg´

o l´

ow ich rozszczepienia w polu mag-

netycznym (anomalny efekt Zeeemana). Potwierdzone zosta lo w s lawnym
do´swiadczeniu Sterna-Gerlacha. Wi¸

azk¸e atom´

ow srebra przepuszczano przez

silnie niejednorodne pole magnetyczne, kt´

ore spowodowa lo rozszczepienie

wi¸

azki na dwie wi¸

azki sk ladowe.

Elementarnym uk ladem oddzia luj¸

acym z polem magnetycznym jest dipolowy

moment magnetyczny, kt´

ory mo˙zna sobie wyobra˙za´

c jako p lask¸

a ramk¸e z

pr¸

adem. Wielko´s´

c tego momentu µ = |µ| jest iloczynem nat¸e˙zenia pr¸

adu I i

pola powierzchni ramki S. Wektor µ jest skierowany prostopadle do ramki.
Dla pr¸

adu dodatnich ladunk´

ow ma ten sam zwrot co ich moment p¸edu. W

jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B si ly dzia laj¸

ace na ramk¸e si¸e

znosz¸

a, pozostaje niezerowy moment si l obracaj¸

acy ramk¸e N = µ × B. W

polu niejednorodnym opr´

ocz momentu obracaj¸

acego pozostaje wypadkowa

42

si la F = (µ∇)B. Ta w la´snie si la musi powodowa´

c rozszczepienie wi¸

azki.

Moment magnetyczny jest proporcjonalny do momentu p¸edu. We´

zmy model

atomu Bohra. Mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze elektron obiegaj¸

acy j¸

adro po okr¸egu o

promieniu r z pr¸edko´sci¸

a v i okresem T =

2πr

v

tworzy pr¸

ad o nat¸e˙zeniu

−e

T

.

Moment magnetyczny wynosi µ = IS =

−ev

2πr

πr

2

=

−e

2m

L. Cz¸

astka na ladowana

i maj¸

aca pewien moment p¸edu ma te˙z pewien moment magnetyczny.

Zachowanie atomu srebra jest determinowane przez w lasno´sci jednego

elektronu (najbardziej zewn¸etrznego. Istnienie dw´

och wi¸

azek oznacza istnie-

nie dw´

och dozwolonych warto´sci momentu magnetycznego elektronu i tylu

samo warto´sci jego momentu p¸edu. Orbitalny moment p¸edu o ca lkowitych
liczbach l i m posiada dla okre´slonego l nieparzyst¸

a ilo´s´

c 2l + 1 dozwolonych

warto´sci m. Na podstawie do´swiadczenia mo˙zna podejrzewa´

c istnienie mo-

mentu p¸edu o liczbie l, oznaczanej tu symbolem s ≡ l =

1
2

. Dozwolone

warto´sci rzutu momentu p¸edu wynosz¸

a m

s

¯

h, gdzie m

s

= ±

1
2

. Okazuje si¸e,

˙ze dla spinu elektronu czynnik proporcjonalno´sci mi¸edzy momentem p¸edu s

i momentem magnetycznym µ

s

r´

o˙zni si¸e o czynnik 2 od analogicznego czyn-

nika dla orbitalnego momentu p¸edu, tzn. µ

s

=

−2e

2m

s.

Funkcje spinowe dla elektronu s¸

a wi¸ec dwusk ladnikowymi kolumnami

ψ =

α
β

!

(∗ ∗ ∗).

Operatory spinu - macierze 2 × 2 - s¸

a dane jako

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

z

ψ

1
2

m

0

) = ¯

hm

0

(ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

) = ¯

hm

0

δ

mm

0

,

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

+

ψ

1
2

m

0

) = ¯

h

s

1

2

3

2

− m

0

(m

0

+ 1), (ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

+1

) = ¯

h

s

3

4

− m

0

(m

0

+ 1)δ

m,m

0

+1

,

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

−

ψ

1
2

m

0

) = ¯

h

s

1

2

3

2

− m

0

(m

0

− 1)(ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

−1

) = ¯

h

s

3

4

− m

0

(m

0

− 1)δ

m,m

0

−1

,

gdzie m, m

0

= ±

1
2

i wprowadzono oznaczenie δ

m,m

0

= 1 dla m = m

0

, δ

m,m

0

= 0

dla m 6= m

0

, m, m

0

±

1
2

. W macierzowej postaci oznacza to

ˆ

s

+

= ¯

h

0 1
0 0

!

, ˆ

s

−

= ¯

h

0 0
1 0

!

, ˆ

s

z

=

¯

h

2

1

0

0 −1

!

.

43

Poniewa˙z ˆ

s

±

= ˆ

s

x

± iˆ

s

y

, to ˆ

s

x

=

1
2

(ˆ

s

+

+ ˆ

s

−

) i ˆ

s

y

=

1

2i

(ˆ

s

+

− ˆ

s

−

) i otrzymu-

jemy ostatecznie operatory

ˆ

s

x

=

¯

h

2

0 1
1 0

!

, ˆ

s

y

=

¯

h

2

0 −i

i

0

!

, ˆ

s

z

=

¯

h

2

1

0

0 −1

!

(∗ ∗ ∗).

Trzy ostatnie macierze (bez czynnika

¯

h

2

) znane s¸

a jako macierze Pauliego

σ

x

, σ

y

, σ

z

. Oczywi´scie macierze spinowe ˆ

s

x

, ˆ

s

y

i ˆ

s

z

spe lniaj¸

a regu ly komutacji

typowe dla momentu p¸edu [ˆ

s

x

, ˆ

s

y

] = i¯

hˆ

s

z

itd.

Cz¸

astki takie jak proton, neutron, miony, neutrina, kwarki (i ich an-

tycz¸

astki) maj¸

a r´

ownie˙z spin

1
2

i s¸

a opisywane w spos´

ob taki sam jak elek-

tron. Istniej¸

a cz¸

astki o spinie ca lkowitym (rozmaite mezony, foton, bozony

po´srednie W

±

i Z

0

), a tak˙ze cz¸

astki o spinie

3
2

i wi¸ekszym. Og´

olnie funkcje

spinowe cz¸

astek o spinie s s¸

a kolumnami o 2s + 1 sk ladnikach, operatory

spinu s¸

a natomiast macierzami (2s + 1) × (2s + 1).

Wektory w lasne operatora ˆ

s

z

otrzymamy rozwi¸

azuj¸

ac r´

ownanie

¯

h

2

1

0

0 −1

!

a

b

!

=

¯

h

2

λ

a

b

!

,

to znaczy a = λa, b = −λb, a wi¸ec albo a 6= 0, λ = 1 i b = 0, albo a = 0,
λ = −1 i b 6= 0. Poniewa˙z wektory maj¸

a by´

c unormowane, czyli |a|

2

+|b|

2

= 1,

maj¸

a one posta´

c

χ

1
2

=

1
0

!

,

χ

−

1
2

=

0
1

!

.

Mog¸

a oczywi´scie by´

c pomno˙zone przez dowolny czynnik zespolony o jednos-

tkowej warto´sci bezwzgl¸ednej.

Rozpatrzmy operator rzutu spinu elektronu na dowolny kierunek okre´slony

przez wektor jednostkowy n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Operator ten

ˆ

s

n

= nˆ

s ma posta´

c

¯

h

2

[sin θ cos φσ

x

+sin θ sin φσ

y

+cos θσ

z

] =

¯

h

2

cos θ

sin θ exp(−iφ)

sin θ exp(iφ)

− cos θ

!

.

R´

ownanie w lasne dla tego operatora ma posta´

c

¯

h

2

cos θ

sin θ exp(−iφ)

sin θ exp(iφ)

− cos θ

!

a

b

!

=

¯

h

2

λ

a

b

!

.

44

Ten uk lad r´

owna´

n ma rozwi¸

azania niezerowe, gdy wyznacznik macierzy

uk ladu si¸e zeruje, co zachodzi gdy λ = ±1, czyli dozwolone warto´sci rzutu
spinu na dowolny kierunek wynosz¸

a ±

¯

h

2

. Wektory w lasne odpowiadaj¸

ace

odpowiednio warto´sciom w lasnym

¯

h

2

i −

¯

h

2

maj¸

a posta´

c

cos

θ
2

exp(−iφ)

sin

θ
2

!

,

− sin

θ
2

exp(−iφ)

cos

θ
2

!

.

Wygodnie tu zilustrowa´

c podstawow¸

a w lasno´s´

c uk lad´

ow kwantowych opisanych

przez superpozycj¸e stan´

ow. Niech spin jest w stanie opisanym wektorem

a

b

!

= a

1
0

!

+ b

0
1

!

.

Mo˙zna tak wybra´

c czynnik fazowy, aby b by lo rzeczywiste, dodatnie.

Oznacza to, ˙ze przy pomiarze rzutu spinu na o´s z otrzymamy

¯

h

2

z praw-

dopodobie´

nstwem |a|

2

i −

¯

h

2

z prawdopodobie´

nstwem |b|

2

. Nie oznacza to

jednak, ˙ze w wi¸

azce s¸

a dwa rodzaje cz¸

astek! Istnieje bowiem taki kierunek

okre´slony przez k¸

aty θ i φ (takie ˙ze b = sin

θ
2

, a = cos

θ
2

exp(−iφ)), ˙ze wynik

pomiaru rzutu spinu na ten kierunek da z pewno´sci¸

a

¯

h

2

.

11

Dodawanie moment´

ow p¸

edu

Dane s¸

a dwa operatory momentu p¸edu L

1

= (L

1x

, L

1y

, L

1z

) i L

2

= (L

2x

, L

2y

, L

2z

).

Mog¸

a to by´

c dwa orbitalne momenty p¸edu opisane operatorami zale˙znymi od

k¸

at´

ow lub dwa spiny opisane macierzami lub jeden orbitalny moment p¸edu i

jeden spin.

Dla ka˙zdego z nich spe lnione s¸

a relacje komutacji typowe dla moment´

ow

p¸edu. Ka˙zda ze sk ladowych L

1

komutuje z ka˙zd¸

a ze sk ladowych L

2

. Mo˙zna

skonstruowa´

c operator wypadkowego momentu p¸edu L = L

1

+ L

2

. Regu ly

komutacji dla wypadkowego momentu p¸edu s¸

a takie jak dla wszystkich mo-

ment´

ow p¸edu

[L

x

, L

y

] = [L

1x

+L

2x

, L

1y

+L

2y

] = [L

1x

, L

1y

]+[L

2x

, L

2y

] = i¯

hL

1z

+i¯

hL

2z

= i¯

hL

z

.

Niech sk ladowe momenty p¸edu opisane s¸

a liczbami kwantowymi l

1

, m

1

i

l

2

, m

2

. Wypadkowy moment p¸edu opisany jest liczbami kwantowymi l, m,

45

tak ˙ze jego kwadrat wynosi ¯

h

2

l(l + 1), jego rzut na o´s z jest r´

owny ¯

hm, a

m = −l, −l + 1, ..., l.

Kluczowa jest obserwacja, ˙ze operator L

2

nie komutuje z L

1z

i z L

2z

,

cho´

c komutuje z ich sum¸

a. Mo˙za zmierzy´

c jednocze´snie wielko´sci fizyczne

L

2
1

, L

1z

, L

2
2

, L

2z

, bo ka˙zdy z tych operator´

ow komutuje z ka˙zdym, a wi¸ec

mo˙zna znale´

z´

c wsp´

olne funkcje w lasne tych operator´

ow. Drug¸

a tak¸

a rodzin¸e

komutuj¸

acych operator´

ow tworz¸

a L

2
1

, L

2
2

, L

2

, L

z

. Funkcje w lasne pierwszej

rodziny s¸

a po prostu iloczynami funkcji opisuj¸

acych sk ladowe momenty p¸edu,

tzn.

ψ

l

1

m

1

l

2

m

2

(1, 2) = ψ

l

1

m

1

(1)ψ

l

2

m

2

(2),

gdzie liczba w nawiasie oznacza, do kt´

orej cz¸

astki odnosi si¸e funkcja.

Funkcje w lasne operator´

ow z drugiej rodziny musz¸

a si¸e da´

c roz lo˙zy´

c w bazie

funkcji z pierwszej rodziny

ψ

l

1

l

2

lm

(1, 2) =

X

m

1

m

2

(l

1

l

2

m

1

m

2

|lm)ψ

l

1

m

1

(1)ψ

l

2

m

2

(2)(∗ ∗ ∗).

Wsp´

o lczynniki w okr¸

ag lym nawiasie nazywaj¸

a si¸e wsp´

o lczynnikami Clebscha-

Gordana, a ich warto´sci oraz og´

olne w lasno´sci mo˙zna znale´

z´

c w bardziej

szczeg´

o lowych ´

zr´

od lach. Sumowanie musi przebiega´

c po takich indeksach,

kt´

ore s¸

a obecne po prawej stronie, a nie ma ich po lewej stronie.

Zakres zmienno´sci liczb l mo˙zna wyznaczy´

c korzystaj¸

ac z r´

ownoliczno´sci

obu baz. Dla ustalonych l

1

i l

2

funkcji w pierwszej bazie jest (2l

1

+ 1)(2l

2

+ 1).

Za l´

o˙zmy, ˙ze liczba l mo˙ze zmienia´

c si¸e od l

min

do l

max

. Poniewa˙z rzuty dodaj¸

a

si¸e algebraicznie, m

max

= m

1max

+ m

2max

= l

1

+ l

2

. Z drugiej strony m

max

musi by´

c r´

owne l

max

. St¸

ad l

max

= l

1

+ l

2

. Dla ka˙zdej warto´sci l mamy 2l + 1

funkcji o r´

o˙znych m. Oznacza to,.ze

l

max

=l

1

+l

2

X

l=l

min

(2l + 1) = (2l

1

+ 1)(2l

2

+ 1).

Powy˙zsze r´

ownanie mo˙zna rozwi¸

aza´

c ze wzgl¸edu na l

min

. Korzysta si¸e z

faktu, ˙ze

P

N
n=0

(2n + 1) = (N + 1)

2

dla liczb za lkowitych (oraz podobnej relacji dla

liczb po l´

owkowych). Ostatecznie otrzymuje si¸e, ˙ze l

min

= |l

1

− l

2

|. Oznacza

to, ˙ze

l = |l

1

− l

2

|, |l

1

− l

2

| + 1, ..., l

1

+ l

2

.

46

Jest to kwantowy odpowiednik klasycznej relacji m´

owi¸

acej, ˙ze z trzech od-

cink´

ow a, b, c mo˙zna zbudowa´

c tr´

ojk¸

at, je´sli |b − c| < a < b + c itd.

Pogl¸

adowy obraz skonstruowany za pomoc¸

a obracaj¸

acych si¸e wektor´

ow

jest nast¸epuj¸

acy. Gdy okre´slone s¸

a wielko´sci z pierwszej rodziny, wektory L

1

i L

2

mo˙zna sobie wyobra˙za´

c jako wykonuj¸

ace niezale˙znie precesj¸e wok´

o l osi

z. Dla drugiej rodziny te dwa wektory wykonuj¸

a precesj¸e wok´

o l kierunku

wektora L, a ten ostatni wykonuje precesj¸e wok´

o l osi z.

12

Rachunek zaburze´

n niezale ˙zny od czasu

Rachunek zaburze´

n niezale˙zny od czasu jest metod¸

a przybli˙zonego znajdowa-

nia warto´sci w lasnych i funkcji w lasnych operator´

ow. Na przyk lad dla oper-

atora energii poszukujemy rozwi¸

aza´

n r´

ownania

Hψ

n

= E

n

ψ

n

.

Metod¸e t¸e mo˙zna stosowa´

c, gdy hamiltonian daje si¸e roz lo˙zy´

c na sum¸e dw´

och

operator´

ow

H = H

0

+ λV,

takich ˙ze znamy rozwi¸

azania zagadnienia w lasnego dla H

0

H

0

ψ

0

n

= E

0

n

ψ

0

n

oraz ˙ze operator V jest w pewnym sensie ma l¸

a poprawk¸

a (wyja´snienie po-

jawi si¸e ni˙zej). Parametr λ jest miar¸

a ma lo´sci, na ko´

ncu po lo˙zymy λ =

1. Istota metody polega na za lo˙zeniu, ˙ze funkcje w lasne i warto´sci w lasne
pe lnego hamiltonianu s¸

a funkcjami parametru λ i mo˙zna je roz lo˙zy´

c w szereg

wzgl¸edem λ

E

n

= E

(0)

n

+ E

(1)

n

λ + E

(2)

n

λ

2

+ ...,

ψ

n

= ψ

(0)

n

+ ψ

(1)

n

λ + ψ

(2)

n

λ

2

+ ....

Po napisaniu r´

ownania w lasnego w formie

(E

n

− H

0

)ψ

n

= λV ψ

n

i podstawieniu rozwini¸e´

c otrzymujemy

[E

(0)

n

+E

(1)

n

λ+E

(2)

n

λ

2

+...−H

0

][ψ

(0)

n

+ψ

(1)

n

λ+ψ

(2)

n

λ

2

+...] = λV [ψ

(0)

n

+ψ

(1)

n

λ+ψ

(2)

n

λ

2

+...].

47

R´

owno´s´

c szereg´

ow oznacza, ˙ze musz¸

a by´

c odpowiednio r´

owne wsp´

o lczynniki

przy tych samych pot¸egach λ. Przyr´

ownuj¸

ac wsp´

o lczynniki przy λ

0

, λ

1

, λ

2

...

otrzymujemy

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(0)

n

= 0,

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(1)

n

+ E

(1)

n

ψ

(0)

n

= V ψ

(0)

n

,

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(2)

n

+ E

(1)

n

ψ

(1)

n

+ E

(2)

n

ψ

(0)

n

= V ψ

(1)

n

.

Wida´

c, ˙ze kolejne poprawki ψ

(j)

n

do funkcji nie s¸

a wyznaczone jednoz-

nacznie. Dodanie do nich funkcji αψ

0

n

z dowolnym czynnikiem α nie zmieni

r´

owna´

n. Mo˙zna te funkcje tak wybra´

c, aby (ψ

0

n

, ψ

(j)

n

) = 0.

Pierwsze z tr´

ojki powy˙zszych r´

owna´

n m´

owi, ˙ze w nieobecno´sci oddzia lywania

V rozwi¸

azania zaburzone sprowadzaj¸

a si¸e do niezaburzonych. Musi zachodzi´

c

E

(0)

n

= E

0

n

. Je´sli energia E

0

n

nie jest zdegenerowana, to funkcja ψ

(0)

n

, czyli na-

jni˙zszy wyraz rozwini¸ecia w szereg, musi by´

c to˙zsama z niezaburzon¸

a funkcj¸

a

ψ

0

n

. Drugie r´

ownanie zrzutowane na funkcj¸e ψ

0

s

prowadzi do

(ψ

0

s

, [E

(0)

n

− H

0

]ψ

(1)

n

) + E

(1)

n

(ψ

0

s

, ψ

0

n

) = (ψ

0

s

V ψ

0)

n

,

albo

(E

0

n

− E

0

s

)(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

) + E

(1)

n

δ

ns

= V

sn

,

gdzie wprowadzono oznaczenie V

sn

= (ψ

0

s

, V ψ

0

n

). Dla s = n otrzymujemy

E

(1)

n

= V

nn

(∗ ∗ ∗),

a dla s 6= n

(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

) =

V

sn

E

0

n

− E

0

s

.

Mo˙zna ψ

(1)

n

roz lo˙zy´

c w bazie funkcji niezaburzonych

ψ

(1)

n

=

X

s6=n

ψ

0

s

(ψ

0

s

, ψ

1

n

) =

X

s6=n

V

sn

E

0

n

− E

0

s

ψ

0

s

.

Trzecie z r´

owna´

n zrzutowane na ψ

0

s

daje

(ψ

0

s

, [E

0

n

− H

0

]ψ

(2)

n

) + E

(1)

n

(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

)

+E

(2)

n

(ψ

0

s

, ψ

0

n

) = (ψ

0

s

, V ψ

(1)

n

).

48

Dla n = s otrzymuje si¸e

E

(2)

n

= (ψ

0

n

, V ψ

(1)

n

) =

X

s6=n

V

ns

V

sn

E

0

n

− E

0

s

(∗ ∗ ∗).

T¸e procedur¸e mo˙zna kontynuowa´

c buduj¸

ac coraz wy˙zsze wyrazy szereg´

ow.

Na og´

o l nie da si¸e udowodni´

c zbie˙zno´sci procedury i poprzestaje si¸e na in-

tuicji, ˙ze zachodzi zbie˙zno´s´

c, gdy kolejne wyrazy malej¸

a. Cz¸esto poprzestaje

si¸e na pierwszej niezerowej poprawce.

Z powy˙zszych wzor´

ow wida´

c, co znaczy ”ma lo´s´

c” operatora V : funkcj¸e

ψ

(1)

n

mo˙zna traktowa´

c jako poprawk¸e do funkcji ψ

0

n

, je´sli wsp´

o lczynniki

V

sn

E

0

n

−E

0

s

s¸

a ma le, tzn. warto´sci bezwzgl¸edne element´

ow macierzowych musz¸

a by´

c ma le

w por´

ownaniu z r´

o˙znicami energii stan´

ow niezaburzonych.

Je´sli energia E

0

n

jest zdegenerowana, metoda wymaga modyfikacji: wida´

c

na przyk lad, ˙ze pierwsza poprawka do funkcji zawiera laby wyrazy z zerem w
mianowniku. Wygodnie jest wtedy zmieni´

c indeksacj¸e numeruj¸

ac pierwszym

wska´

znikiem energi¸e niezaburzon¸

a, a drugim - r´

o˙zne funkcje w lasne do tej

samej warto´sci w lasnej. Otrzymamy w szczeg´

olno´sci

[E

nj

− H

0

]ψ

nj

= λV ψ

nj

i dalej

[E

(0)

nj

− H

0

]ψ

(0)

nj

= 0,

[E

(0)

nj

− H

0

]ψ

(1)

nj

− E

(1)

nj

ψ

(0)

nj

= V ψ

(0)

nj

.

Przy wy l¸

aczeniu oddzia lywania (tzn.

gdy λ → 0) energie zaburzone

musz¸

a zmierza´

c do niezaburzoej E

(0)

nj

= E

n

0, a funkcje zaburzone musz¸

a

zmierza´

c do specjalnie wybranych funkcji niezaburzonych, tzn. ψ

(0)

nj

s¸

a kombi-

nacjami liniowymi funkcji ψ

0

nj

. Podstawowy wz´

or dla pierwszej poprawki do

energii mo˙zna otrzyma´

c bez powtarzania ca lego rozumowania. Zerowanie si¸e

mianownik´

ow w rozwini¸eciu ψ

(1)

n

nie szkodzi, je´sli tak wybra´

c funkcje bazowe

ψ

0

nj

, aby elementy macierzowe V

nj,ns

= (ψ

0

nj

, V ψ

0

ns

) zerowa ly si¸e dla j 6= s.

Wtedy pierwsze poprawki do energii s¸

a elementami macierzowymi E

(1)

nj

=

V

nj,nj

, czyli warto´sciami w lasnymi diagonalnej macierzy V

nj,ns

. Poniewa˙z

warto´sci w lasne macierzy nie zmieniaj¸

a si¸e przy zmianie bazy (czyli przy

49

tranformacji unitarnej), oznacza to, ˙ze mo˙zna macierz t¸e zbudowa´

c w dowol-

nej bazie i wyliczy´

c warto´sci w lasne z r´

ownania

det









V

n1,n1

− E

(1)

nj

V

n1,n2

...

V

n1,nk

n

V

n2,n1

V

n2,n2

− E

(1)

nj

...

V

n2,nk

n

...

...

...

...

V

nk

n

,n1

V

nk

n

,n2

... V

nk

n

,nk

n

− E

(1)

nj









= 0,

gdzie stopie´

n degeneracji k

n

jest rozmiarem macierzy i jednocze´snie stopniem

r´

ownania na E

1

nj

, kt´

ore nale˙zy rozwi¸

aza´

c.

13

metody wariacyjne

Metody wariacyjne stanowi¸

a drug¸

a wa˙zn¸

a rodzin¸e metod znajdowania przy-

bli˙zonych warto´sci w lasnych w szczeg´

olno´sci operatora energii. Rozpatrzmy

funkcjona l energii, czyli operacj¸e przyporz¸

adkowania ka˙zdej funkcji ψ pewnej

liczby I[ψ] (rozpatrujemy tylko funkcje unormowane)

I[ψ] = (ψ, Hψ).

Funkcji w lasnych ψ

n

hamiltonianu, takich ˙ze Hψ

n

= E

n

ψ

n

, nie znamy, lecz

wiadomo, ˙ze istniej¸

a i tworz¸

a baz¸e ortonormaln¸

a. Za l´

o˙zmy, ˙ze energie w lasne

s¸

a uporz¸

adkowane E

1

≤ E

2

≤ E

3

≤ ... . Funkcj¸e ψ mo˙zna rozwin¸a´c w tej

bazie i rozwini¸ecie ψ =

P

n=1

c

n

ψ

n

podstawi´

c do funkcjona lu otrzymuj¸

ac

I[ψ] =

X

n=1

E

n

|c

n

|

2

,

gdzie skorzystano z normalizacji funkcji ψ, tzn.

P

n

|c

n

|

2

= 1. Suma nie

ulegnie zwi¸ekszeniu, je´sli ka˙zd¸

a z energii E

n

zast¸

api´

c przez najmniejsz¸

a z

nich E

1

.

I[ψ] ≥

X

n=1

E

1

|c

n

|

2

= E

1

.

Zauwa˙zy´

c nale˙zy, ˙ze I[ψ

1

] = E

1

.

Oznacza to, ˙ze warto´s´

c E

1

jest minimum funkcjona lu I przy warunku

dodatkowym, jakim jest normalizacja funkcji, i minimum to jest osi¸

agane.

Inaczej m´

owi¸

ac, gdyby oblicza´

c warto´s´

c funkcjona lu kolejno dla wszystkich

unormowanych funkcji z ca lej przestrzeni funkcji normowalnych z kwadratem,

50

to najmniejsza z otrzymanych warto´sci funkcjona lu by laby r´

owna energii

w lasnej E

1

. W praktyce nie da si¸e przeszuka´

c ca lej przestrzeni, ale mo˙zna

przeszuka´

c jej podzbi´

or (tzn.znale´

z´

c minimum funkcjona lu na pewnym podzbiorze).

Je´sli ´scis la funkcja ψ

1

nale˙zy do przeszukiwanego pozbioru, otrzymamy ´scis ly

wynik. Je´sli tak nie jest, ale podzbi´

or jest sensownie wybrany (potrzeba jest

intuicja i znajomo´s´

c og´

olnych w lasno´sci ´scis lej funkcji), to mo˙zna osi¸

agn¸

a´

c

dobre przybli˙zenie.

Mo˙zna tak˙ze wyznacza´

c energie stan´

ow wzbudzonych, ale jest to bardziej

k lopotliwe. Oszacowanie powy˙zsze mo˙zna powt´

orzy´

c dla energii E

2

pier-

wszego stanu wzbudzonego przy dodatkowym za lo˙zeniu, ˙ze badane funkcje
ψ s¸

a ortogonalne do funkcji stanu podstawowego, czyli je´sli c

1

= 0. Wtedy

I[ψ] =

X

n=1

E

n

|c

n

|

2

=

X

n=2

E

n

|c

n

|

2

≥

X

n=2

E

2

|c

n

|

2

= E

2

.

Energi¸e pierwszego stanu wzbudzonego otrzymamy wi¸ec jako minimum

funkcjona lu I w zbiorze wszystkich funkcji unormowanych i ortogonalnych
do ψ

1

. Dla wy˙zszych stan´

ow przybywa warunk´

ow dodatkowych: dla stanu n

potrzebna jest ortogonalno´s´

c do funkcji wszystkich ni˙zszych stan´

ow.

14

Atom wodoru ze spinem

Uwzgl¸ednienie spinu elektronu powoduje konieczno´s´

c uzupe lnienia opisu przez

rozszerzenie przestrzeni wektor´

ow falowych. Funkcje wodorowe b¸ed¸

a iloczy-

nami dyskutowanych wcze´sniej funkcji przestrzennych ψ

nlm

(r) i macierzowych

funkcji spinowych (lub kombinacjami liniowymi takich iloczyn´

ow). Oper-

atory w reprezentacji po lo˙zeniowej dzia laj¸

a tylko na funkcje przestrzenne,

macierzowe operatory spinowe- tylko na funkcje spinowe. Na przyk lad funkcje
postaci

ψ

nlmm

s

(1) = ψ

nlm

(r)χ

m

s

,

gdzie (1) oznacza skr´

otowo wszystkie wsp´

o lrz¸edne przestrzenne i spin, a

χ

1
2

=

1
0

!

, χ

−

1
2

=

0
1

!

s¸

a funkcjami w lasnymi energii, kwadratu orbitalnego momentu p¸edu, jego

rzutu na o´s z, kwadratu spinu (zawsze r´

ownego

3
4

¯

h

2

) i rzutu spinu na o´s

51

z. Mo˙zna te˙z skonstruowa´

c funkcje w lasne energii, kwadratu orbitalnego

momentu p¸edu, kwadratu spinu, kwadratu ca lkowitego momentu p¸edu ˆj =

ˆ

L + ˆ

s o warto´sciach ¯

h

2

j(j + 1) ) i rzutu ca lkowitego momentu p¸edu na o´s z,

r´

ownego ¯

hm

j

ψ

nljm

j

(1) = (l,

1

2

, m

j

−

1

2

,

1

2

|jm

j

)ψ

n,l,m

j

−

1
2

(r)χ

1
2

+(l,

1

2

, m

j

+

1

2

, −

1

2

|jm

j

)ψ

n,l,m

j

+

1
2

(r)χ

−

1
2

.

Z ca lej sumy zosta ly tylko dwa wyrazy, bo rzuty dodaj¸

a si¸e algebraicznie

(m

j

= m + m

s

), a przy m

s

±

1
2

s¸

a tylko dwie mo˙zliwo´sci. Liczba j mo˙ze

przyjmowa´

c warto´sci l ±

1
2

, z wyj¸

atkiem przypadku l = 0, gdy j =

1
2

.

Po uwzgl¸ednieniu spinu krotno´s´

c degenracji energii wzrasta dwukrotnie i

wynosi 2n

2

.

Poziomy energetyczne ulegaj¸

a w og´

olno´sci przesuni¸eciu i rozszczepieniu,

je´sli uwzgl¸edni´

c w hamiltonianie oddzia lywania inne ni˙z elektrostatyczne lub

w l¸

aczy´

c zewn¸etrzne pola (eletryczne lub magnetyczne). Wielko´sci przesuni¸e´

c

poziom´

ow liczy si¸e metod¸

a rachunku zaburze´

n, uwzgl¸edniaj¸

ac kolejno odd-

zia lywania od najsilniejszych do najs labszych. Przy stosowaniu rachunku
zaburze´

n najwygodniej wybiera´

c takie bazy funkcji niezaburzonych, dla kt´

orych

macierze kolejnych zaburze´

n s¸

a diagonalne. Takie funkcje, b¸ed¸

ace funkc-

jami w lasnymi operator´

ow komutuj¸

acych z hamiltonianem (uwzgl¸edniaj¸

acym

poprawk¸e), nazywamy ”dobrymi” funkcjami w danej sytuacji.

Istnienie spinu zwi¸

azane jest z dodatkow¸

a energi¸e oddzia lywania, kt´

or¸

a

powinno si¸e uwzgl¸edni´

c w hamiltonianie i kt´

ora powoduje rozszczepienie

poziom´

ow energetycznych (struktura subtelna). Posta´

c tego oddzia lywania

zwanego oddzia lywaniem spin-orbita, mo˙zna wyprowadzi´

c przez analogi¸e klasy-

czn¸

a. W uk ladzie zwi¸

azanym z elektronem mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze znajduje

si¸e on w polu magnetycznym spowodowanym przez ko lowy pr¸

ad wywo lany

przez ruch j¸

adra, o nat¸e˙zeniu I =

Ze

T

=

Zev

2πr

(T jest okresem obiegu, v -

pr¸edko´sci¸

a, r promieniem orbity). Z prawa Biota-Savarta wynika, ˙ze pole

magnetyczne w tym punkcie ma warto´s´

c B =

µ

0

I

2r

=

Zeµ

0

v

4πr

2

. Pole to jest

prostopad le do p laszczyzny orbity, a wi¸ec r´

ownoleg le do orbitalnego momentu

p¸edu L = r×mv elektronu. Z uwzgl¸ednieniem zwrot´

ow B =

Zeµ

0

4πr

3

m

L. Powr´

ot

do uk ladu spoczywaj¸

acego j¸

adra wymaga formalnego przetransformowania

p´

ol zgodnie z teori¸

a wzgl¸edno´sci, a wynikiem do´s´

c skomplikowanych oblicze´

n

jest pojawienie dodatkowego czynnika

1
2

(efekt Thomasa). Spinowy moment

52

magnetyczny elektronu µ

s

=

−e

m

s powoduje energi¸e oddzia lywania

V = −µB =

Ze

2

µ

0

8πm

2

r

3

ˆ

Lˆ

s =

Ze

2

µ

0

8πm

2

r

3

1

2

(ˆ

j

2

− ˆ

L

2

− ˆ

s

2

),

gdzie skorzystano z relacji ˆj = ˆ

L + ˆ

s podniesionej do kwadratu. Ten os-

tatni operator powinien pojawi´

c si¸e w hamiltonianie, a jego wp lyw na en-

ergie w lasne mo˙zna obliczy´

c metod¸

a rachunku zaburze´

n. Dobrymi funkcjami

bazowymi, tzn. takimi, ˙ze operator zaburzenia jest w tej bazie diagonalny,
s¸

a funkcje ψ

nljm

j

. Poprawka do energii wynosi

E

(1)

0

nlj

=

Ze

2

µ

0

¯

h

2

8πm

2

1

2

[j(j + 1) − l(l + 1) −

3

4

](ψ

nljm

j

, ˆ

r

−3

ψ

nljm

j

).

Ostatni iloczyn skalarny - ca lka z funkcji wodorowych oraz r

−3

wynosi

Z

3

a

3

n

3

l(l+

1
2

)(l+1)

,

gdzie a =

4π

0

¯

h

2

e

2

m

= 0.529×10

−10

m. Po podstawieniu otrzymuje si¸e ostatecznie

(dla l > 0)

E

(1)

0

nlj

= −

α

2

Z

2

2n

j(j + 1) − l(l + 1) −

3
4

l(l +

1
2

)(l + 1)

E

n

,

gdzie α =

e

2

4π

0

¯

hc

≈

1

137

jest sta l¸

a struktury subtelnej, a E

n

jest energi¸

a niez-

aburzon¸

a. Dla wodoru (Z = 1) poprawka jest o 4 rz¸edy mniejsza od energii

niezaburzonej. Poprawka maleje ze wzrostem g l´

ownej liczby kwantowej n i

ro´snie ze wzrostem ladunku j¸

adra. Dla l = 0 ta poprawka jest r´

owna zeru,

bo j =

1
2

i zeruje si¸e licznik poprawki.

Dla wodoru r´

ownie istotna jest poprawka wynikaj¸

aca z relatywistycznego

przyrostu masy. Zwi¸

azek mi¸edzy energi¸

a i p¸edem powinien by´

c napisany jako

E = [p

2

c

2

+ m

2

c

4

]

1
2

= mc

2

s

1 +

p

2

m

2

c

2

≈ mc

2

[1 +

p

2

2m

2

c

2

−

p

4

8m

4

c

4

+ ...]

Najni˙zsza poprawka wynosi wi¸ec

−p

4

8m

3

c

2

, a perturbacyjna poprawka do energii

wynosi

E

(1)

00

nl

= (ψ

nljm

j

,

−p

4

8m

3

c

2

ψ

nljm

j

) = −

1

2mc

2

(ψ

nljm

j

, [H

0

+

Ze

2

4π

0

r

]

2

ψ

nljm

j

) =

−

1

2mc

2

[E

2

n

+ 2E

n

Ze

2

4π

0

r

−1

+

Z

2

e

4

(4π

0

)

2

r

−2

],

53

gdzie jak zwykle kreska oznacza warto´s´

c ´sredni¸

a. ´

Srednie te, b¸ed¸

ace zn´

ow

ca lkami z funkcji wodorowych, wynosz¸

a

r

−1

=

Z

n

2

a

,

r

−2

=

Z

2

(l +

1
2

)n

3

a

2

.

Po uporz¸

adkowaniu otrzymuje si¸e

E

(1)

00

nl

= −

α

2

Z

2

n

2

[

3

4

−

n

l +

1
2

]E

n

.

Istnieje jeszcze trzecia poprawka tego samego rz¸edu, mianowicie tzw.

poprawka Darwina, kt´

ora nie ma klasycznego odpowiednika. Daje ona wk lad

tylko dla stan´

ow z l = 0. Ma zwi¸

azek z faktem, ˙ze tylko dla stan´

ow z ze-

rowym mometem p¸edu funkcja falowa nie znika w r = 0, a w tym obszarze
energia potencjalna mo˙ze by´

c por´

ownywalna z energi¸

a spoczynkow¸

a. Wk lad

poprawki Darwina wynosi

E

(1)

000

nl

= −

α

2

Z

2

n

E

n

δ

l0

.

Po dodaniu tych trzech poprawek zale˙znych od liczb kwantowych n, l, j otrzy-
muje si¸e wynik niezale˙zny od l

E

(1)

nj

= −

α

2

Z

2

n

2

E

n

(

3

4

−

n

j +

1
2

)(∗ ∗ ∗).

Obecno´s´

c poprawki Darwina oraz fakt, ˙ze nie ma ju˙z wi¸ecej poprawek

rz¸edu α

2

wynika z formalnej teorii relatywistycznej cz¸

astki o spinie

1
2

i kluc-

zowego dla niej r´

ownania Diraca, kt´

ore jest w pewnym sensie uog´

olnieniem

r´

ownania Schr¨

odingera.

Zdegenerowane 2n

2

-krotnie poziomy energii o okre´slonej g l´

ownej licz-

bie kwantowej n zostaj¸

a wi¸ec rozszczepione na podpoziomy o okre´slonym

ca lkowitym momencie p¸edu. Dla wodoru (Z = 1) rozszepienie jest rz¸edu

1

20000

warto´sci energii niezaburzonej. Dla jon´

ow wodoropodobnych o wi¸ekszych Z

jest odpowiednio wi¸eksze. W szczeg´

olno´sci stan podstawowy (n = 1, l = 0,

s =

1
2

, j =

1
2

, m

j

= ±

1
2

) pozostaje dwukrotnie zdegenerowany, lecz zostaje

54

obni˙zony na osi energii. O´smiu stanom o n = 2 odpowiadaj¸

a dwa obni˙zone

poziomy energii, oba czterokrotnie zdegenerowane: j =

1
2

( m

j

= ±

1
2

, l = 0

lub l = 1) i j =

3
2

(m

j

= ±

1
2

, ±

3
2

, l = 1).

Utrzymuj¸

aca si¸e jeszcze degeneracja ze wzgl¸edu na l zostaje usuni¸eta

w wyniku oddzia lywania z wirtualnymi fotonami oraz polaryzacji pr´

o˙zni.

Wynikaj¸

aca z tych oddzia lywa´

n r´

o˙znica poziom´

ow 2

2

S

1
2

i 2

2

P

1
2

wynosi 4.4µ

eV (ok.10

−6

warto´sci energii niezaburzonej. Zastosowano tu u˙zywan¸

a w fizyce

atomowej notacj¸e: liczba 2 na pocz¸

atku oznacza warto´s´

c g l´

ownej liczby kwan-

towej, orbitalny moment p¸edu okre´slany jest liter¸

a (S-0, P-1, D-2, F-3, G-

4...), lewy g´

orny indeks oznacza liczb¸e 2s + 1 (tu s =

1
2

), a dolny indeks jest

r´

owny liczbie j. W niekt´

orych podr¸ecznikach dla pojedynczego elektronu rez-

erwuje si¸e ma le litery, a wypadkowych orbitalnych i spinowych moment´

ow

p¸edu - du˙ze.

Kolejne poprawki do energii zwi¸

azane s¸

a z oddzia lywaniami z j¸

adrem,

innymi ni˙z elektrostatyczne. Nale˙zy wzia´

c pod uwag¸e oddzia lywanie mo-

mentu magnetycznego jdra

¸ z polem magnetycznym wytwarzanym przez elek-

trony oraz kwadrupolowego momentu magnetycznego j¸

adra z gradientem

pola elektrycznego elektron´

ow. Podobnego rz¸edu wielko´sci mog¸

a by´

c prze-

suni¸ecia izotopowe: poprawki zwi¸

azane ze sko´

nczon¸

a mas¸

a j¸

adra i rozk ladem

ladunku w j¸

adrze. Mo˙zna wyr´

o˙zni´

c normalny efekt masy (r´

o˙zne izotopy maj¸

a

r´

o˙zne masy zredukowane elektron´

ow), specyficzny efekt masowy (dla atmo´

ow

woeloelektronowych sprz¸e˙zenie ruchu elektron´

ow przez oddzial ywanie z j¸

adrem)

oraz efekt pola (zmiany w rozk ladzie ladunku j¸

adra w zale˙zno´sci od izo-

topu, np. efekt obj¸etø’sciowy zwic¸

azany z zale˙zno´scica rozmiar´

ow j¸

adra od

liczby masowej. Post¸epowanie jest podobne jak w opisanym wy˙zej przypadku
rozszczepienia subtelnego, w szczeg´

olno´sci nale˙zy wprowadzi´

c ca lkowity mo-

ment p¸edu atomu (ca lkowity moment p¸edu elektronu + spin j¸

adra) i jego

funkcje w lasne.

Efekty te powoduj¸

a tzw. nadsubtelne rozszczepienie poziom´

ow, np. stan

podstawowy atomu wodoru ma struktur¸e dubletu o r´

o˙znicy energii ok. 5.9

µeV, co odpowiada emisji promieniowania o d lugo´sci 21 cm.

Utrzymuje si¸e przez ca ly czas degeneracja energii ze wzgl¸edu na liczby

kwantowe m.

55

15

Atom wodoru w polu magnetycznym

Elektron posiada moment magnetyczny

µ = −

e

2m

L −

e

m

s = −

e

2m

(L + 2s) = −

e

2m

(j + s)

zwi¸

azany zar´

owno z jego ruchem orbitalnym jak i ze spinem. Istotna kom-

plikacja jest zwi¸

azana z faktem, ˙ze wsp´

o lczynniki proporcjonalno´sci mi¸edzy

ka˙zdym z tych moment´

ow magnetycznych a odpowiednim momentem p¸edu

r´

o˙zni¸

a si¸e o czynnik 2. Gdy atom wodoru znajdzie si¸e w zewn¸etrznym sta lym

polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym wzd lu˙z osi z, pojawia si¸e do-
datkowa energia oddzia lywania

V = −µB =

e

2m

B(ˆ

j

z

+ ˆ

s

z

).

Gdy pole magnetyczne jest s labe, tzn. powoduje rozszczepienie znacznie

mniejsze od rozszczepienia subtelnego, oddzia lywanie V mo˙zna traktowa´

c

jako kolejn¸

a poprawk¸e perturbacyjn¸

a do hamiltonianu niezaburzonego, uwzgl¸edniaj¸

acego

ju˙z oddzia lywanie spin-orbita, poprawk¸e relatywistyczn¸

a do masy i poprawk¸e

Darwina. W pierwszym rz¸edzie rachunku zaburze´

n potrzebne b¸ed¸

a elementy

macierzowe (ψ

nljm

j

, V ψ

nljm

j0

), gdy˙z latwo pokaza´

c, ˙ze jest to macierz diag-

onalna w m

j

, cho´

c nie w j. Poprawki do energii dane s¸

a przez elementy

macierzowe o tych samych l i j

E

(1)

nljm

j

= (ψ

nljm

j

, V ψ

nljm

j

) =

e

2m

B(ψ

nljm

j

, [ˆ

j

z

+ ˆ

s

z

]ψ

nljm

j

).

Funkcje w tych elementach macierzowych s¸

a funkcjami w lasnymi operatora

ˆ

j

z

ale nie ˆ

s

z

. ´

Srednie warto´sci tego ostatniego operatora mo˙zna obliczy´

c for-

malnie korzystaj¸

ac z og´

olnych w lasno´sci transformacyjnych momentu p¸edu,

ale mo˙zna je wydedukowa´

c na podstawie modelu wektorowego. Nale˙zy sobie

wyobrazi´

c ˙ze momenty p¸edu L i s wykonuj¸

a precesj¸e wok´

o l kierunku wektora

j, a ten ostatni wykonuje precesj¸e wok´

o l osi z. ´

Srednia warto´s´

c s

z

b¸edzie

wi¸ec r´

owna ´sredniej rzutu s na kierunek j, rzutowanego nast¸epnie na o´s z

s

z

= (s

j

j

2

)j

z

.

Operator js mo˙zna wyliczy´

c korzystaj¸

ac z relacji L = j − s podniesionej do

kwadratu

ˆjˆs =

1

2

(ˆ

j

2

− ˆ

L

2

+ ˆ

s

2

).

56

Poprawka przyjmuje wi¸ec posta´

c

E

(1)

nljm

j

=

e

2m

B(ψ

nljm

j

, [1 +

ˆ

j

2

− ˆ

L

2

+ ˆ

s

2

2ˆ

j

2

]ˆ

j

z

ψ

nljm

j

).

Funkcje ψ

nljm

j

s¸

a funkcjami w lasnymi wszystkich wyst¸epuj¸

acych tu opera-

tor´

ow. Ostatecznie otrzymujemy

E

(1)

nljm

j

=

e

2m

B¯

hgm

j

(∗ ∗ ∗),

gdzie

g = 1 +

j(j + 1) − L(L + 1) +

3
4

2j(j + 1)

(∗ ∗ ∗)

nazywa si¸e czynnikem Land´

ego.

Poziom o okre´slonej liczbie kwantowej j zostaje rozszczepiony na 2j + 1

r´

owno odleg lych podpoziom´

ow r´

o˙zni¸

acych si¸e liczbami magnetycznymi m

j

.

Wielko´s´

c rozszczepienia jest proporcjonalna do pola i zale˙zy od liczb kwan-

towych L i j przez czynnik Land´

ego. Rozszczepienie to nazywa si¸e efektem

Zeemana.

Gdy pole magnetyczne jest silne, oddzia lywanie z tym polem musi by´

c

rozwa˙zane przed uwzgl¸ednieniem oddzia lywania spin-orbita (kolejne poprawki
powinny by´

c coraz mniejsze). Ca lkowity moment p¸edu przestaje by´

c za-

chowany, a liczba j przestaje by´

c u˙zyteczna. Nale˙zy najpierw za hamilto-

nian niezaburzony przyj¸

a´

c operator zawieraj¸

acy tylko oddzia lywanie kulom-

bowskie. Najwa˙zniejsze zaburzenie

V = −µB =

e

2m

B( ˆ

L

z

+ 2ˆ

s

z

).

Rachunek zaburze´

n najwygodniej przeprowadzi´

c teraz w bazie funkcji ψ

nlmm

s

,

bo zaburzenie jest w tej bazie diagonalne. Poprawka do energii pochodz¸

aca

od pola magnetycznego wynosi

E

(1)

nlmm

s

= (ψ

nlmm

s

,

e

2m

B[ ˆ

L

z

+ 2ˆ

s

z

]ψ

nlmm

s

) =

e¯

h

2m

B(m + 2m

s

).

Ten efekt rozszczepienia poziom´

ow energii nosi nazw¸e efektu Paschena-Backa.

Jako kolejne mniejsze zaburzenie mo˙zna dalej bada´

c oddzia lywanie spinowo-

orbitalne.

57

16

Atom wodoru w polu elektrycznym

Niech b¸edzie w l¸

aczone jednorodne sta le pole elektryczne o nat¸e˙zeniu E, skierowane

wzd lu˙z osi z. Powoduje ono, ˙ze energia oddzia lywania, w przybli˙zeniu niere-
latywistycznym czyli uwzgl¸edniaj¸

aca tylko oddzia lywanie kulombowskie, jest

wzbogacona o dodatkowy cz lon V = −Ed, gdzie d = −er jest operatorem
momentu dipolowego. Funkcje niezaburzone mo˙zna przyj¸

a´

c w postaci ψ

nlm

(operator oddzia lywania nie zale˙zy od spinu, a wi¸ec funkcje spinowe nie nic
nie zmieni¸

a: ich elementy macierzowe dadz¸

a tylko delty Kroneckera). Dla

stanu podstawowego, kt´

ory nie jest zdegenerowany (pomijaj¸

ac spin) mo˙zna

liczy´

c kolejne poprawki

E

(1)

1

= (ψ

100

, −Eˆ

dψ

100

) = 0.

Zerowanie si¸e elementu macierzowego wynika z faktu, ˙ze przy inwersji uk ladu
wsp´

o lrz¸ednych, tzn.

transformacji r → −r, iloczyn funkcji falowych (tu

nawet ka˙zda z nich) jest parzysty, a operator jest nieparzysty. W lasno´s´

c ta

przys luguje wszystkim ca lkom postaci (ψ

nlm

, −Edψ

n

0

lm

), poniewa˙z parzysto´s´

c

funkcji kulistych jest okre´slona i wynosi (−1)

l

. Druga poprawka do energii

wynosi

E

(2)

1

= e

2

E

2

X

(nlm)6=(100)

|(ψ

100

, ˆ

zψ

nlm

|

2

E

1

− E

n

,

jest wi¸ec proporcjonalna do kwadratu pola elektrycznego i efekt nazywa si¸e
kwadratowym efektem Starka. Z w lasno´sci funkcji kulistych wynika, ˙ze nieze-
rowy wk lad do sumy daj¸

a tylko wyrazy z l = 1, m = 0. Symboliczna suma

po n zawiera tak˙ze ca lk¸e po widmie ci¸

ag lym.

Dla pierwszego stanu wzbudzonego (n=2) istnieje degeneracja czterokrotna.

W pierwszym rz¸edzie rachunku zaburze´

n poprawki b¸ed¸

a warto´sciami w lasnymi

macierzy 4 × 4. Niech liczby 1,2,3,4 indeksuj¸

a kolejno stany ψ

200

, ψ

211

, ψ

210

,

ψ

21−1

. Latwo policzy´

c bezpo´srednim rachunkiem, ˙ze nie zeruje si¸e tylko ele-

ment macierzowy V

13

= V

31

= −3ea|E| ≡ U . Poprawki do energii otrzymamy

rozwi¸

azuj¸

ac r´

ownanie

det










−E

(1)

2

0

U

0

0

−E

(1)

2

0

0

U

0

−E

(1)

2

0

0

0

0

−E

(1)

2










= 0.

58

Otrzymujemy cztery warto´sci: E

(1)

21

= U , E

(2)

22

= −U , E

(1)

23

= E

(1)

24

=

0. Mamy wi¸ec cz¸e´sciowe zniesienie degeneracji, a przesuni¸ecie poziomu jest
proprocjonalne do pierwszej pot¸egi nat¸e˙zenia pola (liniowy efekt Starka).

17

Uk lady cz¸

astek identycznych

Uk lad dw´

och cz¸

astek o spinie

1
2

jest opisany albo funkcj¸

a typu

ψ(1, 2) = φ

1

(r

1

)

a

1

b

1

!

1

· φ

2

(r

2

)

a

2

b

2

!

2

,

albo kombinacj¸

a liniow¸

a takich funkcji. Indeks przy funkcji spinowej oznacza,

do kt´

orej cz¸

astki si¸e ona odnosi. Obliczj¸

ac iloczyn skalarny nale˙zy mno˙zy´

c

macierze spinowe z tym samym indeksem. Macierze spinowe r´

o˙znych cz¸

astek

s¸

a mno˙zone w sensie iloczynu tensorowego.

Gdy cz¸

astki s¸

a identyczne i ich chmury prawdopodobie´

nstwa znajd¸

a si¸e w

tym samym obszarze przestrzennym, a potem si¸e rozbiegn¸

a, tracimy mo˙zliwo´sci

ich rozr´

o˙znienia.

Proces zderzenia, w kt´

orym pierwsza cz¸

astka poleci w

prawo, a druga w lewo, nie da si¸e odr´

o˙zni´

c od procesu, w kt´

orym pierwsza

cz¸

astka poleci w lewo, a druga w prawo. Oba procesy musz¸

a by´

c wzi¸ete pod

uwag¸e jako r´

ownowa˙zne. Prawdopodobie´

nstwa obu tych proces´

ow musz¸

a by´

c

z lo˙zone poprzez dodawanie funkcji, a wi¸ec z mo˙zliwo´sci¸

a intereferencji.

Formalnym wyrazem nierozr´

o˙znialno´sci cz¸

astek i r´

ownoprawno´sci obu ta-

kich proces´

ow jest ˙z¸

adanie, aby opisuj¸

aca uk lad funkcja by la r´

ownocze´snie

funkcj¸

a w lasn¸

a operatora permutacji cz¸

astek P zdefiniowanego tak, ˙ze

P ψ(1, 2) = ψ(2, 1).

Operator P komutuje z hamiltonianem, albo inaczej

H(1, 2) = H(2, 1).

R´

ownanie w lasne dla P

P ψ(1, 2) = λψ(1, 2),

prowadzi do

P

2

ψ(1, 2) = λ

2

ψ(1, 2).

59

Operator P

2

powoduje dwukrotn¸

a zamian¸e cz¸

astek, czyli powr´

ot do konfig-

uracji pocz¸

atkowej

P

2

ψ(1, 2) = P ψ(2, 1) = ψ(1, 2).

St¸

ad λ

2

= 1, a λ = ±1.

Funkcj¸e spe lniaj¸

ac¸

a relacj¸e ψ(2, 1) = ψ(1, 2) nazywamy symetryczn¸

a, a

relacj¸e ψ(2, 1) = −ψ(1, 2) - antysymetryczn¸

a.

Dla uk lad´

ow N cz¸

astek rozumowanie takie mo˙zna powt´

orzy´

c dla dowolnej

pary. Funkcja symetryczna nie zmienia si¸e przy przestawieniu dowolnej pary
cz¸

astek, a funkcja antysymetryczna zmienia znak przy takim przestawieniu.

Dodatkowy postulat teorii kwantowej m´

owi:

Postulat V: Uk lady identycznych cz¸

astek o spinie ca lkowitym (bozony) opisy-

wane s¸

a funkcjami symetrycznymi, a uk lady cz¸

astek o spinie po l´

owkowym

(fermiony) - funkcjami antysymetrycznymi. Dowoln¸

a funkcj¸e latwo zsymetry-

zowa´

c lub zantysymetryzowa´

c. Niech funkcja ψ(1, 2, ..., N ) jest dowolna. Wt-

edy funkcja

ψ

s

(1, 2, ..., N ) = C

s

X

P

ψ(i

1

, i

2

, ..., i

N

)

jest symetryczna, a funkcja

ψ

a

(1, 2, ..., N ) = C

a

X

P

(−1)

P

ψ(i

1

, i

2

, ..., i

N

)

jest antysymetryczna.

Sumowanie przebiega po wszystkich permutacjach

i

1

, i

2

, ..., i

N

(w ilo´sci N !) liczb 1, 2, ..., N , a (−1)

P

jest parzysto´sci¸

a permu-

tacji, tzn. wynosi +1, gdy permutacj¸e mo˙zna otrzyma´

c przez parzyst¸

a liczb¸e

przestawie´

n, oraz −1, gdy ilo´s´

c przestawie´

n jest nieparzysta. Po takiej oper-

acji funkcj¸e trzeba na nowo unormowa´

c przez dob´

or sta lych C

s

i C

a

. Spec-

jalnie wa˙zny jest przyk lad antysymetryzacji funkcji b¸ed¸

acej iloczynem unor-

mowanych funkcji jednocz¸

astkowych, tzn.

ψ(1, 2, ...N ) = ψ

1

(1)ψ

2

(2)...ψ

N

(N ).

60

Wtedy

ψ

a

(1, 2, ..., N ) = C

a

X

P

ψ

1

(i

1

)ψ

2

(i

2

)...ψ

N

(i

N

) =

1

N !

1
2

det








ψ

1

(1)

ψ

1

(2)

...

ψ

1

(N )

ψ

2

(1)

ψ

2

(2)

...

ψ

2

(N )

...

...

...

...

ψ

N

(1) ψ

N

(2) ... ψ

N

(N )








.

Konsekwencj¸

a antysymetrii funkcji jest zakaz Pauliego m´

owi¸

acy, ˙ze dwa

fermiony nie mog¸

a znale´

z´

c si¸e w tym samym stanie.

Rzeczywo´scie, je´sli

wyst¸epuje identyczno´s´

c zespo l´

ow argument´

ow przestrzenych i spinowych (1)=(2),

czyli r

1

= r

2

i stany spinowe s¸

a identyczne, to przy zamianie argument´

ow

(1) → (2) i (2) → (1) z jednej strony nic si¸e nie zmieni, a z drugiej funkcja
musi zmieni´

c znak. Funkcja jest wi¸ec r´

owna zeru. Taka konfiguracja przestrzenna,

˙ze dwa elektrony o tym samym spinie s¸

a w otoczeniu tego samego punktu

przestrzeni jest wi¸ec nieprawodopodobna, nie tylko dlatego, ˙ze si¸e one odpy-
chaj¸

a.

Je´sli za lo˙zy´

c, ˙ze funkcje elektron´

ow w atomie wieloelektronowym chrak-

teryzowane s¸

a takimi samymi liczbami kwantowymi jak w atomie wodoru

(n, l, m, m

s

), czyli ψ

j

= ψ

n

j

,l

j

,m

j

,m

sj

i dwa zestawy tych liczb kwantowych

jest s¸

a identyczne, to wyznacznik zbudowany z takich funkcji zeruje si¸e i

zn´

ow taki stan jest zakazany.

W dalszej cz¸e´sci wyk ladu w nast¸epnym semestrze przedstawiony wy˙zej aparat
zastosowany b¸edzie do obliczania (przybli˙zonego) dozwolonych stan´

ow atom´

ow

wieloelektronowych, drobin i cia la sta lego, a tak˙ze do obliczania prawdopodobie´

nstw

indukowanych przej´s´

c mi¸edzy stanami stacjonarnymi

61