Praca domowa z analizy matematycznej nr 1

1

Praca domowa z analizy matematycznej nr 1

Zadanie 1. Wykazać, że poniższe formuły rachunku zdań są tautologiami:

a) p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r,
b) (p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ q ⇒∼ p),
c) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇐⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)],
d) [(p ∨ q) ∧ (∼ p)] ⇒ q,
e) [(p ∨ q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)].

Zadanie 2. Napisać zaprzeczenie poniższego wyrażenia, po czym przekształcić to
zaprzeczenie tak, by nie było w nim znaku negacji:

a) ∀

x

∃

a

∃

b

[(x < a) ∨ (x > b)],

b) ∀

x

∀

y

∃

a

∃

b

[(x < a) ∧ (y < b)].

Zadanie 3. Zbadać prawdziwość poniższych zdań, w których φ(a, x), gdzie a, x ∈

R oznacza funkcję zdaniową ax

2

+ x − 3 < 0.

a) ∀

a

∀

x

(φ(a, x)),

b) ∀

x

∃

a

(φ(a, x)),

c) ∃

x

∀

a

(φ(a, x)),

d) ∃

a

∀

x

(φ(a, x)),

e) ∀

a

∃

x

(φ(a, x)).

Zadanie 4. Wykazać:

a) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
b) Jeśli A = (A ∪ B) \ B, to A i B są rozłączne,
c) Jeśli A = (A \ B) ∪ B, to B ⊂ A.

Zadanie 5. Dane jest odwzorowanie f : R → R określone wzorem f (x) = |x|. Wy-
znaczyć obraz i przeciwobraz zbioru a) [0, 1], b) [−1, 1].

Zadanie 6. Dane jest odwzorowanie f : R → R określone wzorem f (x) = sin x.
Wyznaczyć obraz zbioru: a) [0, π], b) (0, π), c) R, d) {x: x = kπ, k ∈ Z} i przeciw-
obraz zbioru: e) {0}, f) (−∞, 1), g) (1, ∞).

Zadanie 7. Wyznaczyć funkcję odwrotną oraz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
i funkcji odwrotnej:

a) y = log

3



1
2

x + 1



,

b) y = −1 + arc cos(x + 5),

c) y =

1
3

sin



x
3

− 1



.

Praca domowa z analizy matematycznej nr 1

2

Zadanie 8. Obliczyć:

a) sin(2 arc tg 0,75),
b) cos(arc tg 2

√

3),

c) cos



arc sin

1
3

− arc cos

2
3



,

d) arc tg



tg

7π

8



.

Zadanie 9. Które z następujących funkcji są różnowartościowe i odwzorowują zbiór
liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych:

a) y = −2x + 3,
b) y =

1

1+x

2

,

c) y = x

5

− 1.

Zadanie 10. Dane są funkcje: f (x) = 1 + x oraz g(x) = 1 − x. Obliczyć złożenie
tych funkcji (o ile istnieje) f ◦ g, g ◦ f .