Praca domowa z analizy matematycznej nr 2

Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów:

(a) a

n

=

(n+2)!

3

n

,

(b) a

n

=

(n

2

+3)

n

,

(c) a

n

=

√

n

n+2

.

Zadanie 2. Obliczyć granice ciągów:

(a) lim

n→∞

2n

3

−4n−1

6n+3n

2

−n

3

,

(b) lim

n→∞

(n−1)(n+3)

3n

2

+5

,

(c) lim

n→∞



√

n + 2 −

√

n



,

(d) lim

n→∞



√

3n

2

+ 2n − 5 − n

√

3



,

(e) lim

n→∞



n

3

√

2 −

3

√

2n

3

+ 5n

2

− 7



,

(f) lim

n→∞

4

n−1

−5

4

n

−7

,

(g) lim

n→∞

(

2n

3

)

(3n−1)

3

.

Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:

(a) u

n

=

n

√

3

n

+ 2

n

,

(b) u

n

=

n

√

10

n

+ 9

n

+ 8

n

,

(c) u

n

=

n

r



3
2



−n

+



3
4



−n

+



5
6



−n

.

Zadanie 4. Wiedząc, że lim

n→∞



1 +

1

a

n



a

n

= e obliczyć granice:

(a) lim

n→∞



1 −

3

n



n

,

(b) lim

n→∞



n+5

n



n

,

(c) lim

n→∞



1 −

4

n



−n+3

,

(d) lim

n→∞



n

3

+7

n

3

−5



−4n

3

,

1

(e) lim

n→∞

ln



1 +

1

n



n

,

(f) lim

n→∞

n (ln(n + 1) − ln(n)),

(g) lim

n→∞



n!−2
n!+3



n!

2

,

(h) lim

n→∞



n

2

n

2

−2



1−n

2

,

(i) lim

n→∞



√

n−1

√

n+5



2

√

n+1

.

Zadanie 5. Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że:

(a) lim

n→∞

3n−1
4n+5

=

3
4

,

(b) lim

n→∞

n+1

3n+1

=

1
3

,

(c) lim

n→∞

1

n+5

= 0,

(d) lim

n→∞

√

n

2

+1+1

√

n

2

+1−1

= 1.

Zadanie 6. Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a

n

:

(a) lim

n→∞



1

n

2

+

2

n

2

+ · · · +

n−1

n

2



,

(b) lim

n→∞



1

2

n

3

+

3

2

n

3

+ · · · +

(2n−1)

2

n

3



,

wskazówka: skorzystać ze wzoru 1

2

+ 2

2

+ · · · + n

2

=

1
6

n(n + 1)(2n + 1),

(c) lim

n→∞

1

2

+2

2

+···+n

2

3n

3

+2n+1

,

(d) lim

n→∞



1

1·2

+

1

2·3

+ · · · +

1

n(n+1)



,

(e) lim

n→∞

1

3

+2

3

+···+n

3

n

4

,

wskazówka: skorzystać ze wzoru 1

3

+ 2

3

+ · · · + n

3

=



n(n+1)

2



2

,

(f) lim

n→∞



1 −

1

2

2

 

1 −

1

3

2

 

1 −

1

4

2



· · ·



1 −

1

n

2



,

wskazówka: każdy czynnik postaci 1 −

1

k

2

zapisać w postaci

k−1

k

k+1

k

,

(g) lim

n→∞



(sin n!)

n

n

2

+1

+

2n

3n+1

n

1−3n



,

(h) lim

n→∞

1+

1
2

+···+

1

2n

1+

1
3

+···+

1

3n

,

(i) lim

n→∞

√

n

2

+1+

√

n

4

√

n

3

+n−n

,

2

(j) lim

n→∞

n

√

2+1

2+(−1)

n

.

Zadanie 7. Obliczyć:

(a) lim

n→∞

n

n

2

+1

sin (5n − 8),

(b) lim

n→∞



sin (

√

n + 3) − sin (

√

n)



,

(c) lim

n→∞

1+2+···+n

n

4

−3

cos (n!).

3