1

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Macierzy kwadratowej stopnia n ( n wierszy i n kolumn) przyporządkowujemy liczbę

zwaną jej wyznacznikiem stopnia n.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|

Liczby tej (wyznacznika) szukamy następująco ( wykorzystując twierdzenia):

1.

Jeśli macierz jest stopnia pierwszego [a], wtedy jej wyznacznik jest równy temu wyrazo-

wi, czyli det [a] = |a| = a.

2.

det













d

c

b

a

= ad – bc.

3.

det A = det A

T

; wyznacznik danej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy trans-

ponowanej

4.

Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A są zerami, to

det A = 0.

5.

Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch wierszy (ko-

lumn), to det B = – det A.

6.

Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez

liczbę k i otrzymamy macierz B, to: det B = k det A.

7.

Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez dodanie do elementów pewnego wiersza (ko-

lumny) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez liczbę k,

to det B = det A.

8.

Jeżeli wszystkie elementy leżące w macierzy A poniżej (powyżej) głównej przekątnej są

równe zero ( A jest macierzą trójkątną), to det A jest równy iloczynowi elementów głównej

przekątnej.

Wskazówka:

a) Przy obliczaniu wyznaczników stopnia pierwszego oraz drugiego wykorzystujemy wprost

własności 1 i 2.

b) Przy obliczaniu wyznaczników stopnia wyższego niż drugi najkorzystniej jest tak prze-

kształcać daą macierz (zgodnie z tymi twierdzeniami), aby otrzymać macierz w postaci

trójkątnej i następnie wykorzystać własność 8.

2

Przykład 1.

Oblicz wyznacznik macierzy

A =

































−

−

−

−

−

1

4

3

2

1

5

2

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

4

1

5

4

3

2

5

Macierz A jest kwadratowa, zatem ma wyznacznik. Jest ona stopnia 5. Przekształcamy ją:

a) Od wiersza w

1

odejmuję wiersz w

5

, czyli w

1

– w

5

, otrzymujemy macierz B, w której

wiersz w

1

jest równy w

1

– w

5

a pozostałe wiersze się nie zmieniły:

B =

































−

−

−

−

−

1

4

3

2

1

5

2

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

4

1

6

0

0

0

6

.

Z własności 7 wynika, że det B = det A.

b) Wykonując analogiczne operacje na wierszach opisane wzorami: w

2

– w

5

, w

3

– w

5

,

w

4

– w

5

oraz na kolumnach zgodnie ze wzorem k

3

+ (k

1

+ k

2

+ k

3

+ k

4

) i otrzymujmy

macierz trójkątną:

M =

































−

−

−

−

9

4

3

2

1

0

6

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

6

Wykorzystując własność 7 oraz własność 9 mamy:

det M = 9 (-6)

4

= 11664, a tym samym det A = 11664.

Twierdzenie

3

Przykład 2.

det





















9

8

7

6

5

4

3

2

1

= 1

⋅

5

⋅

9 + 2

⋅

6

⋅

7 + 3

⋅

4

⋅

8 – 3

⋅

5

⋅

7 – 1

⋅

6

⋅

8 – 2

⋅

4

⋅

9 =

= 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0.

Definicja

Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0 (det A

≠

0) nazywa się macierzą

nieosobliwą.

4

Ćwiczenia

1.Oblicz wyznacznik:

a)

4

3

1

2

−

, b)

a

a

a

a

+

−

−

1

1

, c)

1

2

5

2

2

5

2

1

+

+

−

−

,

d)

6

3

1

0

2

3

4

5

1

−

−

−

, e)

6

4

1

3

2

1

1

1

1

−

−

−

, f)

1

1

2

3

)

1

(

2

)

1

(

2

1

2

)

1

(

2

)

1

(

+

+

−

−

−

−

−

−

−

n

n

n

.

g)

4

0

2

2

3

1

2

1

1

0

2

0

0

3

1

2

−

−

, h)

4

3

0

5

0

5

2

0

2

2

1

2

5

0

2

3

−

−

−

−

, i) ,

4

0

1

0

1

2

3

2

0

3

1

2

3

0

0

0

0

2

3

0

2

3

0

3

2

−

.

2. Oblicz:

a)

det













−

⋅













−

b

b

b

b

a

a

a

a

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

, b) det

2

2

3

1

2













−

−

, c) det ([1,-2, 3, 4]

⋅

























−

2

1

3

2

).

3. Sprawdź, czy det (A

⋅

B) = det A

⋅

det B, gdy

A =





















−

−

2

1

1

0

1

2

4

1

1

, B =





















1

0

1

2

1

3

1

1

0

.

4. Zbadaj, która macierz jest osobliwa:

a)

2

1

4

3

1

0

5

7

1

1

3

4

0

1

2

3

−

, b)

5

2

2

1

4

4

1

2

0

2

3

1

3

2

3

1

−

−

−

, c)

1

2

3

2

2

1

1

1

2

1

2

3

1

4

1

2

−

−

−

−

, d)





















9

8

7

6

5

4

3

2

1

.

5. Dane są punkty A = (2, 3), B = (4, 7), C = ( 3, 8).

a) Wyznacz składowe wektorów

AB

,

AC

,

CB

,

BA

+ 3

CB

, -2

AB

+ 4

AC

.

b) Oblicz pole równoległoboku „rozpiętego” na wektorach

BA

,

BC

.

c) Oblicz pole trójkąta ABC, „rozpiętego” na wektorach -2

AB

, 4

AC

.