Analiza funkcjonalna
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Spis treści
1
2
3
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Zofia Lewandowska
Stefan Banach
Matematykiem jest, kto umie znajdować analogie między
twierdzeniami;
lepszym, kto widzi analogie dowodów,
i jeszcze lepszym, kto dostrzega analogie teorii,
a można wyobrazić sobie i takiego, co między analogiami widzi
analogie.
Zofia Lewandowska
Warunki zaliczenia
1
Zaliczenie wykładu i ćwiczeń na ocenę - zgodnie z kartą
przedmiotu.
2
Egzamin pisemny.
Zofia Lewandowska
Warunki zaliczenia
1
Zaliczenie wykładu i ćwiczeń na ocenę - zgodnie z kartą
przedmiotu.
2
Egzamin pisemny.
Zofia Lewandowska
Program przedmiotu
ZGODNIE Z SYLABUSEM PRZEDMIOTU
Zofia Lewandowska
Literatura I
A. Alexiewicz: Analiza funkcjonalna, PWN Warszawa 1969.
J. Chmieliński: Notatki do wykładu analiza funkcjonal-
na, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków
2004.
W. Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej,
PWN Warszawa 1982.
J. Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN Warsza-
wa 1989.
S. Prus, A. Stachura: Analiza funkcjonalna w zadaniach,
PWN Warszawa 2007.
Zofia Lewandowska
Literatura II
J. Rusinek: Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami,
Wydawnictwo Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego
Warszawa 2004.
A. Pelczar: Elementy analizy funkcjonalnej, skrypt AGH Kra-
ków 1975.
W. Rudin: Analiza Funkcjonalna, PWN Warszawa 2002.
W. Rzymowski: Przestrzenie metryczne w analizie, Wydaw-
nictwo UMCS, Lublin 2000.
L.A. Lusternik, W. I. Sobolew: Elementy analizy funk-
cjonalnej, PWN Warszawa 1959.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
Definicja przestrzeni liniowej
Niech K będzie zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych, a X
niech będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niech będą określone
dwa działania:
dodawanie + : X × X → X,
mnożenie przez liczbę · : K × X → X
spełniające następujące warunki,
przy dowolnych x, y, z ∈ X, a, b ∈ K,
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
(L1)
x + y = y + x
(L2)
x + (y + z) = (x + y) + z
(L3)
istnieje element zerowy Θ ∈ X taki, że dla każdego x ∈ X
mamy x + Θ = x,
(L4)
dla każdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki,
że x + (−x) = Θ,
(L5)
a · (x + y) = a · x + a · y
(L6)
(a + b) · x = a · x + b · x
(L7)
a · (b · x) = (ab) · x
(L8)
1 · x = x
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa
Zbiór X z działaniami + i · nazywamy przestrzenią liniową lub
przestrzenią wektorową, rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od
tego, czy K jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych).
Oznaczamy (X, +, ·)
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przykłady przestrzeni liniowych
1
R, C
2
K
n
, np. R
n
, C
n
,
3
s
4
X(Ω) = {f : f : Ω → K}, gdzie Ω jest dowolnym niepustym
zbiorem,
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przykłady przestrzeni liniowych
1
R, C
2
K
n
, np. R
n
, C
n
,
3
s
4
X(Ω) = {f : f : Ω → K}, gdzie Ω jest dowolnym niepustym
zbiorem,
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przykłady przestrzeni liniowych
1
R, C
2
K
n
, np. R
n
, C
n
,
3
s
4
X(Ω) = {f : f : Ω → K}, gdzie Ω jest dowolnym niepustym
zbiorem,
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Przykłady przestrzeni liniowych
1
R, C
2
K
n
, np. R
n
, C
n
,
3
s
4
X(Ω) = {f : f : Ω → K}, gdzie Ω jest dowolnym niepustym
zbiorem,
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Uwaga
Rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni liniowej X
z działaniami: sumą algebraiczną i mnożeniem zbiorów przez liczby
nie jest przestrzenią liniową.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Działania na zbiorach
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową,
x
0
∈ X, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ K.
1
x
0
+ A = {x
0
+ a : a ∈ A}
2
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
3
λA = {λa : a ∈ A}
4
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
Przykład
R, A = {1, 3, 5, 7}, α = 2, β = 4
Czy spełniony jest aksjomat
(α + β)A = αA + βA?
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową.
Definicja podprzestrzeni liniowej
Niepusty podzbiór X
0
przestrzeni X nazywamy jej podprzestrzenią
liniową, jeżeli (X
0
, +, ·) jest przestrzenią liniową.
Kryterium
Niepusty podzbiór X
0
przestrzeni X jest jej podprzestrzenią
liniową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
1
x ∈ X
0
, y ∈ X
0
=⇒ x + y ∈ X
0
2
x ∈ X
0
, α ∈ K =⇒ αx ∈ X
0
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową.
Definicja podprzestrzeni liniowej
Niepusty podzbiór X
0
przestrzeni X nazywamy jej podprzestrzenią
liniową, jeżeli (X
0
, +, ·) jest przestrzenią liniową.
Kryterium
Niepusty podzbiór X
0
przestrzeni X jest jej podprzestrzenią
liniową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
1
x ∈ X
0
, y ∈ X
0
=⇒ x + y ∈ X
0
2
x ∈ X
0
, α ∈ K =⇒ αx ∈ X
0
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni s
1
m – przestrzeń ciągów ograniczonych
2
c – przestrzeń ciągów zbieżnych
3
c
0
– przestrzeń ciągów zbieżnych do zera
4
l
1
– przestrzeń ciągów bezwzględnie zbieżnych
5
m
0
– przestrzeń ciągów, których prawie wszystkie wyrazy są
równe zero
Uwaga
m
0
⊂ l
1
⊂ c
0
⊂ c ⊂ m ⊂ s
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni X[a, b]
Niech a ∈ R, b ∈ R, a < b.
1
C[a, b] – przestrzeń funkcji ciągłych w [a, b]
2
B[a, b] – przestrzeń funkcji ograniczonych w [a, b]
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni X[a, b]
Niech a ∈ R, b ∈ R, a < b.
1
C[a, b] – przestrzeń funkcji ciągłych w [a, b]
2
B[a, b] – przestrzeń funkcji ograniczonych w [a, b]
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady podprzestrzeni liniowych przestrzeni X[a, b]
Niech a ∈ R, b ∈ R, a < b.
1
C[a, b] – przestrzeń funkcji ciągłych w [a, b]
2
B[a, b] – przestrzeń funkcji ograniczonych w [a, b]
Uwaga
C[a, b] ⊂ B[a, b] ⊂ X[a, b]
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykład
Niech (X, +, ·) będzie przestrzenią liniową.
Niech x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X.
Niech X
0
będzie zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elemen-
tów x
1
, x
2
, . . . , x
n
, czyli
X
0
= {a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
: a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ K}.
Wtedy X
0
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X.
X
0
jest najmniejszą podprzestrzenią liniową przestrzeni X
zawierającą elementy x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Definicja metryki
Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję % określoną na X × X
o wartościach nieujemnych nazywamy metryką, jeżeli spełnia dla
x, y, z ∈ X następujące warunki:
(M1)
%(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(M2)
%(x, y) = %(y, x),
(M3)
%(x, y) 6 %(x, z) + %(z, y).
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przestrzeń metryczna
Definicja metryki
Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję % określoną na X × X
o wartościach nieujemnych nazywamy metryką, jeżeli spełnia dla
x, y, z ∈ X następujące warunki:
(M1)
%(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(M2)
%(x, y) = %(y, x),
(M3)
%(x, y) 6 %(x, z) + %(z, y).
Definicja przestrzeni metrycznej
Parę (X, %) nazywamy przestrzenią metryczną.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przykłady
1
(R, %), gdzie %(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R
2
(X, %), gdzie % – metryka zero-jedynkowa
3
(R
2
, %), gdzie % – metryka euklidesowa
4
(R
2
, %), gdzie % – metryka „rzeka”
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przykłady
1
(R, %), gdzie %(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R
2
(X, %), gdzie % – metryka zero-jedynkowa
3
(R
2
, %), gdzie % – metryka euklidesowa
4
(R
2
, %), gdzie % – metryka „rzeka”
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przykłady
1
(R, %), gdzie %(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R
2
(X, %), gdzie % – metryka zero-jedynkowa
3
(R
2
, %), gdzie % – metryka euklidesowa
4
(R
2
, %), gdzie % – metryka „rzeka”
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni liniowej
Przykłady
Działania na zbiorach
Podprzestrzeń liniowa
Przykłady
Przykłady
1
(R, %), gdzie %(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R
2
(X, %), gdzie % – metryka zero-jedynkowa
3
(R
2
, %), gdzie % – metryka euklidesowa
4
(R
2
, %), gdzie % – metryka „rzeka”
Zofia Lewandowska
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
analizatory id 62011 Nieznany (2)
analizaf 5 id 61957 Nieznany (2)
analizaf 3 id 61954 Nieznany (2)
analiza2 id 61920 Nieznany (2)
AnalizaSciezek id 61987 Nieznany (2)
AnalizaSWOT id 61991 Nieznany (2)
analizaf 6 id 61959 Nieznany (2)
analizaDyskryminacyjna id 61950 Nieznany (2)
analiza 4 id 59704 Nieznany (2)
analiza 5 id 59707 Nieznany (2)
analizaf 4 id 61955 Nieznany (2)
analizaf 8 id 61961 Nieznany (2)
analizaWyklad 3 1 id 62026 Nieznany
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron