Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech X1, X2, X3, X4 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie z gęstością
2
ż#
�#
gdy x > 1.
f (x) =
�#
x3
�#
0 gdy x d" 1
�#
�# ś#
min{X1, X2, X3, X4}ź#
ś#
Obliczyć Eś#
max{X1, X2, X3, X4}ź#
�# #
16
(A)
45
128
(B)
245
8
(C)
35
5
(D)
16
16
(E)
35
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X0, X1, X2,K, Xn,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.
Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną
EN =  , niezależną od zmiennych X0, X1, X2,K, Xn,K.
Niech
M = min{X0, X1, X2,K, X }.
N N
Wyznaczyć Cov(M , N).
N
 +1
(A) 1- (1- e-)

1
(B) 1- (1- e-)

(C) 1
1
(D) - (1- e-)

1
(E) e- -

2
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech N, X1, X2,K, Xn,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym
zmienna losowa N ma rozkład geometryczny
P(N = n)= (1- q)qn dla n = 0,1,2,K ,
gdzie q "(0,1) jest ustaloną liczbą, a X1, X2,K, Xn,K są zmiennymi losowymi o
1
tym samym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną . Niech

X1 + X2 +K + X gdy N > 0
ż#
N
S = .
�#
0 gdy N = 0
�#
Wyznaczyć prawdopodobieństwo P(S d" x), gdy x e" 0 .
e-(1-q)x
(A) 1- 2q
e-(1-q)x +1
(B) 1- (1- q)e-(1-q)x
(C) 1- qe-(1-q)x
(D) 1- qe-qx
q
(E) 1-
1+ (1- q)x
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się trzydzieści kul, na każdej narysowana jest litera i cyfra. Mamy
10 kul oznaczonych X1
8 kul oznaczonych Y1
8 kul oznaczonych X2
4 kule oznaczone Y2.
Losujemy bez zwracania 15 kul. Niech NX określa liczbę kul oznaczonych literą X
wśród kul wylosowanych, a N2 liczbę kul z cyfrą 2 wśród kul wylosowanych.
Obliczyć E(NX | N2).
5
(A) 8 - N2
36
1 1
�#25 - N2 ś#
(B)
ś# ź#
3 3
�# #
1 1
�#25 + N2 ś#
(C)
ś# ź#
3 3
�# #
1
(D) (25 + N2)
3
5
(E) 8 + N2
36
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Zmienne losowe X1,K, Xn,K są warunkowo niezależne przy danej wartości
� "(0,1) i mają rozkład prawdopodobieństwa
P(Xi = 1|� ) = � = 1- P(Xi = 0 |� ).
Zmienna losowa � ma rozkład beta określony na przedziale (0,1) o gęstości
2
f (� ) = 12� (1-� ) .
n
Niech Sn = Xi . Obliczyć P(S8 > 0 | S6 = 0).
"
i =1
5
(A)
11
4
(B)
5
1
(C)
2
3
(D)
4
7
(E)
11
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Wykonujemy n rzutów kością do gry i weryfikujemy hipotezę H0 mówiącą, że kość
jest rzetelna - tzn. że każda liczba oczek pojawia się z jednakowym
1
2
prawdopodobieństwem równym . Standardowy test � na poziomie istotności 0.01
6
2
odrzuca hipotezę zerową, jeśli obliczona wartość statystyki � przekracza 15.0863
2
(kwantyl rzędu 0.99 rozkładu � z pięcioma stopniami swobody).
Przypuśćmy, że wykonaliśmy tylko n = 6 rzutów. Jest to zbyt mało, żeby
2
asymptotyczne przybliżenie rozkładu � było zadowalające. Faktyczny rozmiar testu:
2
 odrzucamy H0 , jeśli wartość statystyki � przekroczy 15.0863 wynosi:
1
(A)
65
5
(B)
65
31
(C)
66
31
(D)
65
1
(E)
64
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej Yi = �xi + �i . Obserwujemy 5 elementową próbkę, w której xi = i dla
i = 1,2,K,5 . Zmienne losowe Y1,Y2,K,Y5 są niezależne i błędy mają rozkłady
2
normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym Var�i = i� , gdy i = 1,2,K,5 .
Ć
Wyznaczono estymator � parametru � wykorzystując ważoną metodę
5
i
najmniejszych kwadratów, to znaczy minimalizując sumę . Wyznaczyć
"(Y - �xi)2
Var�i
i=1
Ć
stałą z tak, aby P(| � - � |< z�)= 0.95 .
(A) 1.96
(B) 7.59
(C) 3.96
(D) 0.51
(E) 0.42
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X2,K, X6 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
jednostajnego na przedziale (0,� ), gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem.
Zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H0 : � = 1 przy
alternatywie H1 : � `" 1 na poziomie istotności 0.125.
Obszar krytyczny tego testu jest równy
ż#
�#
2
�#max X2,K, X6}"ś#0, ś# 2,+")�#
ź#
(A) {X1, *"(�#
�# Ź#
ś# ź#
2
�# �#
�# #
�# �#
ż# �#
�#
2
�#max X2,K, X6}"ś#0, ś#
ź#
(B) {X1, *" (1,+")�#
�# Ź#
ś# ź#
2
�# �#
�# #
�# �#
ż# �#
�# ś#
2
�#max X2,K, X6}"ś#0, ś# �# ,+"ź#�#
ź# ś#1+ 2 ź#Ź#
(C) {X1, *"
�#
ś# ź# ś#
2 2
�#
�# # �# #�#
�# �#
ż# �#
�# ś#
7
�#max X2,K, X6}"ś#6 ,+"ź#�#
(D) {X1,
�#
ś# ź#Ź#
8
�#
�# #�#
�# �#
ż# �#
�# ś#
�#max X2,K, X6}"ś#1- 2
(E) {X1, ,+"ź#�#
�#
ś# ź#Ź#
2
�#
�# #�#
�# �#
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Niech X1, X2,..., Xn będzie próbką z rozkładu wykładniczego o gęstości określonej
dla x > 0 wzorem:
f (x) =  exp(- x).
Nie obserwujemy dokładnych wartości zmiennych Xi , tylko wartości zaokrąglone w
górę do najbliższej liczby całkowitej. Innymi słowy, dane są wartości zmiennych
losowych Z1,Z2,...,Zn , gdzie
Zi =
Ą#X ń#.
i
(symbol oznacza najmniejszą liczbą całkowitą k taką, że a d" k ).
Ą#ań#
n
Niech S = .
"Zi
i=1
Ć
Oblicz estymator największej wiarogodności  nieznanego parametru  oparty na
obserwacjach Z1, Z2 ,..., Zn .
S
Ć
(A)  = ln�# -1ś#
ś# ź#
n
�# #
n
Ć
(B)  =
S
n
Ą# ń#
Ć
(C)  =
ó#S Ą#
ó# Ą#
S
Ć
(D)  =
n
n
ś#
Ć
(E)  = -ln�#1- ź#
ś#
S
�# #
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Załóżmy, że W1,W2 ,...,Wn ,... jest ciągiem zmiennych losowych takim, że
" zmienna W1 ma gęstość Pareto: dla w1 > 0
4
f (w1) =
(1+ w1)5
" warunkowo, dla danych W1,W2 ,...,Wn , zmienna Wn+1 ma gęstość Pareto: dla
wn+1 > 0
4
ż#
gdy wn d" 1;
�#
�# (1+ wn+1)5
f (wn+1 | w1,...., wn) =
�#
3
�#
gdy wn > 1;.
�#
�#(1+ wn+1)4
Wyznaczyć lim E(Wn ) .
n"
22
(A) lim E(Wn) =
n"
45
31
(B) lim E(Wn) =
n"
90
11
(C) lim E(Wn) =
n"
32
47
(D) lim E(Wn) =
n"
96
23
(E) lim E(Wn) =
n"
90
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 paz
dziernika 2007 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 E
2 A
3 C
4 C
5 A
6 D
7 D
8 B
9 E
10 B
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11