E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

1

Q

sr

= P

s

(s) * min q

i

; i = 1, 2 ...n

Q

WY

= Q

WE

* P

s

(s)

WYKŁAD 2

STRUKTURY SYSTEMU PRODUKCYJNEGO

I ANALIZA PRZEPŁYWÓW

Podstawowe oznaczenia przy opisach przepływów:
Q

we,

Q

wy

- wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i

wyjściowego,
q

i

- wydajność i - tego urządzenia,

i = 1, 2 .... n - numer urządzenia ut

i

,

p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia ut

i

1. Struktura szeregowa

q

1

q

2

q

i

q

n

Q

we

Q

wy

p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)

Wydajność średnia układu wynosi:

przy czym niezawodność układu szeregowego wynosi:

n

P

s

(s) =



{p (i)} ;

i=1

Ponadto:



gdy Q

WE

< min q

i

2. Struktura równoległa
q

1

p (1)

q

2

p (2)

Q

WE

Q

WY

q

i

i p (i)

q

n

p (n)

ut

1

ut

2

ut

i

ut

n

ut

1

ut

2

ut

n

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

2

Q

WY

= P

R

(s) * Q

WE

Wydajność układu wynosi:

n n



gdy Q

WE

>



q

i

=> Q

WY

= P

R

(s) *



q

i

i=1 i=1

n



gdy Q

WE

<



q

i

=>

i=1

przy czym niezawodność układu równoległego wynosi:

n

P

R

(s) = 1 -



[ 1 - p (i)] ;

i=1

3. Typowe modele przepływów w procesach produkcyjnych

Z punktu widzenia procesów logistycznych wyróżnia się dwa podstawowe
rodzaje procesów produkcyjnych:



procesy aparaturowe (dywergencyjne, dywersyfikujące)



procesy obróbczo - montażowe (konwergencyjne, syntetyzujące)

3.1.Procesy aparaturowe (dywergencyjne) - charakteryzują się tym, że z
niewielkiej liczby surowców (półproduktów), w kolejnych etapach produkcji,
wytwarzany jest liczny asortyment wyrobów dostosowany do popytu klientów –
rysunek 1.

Rys. 1. Schemat procesu dywergencyjnego

3.2.Procesy obróbczo – montażowe (konwergencyjne) lub syntetyzujące
charakteryzują się tym, że z wielu materiałów (surowców, półproduktów lub
produktów) wytwarza się ograniczony asortyment wyrobów gotowych – rys. 2.

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

3

Rys. 2. Schemat procesu konwergencyjnego

Ze względu na dużą złożoność procesów konwergencyjnych, a w
szczególności ze względu na „dużą wymiarowość” tych procesów (duża liczba
zmiennych decyzyjnych), sterowanie przepływami materiałów oraz informacji w
tych procesach jest bardzo skomplikowane, a do sterowania wykorzystuje się
wiele metod.
Z tego powodu powinno się „klasyfikować” przepływy produkcyjne w
ustalone, znane rozwiązania organizacji przepływów.
Są to:



linie potokowe stałe zsynchronizowane,



linie potokowe stałe niezsynchronizowane,



linie potokowe zmienne,



gniazda przedmiotowe o produkcji powtarzalnej,



gniazda o produkcji niepowtarzalnej.

4. Możliwości zwiększania wydajności struktur zawodnych



Niezawodność obiektu to jego zdolność do spełnienia wymagań (czyli jest to

stan obiektu).



Niezawodność obiektu jest to prawdopodobieństwo spełnienia przez obiekt

stawianych mu wymagań ( a zatem jest to liczba 0 < P < 1 ).



Niezawodność obiektu jest to prawdopodobieństwo, że obiekt będzie sprawny

w okresie (t

1

, t

2

)

Prawdopodobieństwo zdatności P (s)

Do określenia zdatności wykorzystywany jest dodatkowy parametr opisujący
urządzenie - wskaźnik uszkodzeń



:

t

pn

czas postojów nieplanowanych (uszkodzeń)



=

t

p

czas pracy urządzenia

jako wartość średnią wskaźnika przyjmuje się:

t

pn

E



=



t

p

B

E - średnia wartość czasu trwania postoju urządzenia wskutek uszkodzenia
(czas naprawy),

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

4

B - średnia wartość czasu nieprzerwanej pracy urządzenia.
Zwiększanie wydajności następuje najczęściej poprzez:



dobór urządzeń o wyższych zdatnościach (niezawodnościach),



zastosowanie redundancji, czyli nadmiaru dla całego układu

(tzw. zrównoleglanie układu),



zastosowanie redundancji, czyli nadmiaru dla wybranych elementów układu

(tzw. zrównoleglanie składników),



zainstalowanie w układzie dodatkowego elementu pojemnościowego -

zbiornika (składu, bufora).

4.1. METODA ZRÓWNOLEGLANIA SKŁADNIKÓW

Metoda polega na równoległym dołączaniu do poszczególnych urządzeń
elementów nadmiarowych. W ten sposób otrzymujemy „n” gałęzi, w których
dołączonych jest „m

i

” elementów nadmiarowych. Jest to układ o strukturze

szeregowej, w którym poszczególne gałęzie posiadają strukturę
równoległą.
Założenia:
Q

we,

Q

wy

- wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i

wyjściowego,
q

i

- wydajność i - tego urządzenia,

i = 1, 2 .... n - numer urządzenia ut

i

(także "gałęzi")

m

i

- ilość elementów dołączonych do i - tej "gałęzi",

p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia ut

i

q

1

q

2

q

i

q

n

Q

we

Q

wy

p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)

Niezawodność takiego układu nadmiarowego wynosi:

n m

i

P

rs

(n, m) =



[ 1 -



( 1 - p (i)) ] ;

i=1 i=1

1

2

m

1

2

m

2

i

m

i

n

m

n

m

1

- 1

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

5

4.2. METODA ZRÓWNOLEGLANIA UKŁADU

Metoda polega na równoległym dołączaniu do istniejącej struktury szeregowej
urządzeń struktur nadmiarowych. W ten sposób otrzymujemy „m” gałęzi. Jest to
układ o strukturze równoległej, w którym poszczególne gałęzie posiadają
strukturę szeregową.
Założenia:
Q

we,

Q

wy

- wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i

wyjściowego,
q

i

- wydajność i - tego urządzenia,

i = 1, 2 .... n - numer urządzenia ut

i

,

j = 1, 2 .... m - ilość dołączonych "gałęzi",
p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia ut

i

q

1

q

2

q

i

q

n

Q

we

Q

wy

1
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)

q

1

q

2

q

i

q

n

2

p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)

j

q

1

q

2

q

i

q

n

m

p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)

Niezawodność takiego układu nadmiarowego wynosi:

m n

P

ru

(n, m) = 1 -



[ 1 -



p (i) ] ;

j=1 i=1

4.3. UKŁAD Z ELEMENTEM POJEMNOŚCIOWYM

Dany jest układ  zastosowano w nim element pojemnościowy o zasobie Z.

1

1

1

2

2

2

i

i

i

n

n

n

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

6

Q

DO

Q

OD

Zadania urządzenia pojemnościowego:



podczas uszkodzenia jednego z elementów "części dostarczającej" materiał

do zbiornika, możliwe jest przesyłanie materiału do odbiorcy ze zbiornika,



podczas uszkodzenia jednego z elementów "części odbierającej" materiał ze

zbiornika, możliwe jest gromadzenie materiału w zbiorniku, przy czym
odbiorca nie otrzymuje materiału do chwili zakończenia naprawy uszkodzenia.

ANALIZA STANÓW W UKŁADACH Z ELEMENTEM

POJEMNOŚCIOWYM

Celem analizy jest ustalenie wpływu elementu pojemnościowego

na wydajność układu urządzeń.
Zmiennymi decyzyjnymi w analizie są:

 pojemność elementu,
 położenie elementu pojemnościowego w strukturze urządzeń.

Schemat układu:

Q

DO

część dostarczająca DO

element pojemnościowy

Q

OD

część odbierająca OD



1



2



k

Z



k+1



n

DO

Z

OD



DO



OD

dZ
= Q

DO

- Q

OD

dt

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

7

1. Analiza możliwych stanów urządzeń

Dla celów analizy wpływu parametrów bufora na sprawność układu

przyjęto, że część dostarczająca i część odbierająca mogą znaleźć się w
następujących stanach:



S – pracuje;



A – uszkodzony;



P – element w postoju wymuszonym.

Z kolei trzecia część – bufor może przyjąć jeden z trzech poniższych stanów:



1 – pusty;



2 – częściowo zapełniony;



3 – pełny.

Uogólnienie powyższych założeń dla potrzeb całego układu pozwala

stwierdzić, że liczba stanów w jakich może znaleźć się układ wynosi:

27

3

3

3

n





Przykładowy opis stanu:

P3A - oznacza, że nie ma przepływu materiału w układzie, gdyż:

a). część odbierająca „OD” znajduje się w stanie awarii „A”;
b). bufor jest pełny;
c). część dostarczająca „DO” znajduje się w postoju wymuszonym „P” .

Przyjęcie założeń upraszczających pozwoliło na redukcję liczby możliwych

stanów do ośmiu, które zebrano w tabeli 1 wraz z możliwymi między nimi
przejściami, które dodatkowo ilustruje graf przejść.

S2S

A2S

S2A

A1P

A2A

S2S

S3A

P3A

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

8

Tab.1. Tabela możliwych stanów

Stan poprzedni

Lp.

Stan aktualny

Stan następny

4

1

S1S

4,6

5,6

2

S2S

5,6

8

3

S3S

5,8

1,5

4

A1P

1

2,3,7

5

A2S

2,7,4

1,2,7

6

S2A

7,2,8

5,6

7

A2A

6,5

3,6

8

P3A

3

S – sprawny (pracuje);
A – uszkodzenie (awaria); P – postój wymuszony

1, 2, 3 –stany zasobnika (pusty,
P3A częściowo zap., pełny) A1P

S1S

S2S
S3S

S2A A2S



A2A

Graf stanów i przejść

2. Algorytm obliczeń przepływu materiału w systemach

z elementem pojemnościowym (buforem)

W obliczeniach część dostarczającą i część odbierającą scharakteryzowana jest
czasem trwania naprawy i czasem pracy do uszkodzenia. Analizie poddane jest
osiem podstawowych stanów układu.

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

9

Zarówno czas pracy jak i czas naprawy są zmiennymi losowymi opisanymi
rozkładem eksploatacyjnym – wykładniczym.

Za dane wejściowe przyjęto poniższe parametry:



Wskaźnik uszkodzeń każdego pojedynczego urządzenia:

n

i

I

...

2

,

1

;





;



Pojemność zasobnika:

V = {V

1

, V

2

…..V

i

…V

k

}



Średni czas pracy każdego urządzenia: B(I), B(II);



Średni czas naprawy każdego urządzenia E(I), E(II);

II

I

κ

)

II

(

B

)

II

(

E

;

κ

)

I

(

B

)

I

(

E











Rzeczywiste czasy trwania stanu (praca, naprawa) są wyliczane z

funkcji gęstości rozkładu wykładniczego:

t

λ

e

λ

)

t

(

f





stąd:

;

ln C

t







gdzie:



- wartość średnia B(IS), E(IS)

)

,

(

C

1

0



-

zmienna losowa;



MOMENT KOŃCA STANU „TK”:

TK = min (TU (I), TU (II) )



Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II (czas pracy):

TU(I) = - B(I) * ln C

TU(II) = - B(II) * ln C



Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX



Produkcja P:

P = P + W * CRS



Generowanie czasu naprawy urządzenia I lub II (urządzenia IS):

CN (IS) = - E(IS) * ln C



Moment końca naprawy:

TN (IS) = TK + CN (IS)



Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu



MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min ( TU (I), TU (II))



Czas pracy systemu CRS:

CRS = TK - TX



Produkcja P:

P = P + CRS * W



Generowanie czasu naprawy urządzenia IS:

CN(IS) = - E(IS) * ln C

STAN S1S

TK = TU (I)

A1P

STAN S2S

TK = TU (II)

S2A

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

10



Moment zakończenia naprawy IS:

TN (IS) = TK + CN (IS)



Początek następnego stanu :

TX = TK

Przejście do następnego stanu



MOMENT ZAKOŃCZENIA STANU:

TK = min ( TU(I), TU(II) )



Czas pracy systemu CRS:

CRS = TK - TX



Produkcja P:

P = P + W * CRS



Generowanie czasu naprawy urządzenia, dla którego TK = TU (IS):

CN (IS) = - E (IS) * ln C



Moment końca naprawy urządzenia IS:

TN (IS) = TK + CN (IS)



Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu



MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:

TK = TN (I)



Generowanie czasu pracy urządzenia I:

CR (I) = - B(I) * ln C



Czas trwania stanu A1P:

CP = TK - TU (I) = CN (I)



Poprawa momentów uszkodzeń:

TU (I) = TK + CR (I)

TU (II) = TU (II) + CP



Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu



Czas do opróżnienia zasobnika CV:

CV = Q / W



Moment zakończenia stanu:

TK = min ( TN(I), TU(II), TX + CV )



Czas trwania stanu:

CP = TK - TX

STAN A2S

STAN S3S

STAN A1P

TK = TU (I)

A2S

TK = TU (I)

A2S

TK = TN (I)

S1S

TK = TU (II)

S2A

TK = TU (II)

P3A

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

11



Produkcja P P = P + CP * W



Stan zasobnika Q: Q = Q - W * CP



Generowanie czasu:

- pracy, jeżeli TK = TN (I):

CR (I) = - B (I) * ln C

- naprawy, jeżeli TK = TU (II):

CN (II) = - E (II) * ln C



Początek następnego stanu: TX = TK

Przejście do następnego stanu



Czas do zapełnienia zasobnika CV:

CV = ( V - Q ) / W



MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )



Czas trwania stanu:

CP = TK - TX



Zapełnienie zasobnika Q:

Q = Q + W * CP



Generowanie czasu:

- naprawy, jeżeli TK = TU (I)

CN (I) = - E (I) * ln C

- moment zakończenia naprawy:

TN (I) = TU (I) + CN (I)

- pracy, jeżeli TK = TN (II)

CR (II) = - B (II) * ln C

- moment zakończenia pracy:

TU (II) = TK + CR (II)

Początek nowego stanu :

TX = TK

Przejście do następnego stanu

3. PRZYKŁAD

Dane:

W = 1,



= 0,02

B(I) = B(2) = 30; średni czas pracy do uszkodzenia,

i = 5 - położenie zasobnika,

E(I) = E(II) = (0,02*5)*30 = 3; średni czas naprawy,

V = 2 - pojemność zasobnika,

C - wygenerowana liczba losowa z przedziału (0, 1).

1. Warunki początkowe: TX=0 - czas, P=O - produkcja, Q=0 - zasób.

STAN S2A

TK = TN (I)

TU (I) = TK + CR (I)

S2S

TK = TU (I)

A2A

TK = TU (II)

TN (II) = TK + CN (II)

A2A

TK = TN (II)

S2S

TK = TX + CV

A1P

TK = TX + CV

P3A

OBLICZENIA

S1S

E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów

12



MOMENT KOŃCA STANU „TK”:

TK = min (TU (I) )



Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II:

TU(I) = - B(I) * ln C = - 30 * ln 0.8737 = 4.05
TU(II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.7615 = 8.17



Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX = 4.05 - 0 = 4.05



Produkcja P:

P = P + W * CRS = 0 + 1 * 4.05 = 4.05



Generowanie czasu naprawy urządzenia I:

CN (I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.6701 = 1.2



Początek następnego stanu: A1P (bo zasobnik pusty - 1)

TX = TK = 4.05

2.



MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:

TK = TX + CN(I) = 4.05 + 1.2 = 5.25



Generowanie czasu pracy urządzenia I:

CR (I) = - B(I) * ln C= - 30 * ln 0,0856 = 73.7



Czas trwania stanu A1P:

CP = CN (I) = 1.2



Poprawa momentów uszkodzeń:

TU (I) = TK + CR (I) = 5.25 + 73.7 = 78.95
TU (II) = TU (II) + CP = 8.17 + 1.2 = 9.37



Początek następnego stanu: S1S

TX = TK = 5.25

3.



MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min ( TU ) = TU (II) = 9.37 --> S2A



Generowanie czasu naprawy urządzenia II:

CN (II) = - E (II) * ln C = - 3 * ln 0.5329 = 1.89



Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX = 9.37 - 5.25 = 4.12



Produkcja P:

P = P + W * CRS = 4.05 + 1*4.12 = 8.17



Początek następnego stanu: S2A

TX = TK = 9.37

4.



Czas do zapełnienia zasobnika CV:

CV = ( V - Q ) / W = 2/1 = 2



MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
…………………………………………………………………………………..

S1S

S2A

A1P