Komentarz do wykładu:
Wyznaczenie odstępu geoidy od elipsoidy metodą grawimetryczną
Systemy wysokości w geodezji

Slajd 2:
Odstęp powierzchni geoidy od elipsoidy wynika z podstawowego równania geodezji fizycznej (p.r.g.f )
[1] uzupełnionego o zależność Brunsa [2]. Pierwszy wyraz p.r.g.f. to tzw. anomalia właściwa
spowodowana zakłóceniami w rozkładzie masy, drugi wyraz to wpływ niepokrycia się elipsoidy z
geoidą. Dla sferycznej powierzchni ekwipotencjalnej i dowolnego stanowiska, na podstawie [1] i [2]
można wyprowadzić podobnie jak dla dla składowych odchylenia linii pionu (V-M), wzór na odstęp w
funkcji anomalii grawimetrycznej tzw.wz.Stokesa [3], gdzie: R – promień sfery,

ρ

- promień wodzący

stanowiska centrum masy bryły (geoidy),

ψ

-odległość sferyczna stanowiska od elementu

powierzchni ds. Wartość

γ

może być przeciętnym (średnim) przyspieszeniem na kuli ziemskiej.

Funkcja S(

ρ

,

ψ

) jest funkcją Stokesa (analogia do funkcji V-M dla odchylenia l.p.). Wzór ten pozwala

wyznaczyć odstęp dowolnego geopa (W=const.) od sferopa (U=const.).

Slajd 3:
Założenia do wzoru Stokesa:

1.

Anomalie dotyczące geoidy zregularyzowanej, tnz. pozbawionej masy ponad poziomem
morza,

2.

Geoida i elipsoida powinny mieć ten sam środek ciężkości.

3.

Geoida i elipsoida powinny obejmować całą masę Ziemi.

4.

(2) i (3) oznacza, że objętości obu brył muszą być jednakowe.

5.

Geoida i elipsoida muszą mieć tą samą oś obrotu.

6.

(W

0

=U

0

).

7.

Suma przyrostów odstępów na całej powierzchni powinna być równa zeru.

Dla geopa na poziomie morza (W

0

=const.) czyli geoidy występuje uproszczenie odległości

ρ

=R

stąd postać wzoru Stekesa [4] i prostsza postać funkcji Stokesa S(

ψ

). Spełnienie wszystkich ww.

warunków jest niemożliwe dlatego opracowano kilka koncepcji wyznaczania odstępu przy
niezachowaniu niektórych warunków.

Slajd 4:
Koncepcja Pizzettiego zakłada niespełnienie warunku równości potencjałów rzeczywistego i
normalnego. Odstęp wyraża się wtedy wzorem [6]. Jeśli oprócz tego założy się niepokrywanie się
środków mas otrzymamy kolejny wzór [7]. Dodatkowy potencjał zakłócający T

1

wynika własnie z

niepokrywania się środków mas. Potencjał ten musi być niezależnie wyznaczany.
Wprowadzenie w miejsce funkcji Stekesa funkcję Helmerta [9] oraz zastąpienie elementu ds. w
postaci [5] prowadzi do kolejnej postaci wzoru na odstęp w funkcji współrzędnych azymutalnych
(

ψ

,A) [8]. Jest to nadal postać N dla Ziemi kulistej, czyli przybliżona. Aby zwiększyć dokładność

wprowadza się poprawkę ze względu na elipsoidalny kształt Ziemi i elipsoidalny rozkład
przyspieszenia normalnego [10], gdzie: e – pierwszy mimośród elipsoidy. Wartość tej poprawki czyli
drugi składnik wzoru [10] jest rzędu maksymalnie 20 cm.

Slajd 5:
Bezpośrednie wykorzystanie wzoru Stokesa nie jest możliwe ze względu na nieznajomość anomalii na
całym obszarze powierzchni Ziemi. Stąd konieczność pewnych uproszczeń przy zastosowaniu
całkowania numerycznego. Ze względu na zależność funkcji Helmerta od odległości sferycznej to
całkowanie realizuje się w pewnych ustalonych strefach (i) dodatkowo podzielonych na sektory (j) w
myśl wzoru [11]. Anomalia A

ij

jest zatem średnią anomalią w danym segmencie (i,j), który jest częścią

wspólną strefy i sektora.

Ponadto z ogólnej wartości odstępu N wydziela się różne pasma częstotliwościowe: długo-, średnio i
krótkofalowe odpowiednio N

GM

, N

stokes

, N

DTM

[12]. Anomalie wolnopowietrzne są zatem złożeniem

anomalii składowych poszczególnych pasm [13]. Pasmo najdłuższe dotyczy globalnego modelu
potencjału Ziemi (model geopotencjalnu GM) i jest realizowane przez rozwinięcie tego potencjału w
szereg funkcji kulistych [14], a anomalie z niego wynikające mają postać [15].
Pasmo najkrótsze wynika z wpływu rzeźby terenu, a anomalie Ag

DTM

należy utożsamiać wprost z

poprawką topograficzną do przyspieszenia ciężkościowego (R

t

) obliczoną z DTM.

Uwzględniając powyższe składowe odstępu do wzoru Stokesa należałoby wziąć anomalie
wolnopowietrzne pozbawione czynnika globalnego oraz topograficznego [16].

Slajd 6:
Dla niewielkiego obszaru całkę Stokesa można obliczyć w funkcji współrzędnych X,Y na płaszczyźnie.
Przyjmując na podstawie [5] przybliżoną do pierwszego wyrazu postać funkcji Stokesa i upraszczając
ją do postaci [17] dla s-odległości od punktu, otrzymamy wzór na odstęp zrealizowany na niewielkim
obszarze [18]. Wartość odstępu będzie zatem ograniczona do wartości wynikającej z najbliższej strefy
ograniczonej odległością s. Błąd względny z tytułu ww. przybliżeń dla odległości rzędu 10 km nie
przekroczy 1%.
Odległość s można wyrazić w układzie prostokątnym w funkcji współrzędnych X,Y. Wtedy wzór
Stokesa przyjmie postać [19].