21. Potencjał zakłócający siły ciężkości, anomalie grawimetryczne
Slajd 2:
Zależność [1] pokazuje związek między potencjałem rzeczywistej Ziemi (W) a
potencjałem jej modelu w postaci elipsoidy ekwipotencjalnej (U) w danym punkcie np. na
fizycznej powierzchni Ziemi. Do wyznaczenia W potrzebny jest oprócz obliczanego U także
tzw. potencjał zakłócający T. Rysunek: przedstawia powierzchnię elipsoidy o potencjale UQ.
W punkcie Q na elipsoidzie istnieje przyspieszenie normalne γQ. Przez punkt Q przechodzi
również linia pionu, której kierunek określa wektor ν. Na wysokości N ponad elipsoidą
znajduje się powierzchnia potencjału rzeczywistego WP przechodząca przez punkt P.
Kierunek linii pionu w punkcie P określa wektor n.
Wartość potencjału normalnego w punkcie P można obliczyć na podstawie potencjału w
punkcie Q i przyrostu tego potencjału na drodze N wzdłuż linii pionu [2]. Łącząc [1] i [2]
można obliczyć wartość potencjału zakłócającego T [3]. Przekształcając [3] otrzymamy
zależność odstępu rzeczywistej i normalnej powierzchni ekwipotencjalnej w funkcji
potencjału zakłócającego [4].
Slajd 3:
Różniczkując [3] względem odstępu N w kierunku n otrzymamy przyrost potencjału
zakłócającego nazywany zaburzeniem grawitacyjnym. Rysunek: Przez punkt P z f.p.Z.
przechodzi powierzchnia ekwipotencjalna potencjału rzeczywistego WP=C1 (zwana geopem)
oraz powierzchnia ekwipotencjalna potencjału normalnego UP=C2 (zwana sferopem).
Wartości obu potencjałów są różne C ≠
1 C2. Przez punkt P przechodzi linia pionu (żółta) w
polu normalnym prostopadła do kolejnych sferopów w tym do elipsoidy ekwipotencjalnej
U0=const. Kierunek tej linii określa wektor v. Podobnie zaznaczono linię pionu rzeczywistego
(niebieska). Jest ona prostopadła do geopów w tym do geoidy G0. Jej kierunek określa wektor
n. Na rys. zaznaczono także wysokości HO punktu P nad geoidą, oraz odstęp N geoidy od
elipsoidy. Wartość przyspieszenia normalnego w punkcie P można obliczyć wzdłuż linii
pionu od powierzchni elipsoidy tj. od punktu Q0’ do P [5]. Przyspieszenie to składa się z
przyspieszenia normalnego w punkcie Q0’ oraz sumy przyrostów przyspieszeń na odcinku N
oraz HO, czyli redukcji na f.p.Z.
Slajd 4:
Wstawiając zależność [5] do [4] wyznaczymy związek między przyspieszeniem
rzeczywistym i normalnym oraz potencjałem zakłócającym [6]. Część lewej strony tej
równości stanowi tzw. anomalię wolnopowietrzną AgP na fizycznej powierzchni Ziemi. Wzór
ten w postaci zależności [7] i [8] stanowi podstawę do badania kształtu geoidy względem
elipsoidy zaproponowanego przez Mołodieńskiego. Bryłą, którą wyznacza się jest
powierzchnia bliska geoidzie leżąca na wysokości ζ nad elipsoidą (quasi-geoida). Inna
koncepcja badania kształtu geoidy (Stokes) polega na określeniu anomalii na geoidzie [9]. Do
jej obliczenia niezbędne są redukcje przyspieszenia rzeczywistego pomierzonego na f.p.Z.
Slajd 5:
Korzystając z zależności Brunsa [9], łączącej potencjał zakłócający T i odstęp N
geoidy od elipsoidy można przedstawić anomalię grawimetryczną na geoidzie w postaci tzw.
podstawowego równania grawimetrii [10]. Pierwszy składnik prawej strony to tzw. anomalia
właściwa spowodowana zakłóceniami w rozkładzie masy, drugi wynika z niepokrycia się
elipsoidy z geoidą. Poniżej podano postać tzw. zaburzenia grawimetrycznego [11]
wykorzystywanego w badaniach kształtu Ziemi w myśl koncepcji Mołodeńskiego i Stokesa.
Zależność ta jest w funkcji T lub N, co można zrealizować po uwzględnieniu [9].
Slajd 6:
Podstawowe równanie geodezji fizycznej można uprościć dla modelu Ziemi kulistej.
Uproszczenia [12] wynikające z definicji potencjału grawitacyjnego kuli po wprowadzeniu do
[10] dają postać równania [13], a zaburzenia grawimetrycznego [14].
Slajd 7:
Pomierzone na f.p.Z. przyspieszenie nie można bezpośrednio porównywać ze sobą.
Podobnie jak wyniki geometrycznych pomiarów geodezyjnych (np. długości) przyspieszenie
redukuje się na odpowiednią powierzchnię odniesienia. Zredukowane na powierzchnię
odniesienia – geoidę przyspieszenie może być wykorzystane do interpretacji własności pola
siły ciężkości lub do badania figury Ziemi.
W myśl koncepcji Stokesa do badania figury Ziemi można zastosować tylko te redukcje,
które nie deformują geoidy tj.:
- nie zmieniają położenia geoidy, jej masy i położenia jej środka ciężkości,
- regularyzują geoidę (żadne masy nie mogą wystawać ponad geoidę).
Precyzyjne spełnienie tych warunków jest trudne do zrealizowania, ale deformację geoidy
wynikającą z redukcji można analitycznie oszacować.
Slajd 8:
Anomalię grawimetryczną zgodnie z teorią Stokesa jest różnica między pomierzonym
na f.p.Z. (g) i zredukowanym (Rg) na geoidę przyspieszeniem (g0) a przyspieszeniem
normalnym na elipsoidzie poziomowej [15]. Sposób w jaki zredukowano przyspieszenia
decyduje o rodzaju i wartości anomalii. Redukcja i anomalia wolnopowietrzna oraz Faye’a
wyraża grawitacyjny wpływ wysokości punktu pomiaru przyspieszenia na wartość tego
przyspieszenia dla znanego pionowego gradientu p.s.c. Upraszczając model rzeczywisty pola
ciężkościowego do modelu normalnego w zakresie pionowego gradientu [17] otrzymamy
przybliżony wzór na redukcję wolnopowietrzną [18] dla dowolnej sferoidy, lub dla sferoidy
Helmerta (używany w Polsce model) przyjmie wygodną do obliczeń postać [19].
Slajd 9:
Uwzględnienie w redukcji wolnopowietrznej redukcji (poprawki) topograficznej
prowadzi do wzoru na tzw. redukcję Faye’a [20].
Własności i interpretacja redukcji wolnopowietrznej:
-nie uwzględnia mas na drodze redukcji,
- powoduje „wgniecenie” tych mas pod powierzchnię odniesienia (geoidy), (równomierne
rozciągnięcie warstwy (H, σ) na powierzchni geoidy tak aby H →0 a gęstość takiej warstwy
0
wynosiła σ = σH ),- spełnia warunki koncepcji Stokesa,
0
- minimalnie deformuje geoidę (np. dla Hmax
→ ∆N < 20cm)
Polska
Dla jednorodnej kuli, której przyspieszenie g0 na powierzchni oblicza się z zależności [21]
można wyznaczyć przybliżoną wartość pionowego gradientu przyspieszenia poprzez
pochodną [22] w postaci [23]. Całkując lewą i prawą stronę otrzymamy przybliżony wzór na
przyrost przyspieszenia (redukcję) ze względu na wysokość [24].
Slajd 10:
W związku z tym, zgodnie z [15] anomalię wolnopowietrzną i Faye’a oblicza się wg
zależności [25]. Zastosowanie:
- wykorzystywane do wyznaczania figury Ziemi (N) zgodnie z koncepcją Stokesa lub
obliczania odchylenia linii pionu,
- anomalie obliczane są często na drodze interpolacji anomalii Bouguere’a (mapy
grawimetryczne)
Redukcja i anomalia Bouguere’a wyraża grawitacyjny wpływ warstwy o znanej
grubości (H) i gęstości (σ) na punkt znajdujący się na tej warstwie. Ten wpływ oblicza się
wykorzystując przyciąganie jednorodnego walca a znanych (H, σ) dla jego promienia a (a→
∞) [26]. Po wymnożeniu stałych otryzmujemy wzór na redukcję Bouguere’a [27].
Slajd 11:
Własności i interpretacja redukcji Bouguere’a:
- usunięcie warstwy powoduje znaczną deformację geoidy (np. dla HmaxPolska ® ∆N < 47 m)
przez co nie nadaje się do badania figury Ziemi,
- w badaniach geofizycznych – usunięcie warstwy umożliwia badania głębszych warstw,
- w badaniach geologicznych – wykrywanie gęstości (mas) zakłócających (∆σ=σ’-σ)
- stosowana tam łącznie z redukcją wolnopowietrzną tzw. redukcja Bouguere’a-Younga [28].
- masy zakłócające w R
zostają „wtłoczone” pod powierzchnię odniesienia (np. geoidę) a
BY
zredukowane tak przyspieszenie może być porównane z przyspieszeniem normalnym.
Anomalię Bouguere’a zgodnie z [15] oblicza się wg zależności [29]. Anomalie AgB
umożliwiają wyodrębnienie tzw. tła regionalnego na podstawie którego można dokonywać
ilościowej interpretacji rozkładu gęstości tj. głębokości i rozmiarów ciała zaburzającego.
Anomalie AgB wykorzystuje się do interpolacji anomalii Agwp lub AgF [30].
Slajd 12:
Anomalie AgB wykorzystuje się do interpolacji anomalii Agwp (lub AgF) zgodnie z
zależnością [31] po jej odwróceniu do postaci [32]. Przy czym AgB – to stała część anomalii
wolnopowietrzenej a cH – zmienna część anomalii – zwana anomalią wysokościową.
Jeśli w anomalii Bouguera zawarta była redukcja topograficzna to również ona podlega
interpolacji.
Sposób interpolacji anomalii wolnopowietrznych (lub Faya):
- odczytanie w danym rejonie wartości AgB,
- obliczenie Agwp na podstawie AgB,
- interpolacja wartości Agwp miedzy punktami.
Slajd 13:
Redukcja Poincarego-Preya. Etapy redukcji:
- wygładzenie terenu wokół stanowiska pomiaru przyspieszenia (RT),
- usunięcie przyciągania płyty (RgB),
- zredukowanie przyspieszenia na przyjęty poziom odniesienia (Rgwp),
- przywrócenie przyciągania płyty (RgB),
- odtworzenie zróżnicowanej rzeźby terenu (R’T).
Całość tej złożonej redukcji przedstawia ogólnie wzór [33] lub w postaci do obliczeń [34].
Własności i interpretacja redukcji Poincarego-Preya:
- umożliwia obliczenie przyspieszenia w miejscu niedostępnym dla jego bezpośredniego
pomiaru,
- nie regularyzuje geoidy – nie jest przydatna dla potrzeb wyznaczenia jej kształtu,
- wykorzystywana do obliczania poprawek grawimetrycznych w systemach niwelacyjnych,
oraz opracowania pomiarów grawimetrycznych wykonanych w kopalniach, szybach
wiertniczych i na morzu.
Slajd 14:
Zastosowanie anomalii grawimetrycznych do wyznaczania odchylenia linii pionu.
Rysunek. Na czarno powierzchnia geoidy i kierunek linii pionu w punkcie P0 na geoidzie. Na
niebiesko powierzchnia elipsoidy ekwipotencjalnej oraz normalna do niej przechodząca przez
P0. Między normalną i linią pionu w punkcie P0 zaznaczono niewielki kąt Θ - odchylenia linii
pionu od normalnej. Cienką czarną linią zaznaczono powierzchnię elipsoidy przesuniętą
równolegle do punktu P0. Kąt między tą przesuniętą powierzchnią elipsoidy a geoidą jest
również kątem odchylenia linii pionu od normalnej Θ. Kat ten można obliczyć ze związku
[35] gdzie dN – niewielki odstęp między nachylonymi do siebie ww. powierzchniami na
odległości minimalnej ds. Znak „-„ odpowiada za różny znak przyrostu kąta w zależności od
przyrostu odstępu ale liczonego od równoległej do elipsoidy. Ten przyrost odbywa się
przeciwnie do kierunku „liczenia” wysokości („od powierzchni elipsoidy w górę”).
Związki [36] i [37] przedstawiają składowe kąta Θ, czyli rzuty tego kata odpowiednio na
płaszczyznę południka (składowa południkowa ξ) oraz na płaszczyznę I wertykału (α=90°) –
składowa poprzeczna η. Odległość ds oblicza się z łuku kołowego: w płaszczyźnie południka
to łuk południka, w płaszczyźnie I wertykału to w przybliżeniu łuk równoleżnika.
Łącząc zależność [35] z [36] i [37] otrzymujemy wzory różniczkowe na składowe odchylenia
linii pionu na geoidzie [38] i [39]. Do ich realizacji potrzebne są składniki:
∂ N
∂ N
i
ϕ
∂
λ
∂
Slajd 15:
Do obliczenia składowych odchylenia l.p. wykorzystuje się wartości anomalii
grawimetrycznych. Rysunek: przedstawia element powierzchni dσ położony w pobliżu
punktu P. Położenie takiego elementu łatwo wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych
na kuli: α,ψ. Związek między współrzędnymi geograficznymi punktu (ϕ,λ) i elementu (ϕ’,λ’)
znajdziemy po rozwiązaniu trójkąta sferycznego (P,B,dσ) – wzór cosinusowy dla ψ.
Następnie różniczki ∂ N
∂ N
i
ϕ
∂
λ
∂
oraz element powierzchni sfery dσ wyraża się w funkcji odległości sferycznej ψ i azymutu α
[40]. Różniczkując ww. wzór cosinusowy względem ψ i λ otrzymujemy zależności [41].
Podstawienia wzorów [38] i [39] oraz [40] i [41] w powiązaniu z podstawowym równaniem
geodezji fizycznej umożliwiło opracowanie wzorów na składowe odchylenia linii pionu w
zależności od anomalii grawimetrycznych [42] zwanych wzorami Veniga-Meinesza (V-M).
We wzorach tych wydziela się pewien składnik funkcję podcałkową Q(ψ) [43]. Wzór V-M
wymaga sumowania anomalii po całej powierzchni sfery (Ziemi). Praktyczne jego
zastosowanie sprowadza się do podziału obszaru całkowania na strefy. Możliwe są też jego
uproszczenia dla mniejszych obszarów.
Slajd 16:
Obliczenia składowych o.l.p. możliwe jest poprzez podział obszaru całkowania na strefy i
sektory. W związku z tym możliwe są pewne uproszczenia wynikające głównie z wpływu
odległości używanej anomalii na wartość odchylenia w danym punkcie. To z kolei upraszcza
funkcję V-M i tym samym ułatwia obliczenie całki. Rozpatrywane są 3 przypadki:
1. dla strefy dalekiej czyli gdy ψ>10° gdy należy używać pełnej postaci funkcji V-M,
2. dla strefy bliskiej czyli gdy ψ po wyrażeniu w postaci odległości r zawiera się w
granicach maksymalnie do 1000 km – wtedy funkcję Q(ψ) sprowadza się do prostej
postaci sumy Q1(r),
3. dla strefy centralnej czyli gdy odległość r zawiera się w granicach maksymalnie do 5
km – wtedy funkcję Q(ψ) sprowadza się do postaci jednego składnika QC(r),
Wzory V-M na składowe odchylenia l.p. w strefie centralnej po powyższym uproszczeniu
przyjmują postać [44]. Należy pamiętać, że całkowitą wartość odchylenia linii pionu można
otrzymać jedynie poprzez zsumowanie anomalii z każdej z ww. stref. Podział na strefy
umożliwia jednak używanie anomalii uśrednionych zwłaszcza dla stref dalszych, co łatwiej
zrealizować w praktyce.