Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 1/19

ĆWICZENIE 3

Analiza widmowa z zastosowaniem okien czasowych

1. Cel ćwiczenia

Okna czasowe stosuje się do wycięcia na osi czasu kawałka sygnału w celu przeprowadzenia
analizy widmowej. Okna znajdują też inne zastosowania, np. w projektowaniu filtrów
cyfrowych FIR, ale te zagadnienia wykraczają poza ramy tego ćwiczenia. Celem ćwiczenia
jest zbadanie, jak zmiana kształtu okna i jego długości wpływają na widmo okna. W
ćwiczeniu wybrane okna zostaną zastosowane do analizy widmowej sygnałów i będzie
badany wpływ właściwości okna na zdolność analizatora widma do rozróżniania bliskich
sobie prążków widma sygnału.

2. Wprowadzenie

W praktyce numeryczne obliczenie widma sygnału jest możliwe tylko na podstawie
skończonej liczby próbek sygnału (do pamięci komputera można wprowadzić tylko
skończone dane), zgromadzonych w skończonym czasie obserwacji. Wybranie N kolejnych
próbek z nieskończonego sygnału

jest równoważne przepuszczeniu tego sygnału przez

okno

o skończonej długości N (w najprostszym przypadku jest to okno prostokątne),

czyli jest równoważne następującemu mnożeniu

[ ]

n

x

[ ]

n

w

,

gdzie funkcja okna

poza

(1)

[ ] [ ] [ ]

n

w

n

x

n

y

=

[ ]

0

≡

n

w

1

0

−

≤

≤

N

n

Mnożeniu w dziedzinie czasu odpowiada splot w dziedzinie częstotliwości. Dlatego obliczone
na podstawie N próbek widmo sygnału

( )

ω

j

e

Y

jest zniekształcone, różni się od widma

sygnału oryginalnego

( )

ω

j

e

X

, gdyż jest splotem widma oryginalnego sygnału

( )

ω

j

e

X

z

widmem okna

( )

ω

j

e

W

[ ] [ ] [ ]

n

w

n

x

n

y

=

DTFT

↔

( )

( )

(

)

(

)

∫

−

−

=

π

π

λ

ω

λ

ω

λ

π

d

e

W

e

X

e

Y

j

j

j

2

1

(2)

gdzie widmo okna to

(3)

[ ]

n

w

DTFT

↔

( )

[ ]

∑

−

=

−

=

1

0

N

n

n

j

j

e

n

w

e

W

ω

ω

Idealnym oknem (nie zniekształcającym widma sygnału) byłoby okno o widmie

będącym impulsem Diraca, gdyż splot widma sygnału z impulsem Diraca nie spowodowałby
zmiany kształtu widma. Niestety, takie okno nie istnieje (widmo o takiej postaci ma tylko
nieskończony ciąg jednakowych próbek, a okno w

z założenia musi być skończone).

Wynika stąd jednak wskazówka, że należy poszukiwać takiego okna, którego widmo ma
kształt zbliżony do impulsu Diraca (widmo wąskie, skupione wokół częstotliwości zerowej).

[ ]

n

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 2/19

Istnieje wiele typów okien. Okna opracowane do celów analizy widmowej mają

kształt krzywej symetrycznej wokół maksimum usytuowanego w połowie długości okna,
czyli w punkcie

(

)

2

1

−

= N

α

(jak na rys. 1a). Liczba próbek okna może być liczbą parzystą

lub nieparzystą. Ponieważ próbki okna są rzeczywiste, to widmo amplitudowe jest funkcją
parzystą i wystarczy rysować widmo okna tylko dla dodatniej półosi częstotliwości (rys. 1b).
Symetryczny kształt okna powoduje, że widmo fazowe okna jest zawsze liniowe i nie będzie
ono przedmiotem badań. W widmie amplitudowym okna wyróżnia się listek główny i listki
boczne. Należy poszukiwać okna o takim kształcie, aby jego widmo miało jak najwęższy
listek główny i jak najmniejsze listki boczne. Niestety są to wymagania sprzeczne, gdyż przy
zwężaniu listka głównego narastają listki boczne. Istniejące okna stanowią kompromis
między obu tymi wymaganiami. Poszukując okna o kompromisowych parametrach trzeba
pamiętać, że nawet niewielka, mało zauważalna na wykresie zmiana kształtu okna

może spowodować istotną zmianę kształtu widma

[ ]

n

w

( )

ω

j

e

W

.

2

1

−

=

N

α

1

−

N

n

[ ]

n

w

0

1

a)

b)

Listek
główny

Listek
boczny

M

W

N

B

[ ]

∑

−

=

1

0

N

n

n

w

( )

ω

j

e

W

[ ]

dB

R

5

,

0

f

0

Szerokość
listka głównego

Tłumienie
listków
bocznych

L

Rys. 1. Typowe okno: a) kształt okna; b) kształt widma okna

Widma badanych okien łatwiej jest porównywać, gdy są one wykreślane w mierze

decybelowej i unormowane tak, że rozpoczynają się od 0

, a wykresy są sporządzone w

funkcji znormalizowanej częstotliwości. Definiuje się dwa następujące podstawowe
parametry stanowiące miarę jakości okna:

dB

a) Szerokość listka głównego

. Jest zdefiniowana jako odległość od

do

, gdzie częstotliwość

jest częstotliwością najbliższego minimum widma

amplitudowego. Szerokość listka głównego jest odwrotnie proporcjonalna do długości
okna N (lub

w zależności od okna, dla dużego N nie ma to praktycznie

znaczenia), dlatego wygodnie jest porównywać okna posługując się nie parametrem

, ale parametrem

(lub

).

M

W

0

=

f

min

f

M

W

min

f

N

M

1

+

N

W

B =

(

)

1

+

=

N

W

B

M

b) Tłumienie listków bocznych

. Jest zdefiniowane jako wyrażony w mierze

decybelowej stosunek wartości listka głównego w zerze, do maksimum najwyższego
listka bocznego.

[

dB

R

]

Dla listka głównego oprócz szerokości ważny jest jego kształt, najlepiej aby był zbliżony do
wąskiego prostokąta. Z kolei dla listków bocznych ważne jest nie tylko ich tłumienie, ale i
sposób zmian w funkcji częstotliwości, najlepiej aby malały one jak najszybciej do zera.
Nachylenie z jakim widmo zanika do zera jest ściśle uzależnione od gładkości funkcji okna
analogowego

będącego odpowiednikiem okna dyskretnego

. Okno

, które ma

na krańcach skończoną nieciągłość (kończy się uskokami), ma widmo zanikające z taką

( )

t

w

[ ]

n

w

( )

t

w

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 3/19

prędkością jak funkcja f

1

. Okno, którego pierwsza pochodna ma na krańcach skończoną

nieciągłość, ma widmo zanikające jak

2

f

1

. Okno, którego druga pochodna ma na krańcach

skończoną nieciągłość, ma widmo zanikające jak

3

f

1

, itd. Im bardziej gładka jest funkcja

okna

na krańcach, tym szybciej zanika jej widmo w funkcji częstotliwości.

( )

t

w

w

Pr

Pr

W

R

w

Ba

W

Ba

R

Zdefiniujemy wybrane okna.

a) Okno prostokątne. Jest to okno podstawowe, względem którego są porównywane pozostałe
okna. Okno to jest zdefiniowane jako prostokątna funkcja dyskretna

(4)

[ ]







≤

≤

=

n

n

pozostale

,

0

1

-

N

n

0

dla

,

1

i ma widmo

( )

( )

ω

ω

ω

ω

ω

ω

asinc

2

sin

2

sin

2

2

1

N

j

N

j

j

e

N

e

e

−

−

−

=













=

(5)

Okno prostokątne ma bardzo wąski listek główny , ale jednocześnie ma bardzo
małe tłumienie listków bocznych

1

=

=

M

NW

B

dB

5

,

13

5

,

1

sin

log

20

10

=

























≈

∞

→

N

N

N

π

(6)

Listki boczne maleją jak funkcja f

1

, czyli zanikają z prędkością

okt

dB

6

−

.

b) Okno Bartletta. Okno to jest zdefiniowane następująco

[ ]











−

≤

<

−

−

−

−

≤

≤

−

=

1

2

1

,

1

2

2

2

1

0

,

1

2

N

n

N

N

n

N

n

N

n

n

(7)

Ma ono kształt trójkątny. Ponieważ sygnał trójkątny jest wynikiem splotu dwóch
jednakowych sygnałów prostokątnych, a splotowi w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie w
dziedzinie częstotliwości, to widmo okna Bartletta ma kształt podniesionego do kwadratu
widma okna prostokątnego

( )













=

2

2

2

Pr

f

W

N

e

j

ω

(8)

Szerokość listka głównego okna równa się

2 , a tłumienie listków bocznych ma

wartość

i zanikają one z prędkością

=

=

M

NW

B

dB

27

=

okt

dB

12

−

. Obserwujemy tutaj typową

wymienność parametrów okna. W porównaniu z oknem prostokątnym w oknie Bartletta
tłumienie listków bocznych wzrosło dwukrotnie za cenę dwukrotnego zwiększenia szerokości
listka głównego.
c) Okno von Hanna. Okno to nosi też nazwę podniesionego kosinusa, gdyż jest zdefiniowane
następującą zależnością

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 4/19

[ ]













−

=













−

−

=

1

sin

1

2

cos

2

1

2

1

2

N

n

N

n

n

w

vH

π

π

, 0

(9)

1

−

≤

≤

N

n

Jego widmo jest złożeniem trzech widm okien prostokątnych

( )

( )













−

+

−













−

−

−

=

1

1

4

1

1

1

4

1

2

1

Pr

Pr

Pr

N

f

W

N

f

W

f

W

e

W

j

vH

ω

(10)

Szerokość listka głównego okna równa się

2 , a tłumienie listków bocznych ma

wartość

i zanikają one z prędkością

=

=

M

NW

B

dB

5

,

31

=

R

okt

dB

18

−

.

d) Okno Hamminga. Okno to nosi też nazwę podniesionego kosinusa na piedestale, gdyż w
odróżnieniu od okna von Hanna nie rozpoczyna się od zera, ale od piedestału o wysokości
0,08

[ ]













−

−

=

1

2

cos

46

,

0

54

,

0

N

n

n

w

Ha

π

, 0

(11)

1

−

≤

≤

N

n

Widmo tego okna wyraża się w funkcji widma okna prostokątnego następującym wzorem

( )

( )













−

+

−













−

−

−

=

1

1

23

,

0

1

1

23

,

0

54

,

0

Pr

Pr

Pr

N

f

W

N

f

W

f

W

e

W

j

Ha

ω

(12)

Szerokość listka głównego okna równa się

2 , a tłumienie listków bocznych ma

wartość

i zanikają one z prędkością

=

=

M

NW

B

dB

42

=

R

okt

dB

6

−

. W porównaniu z oknem von

Hanna okno Hamminga ma większe tłumienie listków bocznych za cenę mniejszej prędkości
zanikania listków bocznych.
e) Okno Blackmana. Okno to podobnie jak okna von Hanna i Hamminga ma postać
wielomianu trygonometrycznego, ale zawiera o jeden wyraz więcej

[ ]













−

+













−

−

=

1

2

2

cos

08

,

0

1

2

cos

5

,

0

42

,

0

N

n

N

n

n

w

Bl

π

π

, 0

(13)

1

−

≤

≤

N

n

i jego widmo to

( )

( )













−

+

+













−

−

+

+













−

+

−













−

−

−

=

1

2

04

,

0

1

2

04

,

0

1

1

25

,

0

1

1

25

,

0

42

,

0

Pr

Pr

Pr

Pr

Pr

N

f

W

N

f

W

N

f

W

N

f

W

f

W

e

W

j

Bl

ω

(14)

Szerokość listka głównego okna równa się

3 , a tłumienie listków bocznych ma

wartość

i zanikają one z prędkością

=

=

M

NW

B

dB

58

=

R

okt

dB

18

−

. W porównaniu z oknem

Hamminga osiągnięto większe tłumienie listków bocznych i szybsze ich zanikanie, ale za
cenę poszerzenia listka głównego.

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 5/19

f) Okno Kaisera. Jest to okno z parametrem i w jego zależności definicyjnej występuje
zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzędu

β

( )

x

I

0

[ ]

( )

β

β

0

2

0

1

1

2

1

I

N

n

I

n

w

Ka



























−

−

−

=

,

(15)

1

0

−

≤

≤

N

n

Dlatego okno to nosi też nazwę okna Kaisera-Bessela. W oknie tym zminimalizowano energię
sygnału zawartą w listkach bocznych w stosunku do energii w listku głównym. Nie jest znana
zależność analityczna na widmo tego okna i wartości numeryczne widma oblicza się z
prostego przekształcenia DTFT

(16)

( )

[ ]

∑

−

=

−

=

1

0

N

n

n

j

Ka

j

Ka

e

n

w

e

W

ω

ω

Zwiększając wartość parametru można w sposób płynny zwiększać tłumienie listków
bocznych za cenę zmniejszenia prędkości zanikania listków bocznych i zwiększenia
szerokości listka głównego.

β

g) Okno Dolpha. Jest to okno o równofalistych listkach bocznych z jednym parametrem. Przy
zadanym parametrze, którym jest tłumienie listków bocznych zadane w mierze decybelowej

, oblicza się parametry pomocnicze

[

dB

R

]

20

10

R

s

=

,

( ) (

)

(

)

1

cosh

cosh

1

0

−

=

−

N

s

x

(17)

które występują we wzorze definiującym okno Dolpha

[ ]





































−

−













+

=

∑

−

=

−

2

1

1

0

1

2

1

2

cos

cos

2

1

N

k

N

Do

N

N

n

k

N

k

x

C

s

N

n

w

π

π

,

(18)

1

0

−

≤

≤

N

n

W powyższej zależności wykorzystuje się wielomiany Czebyszewa

( )

(

)

(

)







>

≤

=

−

−

1

,

cosh

cosh

1

,

cos

cos

1

1

x

x

m

x

x

m

x

C

m

(19)

i dlatego okno to nosi też nazwę okna Dolpha-Czebyszewa. Widmo okna zmienia się według
następującej zależności

( )

( )

0

1

0

1

2

cos

x

C

x

C

e

W

N

N

j

Do

−

−













=

ω

ω

(20)

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 6/19

h) Okno ultrasferyczne. Jest to okno z dwoma parametrami µ oraz

. Jest ono zdefiniowane

następującą zależnością

µ

x

[ ]

( )





































−

−













+

=

∑

−

=

−

−

2

1

1

1

1

2

1

2

cos

cos

2

1

N

k

N

N

US

N

N

n

k

N

k

x

U

x

U

N

n

w

π

π

µ

µ

µ

µ

, (21)

1

0

−

≤

≤

N

n

gdzie wielomiany ultrasferyczne U

mogą być wyznaczone z zależności rekurencyjnej

( )

x

r

µ

( )
( )
( )

(

)

( )

(

)

( ) (

)

( )

[

]

x

U

r

x

U

r

x

r

x

U

x

x

U

x

x

U

x

U

r

r

r

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

2

1

2

2

1

0

2

2

1

2

1

1

2

2

1

−

−

−

+

−

−

+

=

+

+

−

=

=

=

K

(22)

Posługując się jawną postacią wielomianu ultrasferycznego, próbki okna można wyznaczyć z
następującej zależności

[ ]

(

)

m

M

n

M

m

M

US

x

m

M

n

M

m

M

n

M

M

n

M

M

n

M

M

n

M

M

n

M

x

n

w

2

0

2

1

1

1

1

−

−

−

=

−













−

+













−

−

−

−

−

−

+













−

−

+

−

−

+

+

−

+

=

∑

µ

µ

µ

µ

µ

2

1

−

=

N

M

,

(23)

1

0

−

≤

≤

N

n

Współczynniki dwumianowe

dla liczby rzeczywistej

α i liczby naturalnej k

najdogodniej jest obliczać rekurencyjnie













k

α

;

1

0

=











α













−

+

−

=













1

1

k

k

k

k

α

α

α

(24)

Posługiwanie się zależnością (21) (czas obliczeń jest proporcjonalny do długości okna)
wymaga mniejszego nakładu obliczeniowego niż posługiwanie się zależnością (23) (czas
obliczeń jest funkcją kwadratową długości okna).

Widmo okna ultrasferycznego zmienia się według następującej zależności

( )

( )

µ

µ

µ

µ

ω

ω

x

U

x

U

e

W

N

N

j

US

1

1

2

cos

−

−













=

(25)

Zmiana parametru wpływa na prędkość zmian listków bocznych. Dla

listki boczne

zanikają z prędkością tym większą im większa jest wartość

. Dla

okno

µ

0

>

µ

1 <

µ

0

<

−

µ

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 7/19

ultrasferyczne ma unikalny kształt widma z listkami bocznymi narastającymi w funkcji
częstotliwości. Przy

µ

wielomiany ultrasferyczne przechodzą w wielomiany

Czebyszewa i okno ultrasferyczne staje się oknem Dolpha. Zmiana parametru wpływa też
na tłumienie listków bocznych i szerokość listka głównego, ale zasadniczo na wymienność
tych dwóch parametrów wpływa parametr

. Zwiększanie wartości parametru

powoduje

zwiększenie tłumienia listków bocznych za cenę zwiększenia szerokości listka głównego.

0

→

µ

x

µ

x

µ

[ ]

dB

Powyższe okna są dostępne do badań w interfejsie graficznym okna. Oprócz tego w
interfejsie graficznym okna3 są dostępne do badań takie okna jak: Parzen, Harris-Nuttall,
płaski szczyt ISO, Gauss, Lanczos, podniesiona funkcja próbkowa, okno kodera mowy ITU-T
G.729 . Dokładniejsze omówienie tych okien wykracza jednak poza ramy tego ćwiczenia.

Okno interfejsu graficznego okna pokazano na rys. 2. Dla wszystkich wymienionych

okien

są podawane cztery wartości ich parametrów. Wartości te są wyznaczane

metodami numerycznymi (np. maksima i minima funkcji są wyznaczane numerycznie) i
dlatego wartości te nieco różnią się od wartości dokładnych wyznaczonych metodami
analitycznymi. W przypadku okien z parametrem wartość parametru zmienia się suwakiem
lub wpisuje się ją w pole edycyjne. Długość okna N można zmieniać suwakiem lub poprzez
wpis wartości N w polu edycyjnym. Przyciskami radiowymi wybiera się okna, dla których
jest sporządzany wykres czasowy

i widma

[ ]

n

w

[ ]

n

w

( )

[

dB

ω

j

e

W

]

. Widmo jest wykreślane od

zera, rzeczywista wartość widma w zerze (równa sumie próbek okna w dB) jest podawana
jako parametr

( )

0

W

. Wartość widma jest wykreślana powyżej wartości

zadawanej w polu edycyjnym.

dB

min

Rys. 2. Okno interfejsu graficznego okna

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 8/19

Przykład 1. Porównamy właściwości okna prostokątnego i okna Bartletta. Przy długości

, okna i ich widma są takie jak na rys. 2. Jest wyraźnie widoczna wymienność

parametrów okien. W porównaniu z oknem prostokątnym, w oknie Bartletta uzyskano
dwukrotnie większe tłumienie listków bocznych za cenę dwukrotnego zwiększenia szerokości
listka głównego. Kształt listka głównego nieco pogorszył się (mniej przypomina prostokąt),
ale wzrosła dwukrotnie prędkość zanikania listków bocznych z

17

=

N

okt

dB

6

−

do

okt

dB

12

−

.



Wpływ okna na widmo sygnału przepuszczanego przez to okno najdogodniej jest
prześledzić na przykładzie sygnałów sinusoidalnych. Sygnał nieskończony będący sumą
dwóch sygnałów sinusoidalnych

(26)

[ ]

(

)

(

2

2

2

1

1

1

2

cos

2

cos

ϕ

π

ϕ

π

+

+

=

nT

f

A

nT

f

A

n

x

)

+

)

)

ma widmo amplitudowe o postaci impulsów Diraca (pola impulsów Diraca to odpowiednio

i

(

) i pokazano je na rys. 3a. Sygnał sinusoidalny po przejściu przez okno jest

sygnałem skończonym i ma widmo będące splotem impulsu Diraca i widma okna, czyli jego
widmo jest repliką widma okna rozciągającą się wokół częstotliwości sinusoidy. W
przypadku sumy dwóch sinusoid, sygnał po przejściu przez okno ma widmo będące sumą
dwóch replik widm okna (rys. 3b).

(

1

A

2

A

1

f

1

f

2

f

2

f

2

1

f

f

f

−

=

∆

0

0

f

f

( )

1

A

( )

2

A

1

~ A

2

~ A

a)

b)

Rys. 3. Analiza widmowa: a) widmo sygnału oryginalnego; b) widmo sygnału
przepuszczonego przez okno

Analizator widma z wbudowanym oknem zniekształca mierzone widmo sygnału

nieskończonego. Z powodu tych zniekształceń dwie sąsiadujące składowe dyskretne widma
mogą być trudne do rozróżnienia. Jak widać na rys. 3b, dwie składowe dyskretne widma ani
nie mogą znajdować się zbyt blisko siebie, ani zbyt różnić się amplitudami, gdyż widmo
odpowiadające jednemu prążkowi zniknie na tle drugiego. Zdolność analizatora widma do
rozróżniania składowych dyskretnych widma nazywa się jego rozdzielczością częstotliwości
i amplitudy.
a) Rozdzielczość częstotliwości jest parametrem mówiącym o zdolności rozróżnienia
składowych widma sumy dwóch sinusoid o jednakowych amplitudach (

)

A

A

A

=

=

2

1

(27)

[ ]

(

)

(

2

2

1

1

2

cos

2

cos

ϕ

π

ϕ

π

+

+

=

nT

f

A

nT

f

A

n

x

)

+

różniących się niewiele częstotliwościami, przy czym

2

1

f

f

f

−

=

∆

. Rozdzielczość

częstotliwości jest minimalną wartością

, przy której dwie składowe widma z rys. 3b są

jeszcze możliwe do rozróżnienia. O rozdzielczości częstotliwości decyduje głównie szerokość

min

f

∆

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 9/19

listka głównego (

, zetknięcie się dwóch listków głównych), chociaż ma na nią

także wpływ kształt listka głównego, ukształtowanie listków bocznych, fazy pomiarowych
sygnałów sinusoidalnych.

M

W

f

2

min

≈

∆

2

1

f

f

−

b) Rozdzielczość amplitudy jest parametrem mówiącym o zdolności rozróżnienia składowych
widma sygnału opisanego wzorem (26) będącego sumą dwóch sinusoid, przy zadanej
wartości

min

f

=

∆

, stałej amplitudzie

i zmniejszającej się amplitudzie

.

Rozdzielczość amplitudy wyrażona w mierze decybelowej, to

1

A

2

A

(

min

2

1

10

log

20

A

A

)

, gdzie

jest minimalną wartością amplitudy drugiej składowej widma, przy której jest jeszcze

możliwe jej rozróżnienie na rys. 3b na tle pierwszej składowej o amplitudzie

. O

rozdzielczości amplitudy decyduje głównie tłumienie listków bocznych R, chociaż ma na nią
wpływ także ukształtowanie listków bocznych i fazy pomiarowych sygnałów sinusoidalnych.

min

2

A

1

A

Zwiększenie długości okna N zawsze spowoduje zwiększenie rozdzielczości
częstotliwości i amplitudy analizatora widma, niezależnie od kształtu okna czasowego. Dzieje
się tak za cenę zwiększenia czasu pomiaru widma, gdyż wzrasta czas obserwacji sygnału i
czas obróbki cyfrowej coraz większej liczby próbek sygnału.

Do badania widm sygnałów przepuszczanych przez okna czasowe będziemy używali

interfejsu graficznego widmo. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 4.

Rys. 4. Okno interfejsu graficznego widmo

W interfejsie graficznym widmo można wprowadzić sygnał

będący sumą do

dziesięciu składowych sinusoidalnych wpisywanych do dziesięciu pól. Kliknięte do edycji
pole ma czerwony tekst. Dla każdej składowej sinusoidalnej zadajemy amplitudę

,

częstotliwość

i fazę poprzez wpis w polu edycyjnym lub za pomocą suwaka. Aby

( )

t

x

A

0

f

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 10/19

wyeliminować niepotrzebnie wpisaną składową sygnału należy podstawić wartość amplitudy

. Składową stałą sygnału wprowadzamy jako sinudoidę o częstotliwości zerowej.

Długość N okna

ustalamy suwakiem lub poprzez wpis w polu edycyjnym. Wyboru

okna Bartlett, von Hann, Hamming, Blackman lub Dolph dokonujemy za pomocą przycisku
radiowego. Komputer wykreśla najpierw nieskończony sygnał

, a następnie sygnał

spróbkowany

przepuszczony przez okno prostokątne (niebieskie „o”) oraz przez inne

wybrane okno (czerwone „x”). Zostaje też wykreślone widmo amplitudowe sygnału
przepuszczonego przez okno prostokątne i przez inne okno. Widma mogą być wykreślone w
skali liniowej lub decybelowej.

0

=

A

[ ]

n

w

]

(

2

cos

( )

t

x

[

n

x

40

100

05

,

0

=

min

∆f

min

∆f

2

≈

A

20

=

( )

)

−

t

0

=

t

x

cos

9

1

Przykład 2. Zbadamy właściwości cyfrowego analizatora widma z oknem prostokątnym o
długości

. Jako sygnał wejściowy wybierzemy sygnał dwuharmoniczny

=

N

(28)

( )

)

(

)

t

t

t

x

3

,

0

2

cos

100

1

,

0

π

π

+

=

Widmo sygnału spróbkowanego i przepuszczonego przez okno jest takie jak na rys. 4.
Zmierzymy

teraz

rozdzielczość częstotliwości analizatora widma. Drugą składową

sygnału o częstotliwości 0,3 podświetlamy kliknięciem na czerwono do edycji i suwakiem
zmniejszamy płynnie częstotliwość. Prawy prążek widma zbliża się do lewego prążka, i gdy
prążki zbliżą się do siebie na odległość równą rozdzielczości częstotliwości

2

≈

N

B

, to listki główne zetkną się i prawy prążek zacznie zanikać na tle prążka

lewego. Wyznaczona wartość jest wartością przybliżoną, gdyż trudno jest jednoznacznie
stwierdzić na podstawie wykresu czy prążki widma (listki główne) już się zetknęły i zachodzą
na siebie czy jeszcze nie.

Przechodzimy teraz do zmierzenia rozdzielczości amplitudy analizatora widma.

Pozostawiamy dwa prążki widma w odległości równej rozdzielczości częstotliwości

. Zmniejszamy suwakiem amplitudę drugiej składowej sygnału, aż prawy prążek

widma zacznie niknąć na tle listków bocznych. Uważamy że prążek niknie, gdy osiąga
amplitudę równą amplitudzie listków bocznych. W tym przypadku tak stanie się przy

, czyli rozdzielczość amplitudy równa się

05

,

0

=

20

(

)

( )

dB

14

5

log

log

20

10

2

1

10

≈

A

A

5

,

13

=

R

i jest

w przybliżeniu równa tłumieniu listków bocznych okna prostokątnego

.

Wyznaczona wartość jest wartością przybliżoną, gdyż trudno jest jednoznacznie stwierdzić na
podstawie niewielkiego wykresu czy prążek widma już osiągnął poziom listków bocznych
czy jeszcze nie.

dB

Pomiary

rozdzielczości częstotliwości i amplitudy analizatora widma można

przeprowadzać posługując się skalą liniową lub decybelową na wykresie widma.



Przykład 3. Zbadamy jaki kształt ma w cyfrowym analizatorze widmo fali prostokątnej. Fala
prostokątna o amplitudzie

4

π ma następujące rozwinięcie w szereg Fouriera

(

(

)

(

)

(

)

(

)

K

+

+

−

+

t

f

t

f

t

f

t

f

f

0

0

0

0

9

2

7

2

cos

7

1

5

2

cos

5

1

3

2

cos

3

1

2

cos

π

π

π

π

π

(29)

Wybieramy wartość

i aproksymujemy falę prostokątną biorąc pięć kolejnych

składowych z powyższego rozwinięcia w szereg Fouriera. Przy długości okna

wyniki są takie jak na rys. 5. Prążki widma sygnału okresowego nie są pokazywane jako
nieskończenie wąskie, ale o kształcie takim jak widmo zastosowanego okna. W przypadku

05

,

0

0

=

f

100

=

N

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 11/19

okna prostokątnego są to prążki stosunkowo wąskie o kształcie zbliżonym do listka
głównego, ale występujące na tle wydatnych listków bocznych. W przypadku innych okien
prążki widma są przedstawiane jako listki główne szersze niż dla okna prostokątnego, ale za
to występujące na tle niższych listków bocznych.

Rys. 5. Widmo fali prostokątnej w cyfrowym analizatorze widma



Okna czasowe znajdują zastosowanie w dyskretnym, krótkoczasowym przekształceniu

Fouriera (ang. Short-Time Fourier Transform – STFT). Przekształcenie to pozwala badać
sygnały, w których widmo lokalne zmienia się w funkcji czasu. Takimi sygnałami są na
przykład sygnały mowy, w których widmo zmienia się w miarę wypowiadania kolejnych
głosek. Dyskretne krótkoczasowe przekształcenie Fouriera jest zdefiniowane jako ciąg widm
lokalnych obliczanych w miarę przesuwania się okna

wzdłuż sygnału

[ ]

n

w

[ ]

n

x

,

(30)

(

)

[ ] [

]

∑

∞

−∞

=

−

−

=

k

n

j

j

e

k

n

w

n

x

e

k

X

ω

ω

,

∞

<

<

∞

−

k

Widma nie trzeba obliczać dla każdego indeksu k. Wystarczy je obliczać co połowę długości
okna. Graficznie przedstawia się zazwyczaj tylko wyniki obliczeń widma amplitudowego i
taki wykres nazywa się spektrogramem. Wprawdzie spektrogram jest wykresem funkcji
dwóch zmiennych, ale wykonuje się go na płaszczyźnie w układzie współrzędnych czas,
częstotliwość. Trzeci wymiar (wartość modułu widma) jest wyrażany poprzez poziom
szarości lub kolor. Wygląda to podobnie jak na mapie, gdzie kolorami przedstawia się

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 12/19

wysokość terenu (im wyższa góra, tym więcej koloru brązowego, im niżej położona dolina,
tym więcej koloru zielonego).
Do

sporządzania spektrogramów przygotowano interfejs graficzny stft. Okno tego

interfejsu pokazano na rys. 6. Badane sygnały mają postać plików wav i można je odtwarzać
używając przycisku PLAY, przy czym jest podawana częstotliwość próbkowania sygnału i
liczba próbek sygnału. Wzdłuż sygnału przesuwa się skokami co połowę swojej długości
okno Hamminga o długości z przedziału od 3 do 513. Długość okna ustalamy posługując się
suwakiem lub wpisując wartość w polu edycyjnym (jest to zarazem liczba próbek w szybkiej
transformacie Fouriera). Na tle przebiegu czasowego sygnału zostało wykreślone czerwoną
linią przerywaną okno. Pod spodem zamieszczono widmo amplitudowe sygnału i
spektrogram (krótkoczasowe widmo amplitudowe).

Rys.6. Okno interfejsu graficznego stft

Przykład 4. Plik gama.wav zawiera próbki sygnału gamy do-re-mi-fa-sol-la-si-do. Są to
kolejne odcinki po 0,3 ms sinusoid o częstotliwościach tonów middle C, D, E, F, G, A, B, C,
czyli: 262 Hz, 294 Hz, 330 Hz, 349 Hz, 392 Hz, 440 Hz, 494 Hz, 523 Hz. Osiem tonów to
oktawa, w ramach której częstotliwość zostaje podwojona (dokładnie od 261,6256... Hz do
523,2512... Hz). Widać to na rys. 6 zarówno na widmie amplitudowym jak i na spektrogramie
sygnału. Spektrogram daje o wiele lepszy wgląd we właściwości widmowe sygnału niż
zwykłe, uśrednione w czasie widmo, gdyż pozwala mierzyć zmiany widma w funkcji czasu.
Spektrogram kojarzy się z zapisem nutowym muzyki. Podobnie jak na pięciolinii tak i w
spektrogramie na osi poziomej zmienną jest czas, a na osi pionowej częstotliwość. Im wyżej
na pięciolinii jest umieszczona nuta, tym większa jest częstotliwość tonu.

„

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 13/19

W interfejsie graficznym stft oprócz sygnału gama są dostępne do badań także inne

sygnały opisane poniżej.

Plik chirplin.wav zawiera próbki sygnału świergotowego

( )

( )

2

cos

t

t

x

πµ

=

,

s

Hz

200

=

µ

, próbkowanego z częstotliwością

. Częstotliwość chwilowa tego

sygnału zmienia się liniowo

. W czasie od 0 do 4 s częstotliwość rośnie od 0 do

800 Hz. Spektrogram pokaże w przedziale czasu od 0 do 2 s liniowe narastanie częstotliwości
od 0 do częstotliwości Nyquista

Hz

400

=

p

f

( )

t

t

f

µ

=

Hz

200

2

=

p

f

=

N

f

. Dalej spektrogram będzie kreślony

linią łamaną, gdyż sygnał nie spełnia założeń twierdzenia o próbkowaniu, zachodzą
zniekształcenia aliasowe, widmo musi mieścić się w przedziale Nyquista

Rozdzielczości spektrogramu na osi czasu i częstotliwości nie mogą być jednocześnie
doskonałe, gdyż wzrost jednej rozdzielczości pociąga za sobą zmalenie drugiej
rozdzielczości. Kompromisowe rozdzielczości uzyskuje się, gdy stosunek szerokości listka
głównego okna do długości okna jest w przybliżeniu taki jak prędkość zmian częstotliwości
sygnału

N

f

f

<

≤

0

.

syg

okno

M

dt

df

W













≈













τ

(31)

W przypadku sygnału świergotowego oznacza to, że okno Hamminga powinno mieć w
przybliżeniu następującą długość

40

2 =

≈

µ

p

f

L

(32)

Plik AM.wav zawiera próbki sygnału z modulacją amplitudy

,

( )

(

)

[

]

(

)

t

f

t

f

m

A

t

x

m

0

2

cos

2

cos

1

π

π

+

=

3

2

=

A

H

100

=

,

,

,

,

próbkowanego z częstotliwością

. Sygnał modulujący, a więc i sygnał

zmodulowany mają widmo stałe w funkcji czasu. Dlatego spektrogram sygnału będzie stały w
funkcji czasu. Prążki wstęg bocznych mają amplitudę

5

,

0

=

m

Hz

5

=

m

f

Hz

30

0

=

f

z

p

f

2

mA .

Plik FM.wav zawiera próbki sygnału z modulacją częstotliwości

,

,

,

( )

(

)

[

]

t

f

t

f

t

x

m

π

β

π

2

sin

2

cos

0

+

=

Hz

50

0

=

f

Hz

5

=

m

f

5

=

∆

=

m

f

f

β

, próbkowanego z

częstotliwością

. Sygnał modulujący, a więc i sygnał zmodulowany mają widmo

stałe w funkcji czasu. Dlatego spektrogram sygnału będzie stały w funkcji czasu. Prążki
widma są odległe od siebie co częstotliwość sygnału modulującego i mają amplitudy
proporcjonalne do wartości funkcji Bessela pierwszego rodzaju

. Ponieważ

, to należy oczekiwać, że prążki numer dwa we wstęgach bocznych będą

praktycznie zerowe.

Hz

200

=

p

f

( )

0

0466

,

0

5

2

≈

=

J

( )

β

k

J

Plik PSK.wav zawiera próbki sygnału z cyfrową modulacją 2PSK,

,

, próbkowanego z częstotliwością

. Faza

ϕ

jest kluczowana w takt sygnału cyfrowego (ciągu zero-jedynkowego), dla bitów 0 faza

, a dla bitów 1 faza

ϕ

. Przykładowy cyfrowy sygnał modulujący, to tylko

cztery bity 0101, każdy trwający 1 sekundę.

( )

( )

[

]

t

t

f

t

x

ϕ

π

+

=

0

2

cos

( )

0

=

t

ϕ

Hz

10

0

=

f

( )

=

t

Hz

40

=

p

f

( )

t

0

180

Plik auto.wav zawiera próbki sygnału przejeżdżającego samochodu z włączonym

klaksonem (częstotliwość próbkowania

). Sygnał klaksonu jest sygnałem

Hz

11025

=

p

f

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 14/19

okresowym o częstotliwości podstawowej równej

w warunkach, gdy samochód zbliża

się do obserwatora. Na skutek zjawiska Dopplera częstotliwość ta maleje w warunkach, gdy
samochód oddala się od obserwatora. Obserwator słyszy sygnał o częstotliwości pozornej

różniącej się od częstotliwości oryginalnej , przy czym zmiany częstotliwości

opisuje następujący wzór

Hz

400

f

pozorna

f

v

59

=

=

p

f

Hz

1800

Hz

100

s

pozorna

v

v

v

f

f

m

=

(33)

gdzie

jest prędkością samochodu, zaś jest prędkością dźwięku w powietrzu zależną od

temperatury

s

v

[ ]









+

=

s

m

t

v

273

C

1

332

0

(34)

Na spektrogramie można zaobserwować jak zmalała częstotliwość klaksonu po minięciu
obserwatora. Ósma harmoniczna częstotliwości klaksonu samochodu zbliżającego się miała
wartość

i częstotliwość tej harmonicznej zmalała do wartości

z

chwilą, gdy samochód zaczął oddalać się od obserwatora. Oznacza to, że przy prędkości
rozchodzenia się dźwięku w powietrzu równej 333 m/s, prędkość samochodu miała
następującą wartość

Hz

3200

1

=

f

Hz

2900

2

=

f

godz

km

s

m

4

,

16

2900

3200

2900

3200

333

2

1

2

1

=

+

−

=

+

−

=

f

f

f

f

v

v

s

(35)

Kolejnych

dziesięć plików wav interfejsu graficznego stft zawiera próbki dziesięciu

głosek mowy próbkowanych z częstotliwością

. Znajomość właściwości

widmowych poszczególnych głosek jest niezbędna w zagadnieniach rozpoznawania i syntezy
mowy. Głoski dzielą się na dźwięczne (np. a, e) i bezdźwięczne (np. s, sz). Organ mowy
ludzkiej jest tak zbudowany, że przypomina pudło rezonansowe, w którym człowiek jest w
stanie wytworzyć cztery częstotliwości rezonansowe (cztery formanty). Tak więc organ
mowy przypomina filtr z charakterystyką częstotliwościową o czterech przestrajanych
maksimach. Przy wydawaniu głosek dźwięcznych filtr jest pobudzany sygnałem okresowym
(ciągiem delt Kroneckera o okresie większym dla mężczyzn po mutacji i mniejszym dla
kobiet i dzieci). Przy wydawaniu głosek bezdźwięcznych filtr jest pobudzany szumem. Na
przykład dla głoski dźwięcznej eee częstotliwości formantów to w przybliżeniu

,

,

,

, a częstotliwość podstawowa pobudzenia okresowego to

. Z kolei na przykład dla głoski bezdźwięcznej szsz częstotliwości formantów to w

przybliżeniu

,

,

i nie ma w widmie prążków, co wskazuje na

szumowe, a nie okresowe pobudzenie filtru. Te spostrzeżenia stanowiły podstawę do
opracowania bardzo skutecznej metody kompresji sygnałów mowy. Do odbiorcy wystarczy
przesyłać współczynniki filtru (kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej, formantów
w takt wypowiadanych głosek) z informacją, czy filtr ma być pobudzany sygnałem
okresowym, czy szumem.

Hz

8000

Hz

600

Hz

2500

H

1600

Hz

3400

H

2000

z

z

Hz

3400

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 15/19

3. Wykonanie ćwiczenia

1. Wybierz do badań dwa okna podobnie jak w przykładzie 1. Narysuj te okna i ich widma,
podaj wartości parametrów. Przedyskutuj wyniki wykazując wymienność parametrów okien.

2. W literaturze podaje się, że okno Kaisera z odpowiednio dobraną wartością parametru
aproksymuje inne okno. I tak, dla

jest aproksymowane okno von Hanna, dla β

jest

aproksymowane okno Hamminga, dla

jest aproksymowane okno Blackmana.

Wybierz jeden z tych trzech przypadków i pokaż na ile dokładna jest ta aproksymacja w
dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości.

β

5

=

β

6

=

6

,

8

=

β

3. Zmierz rozdzielczość częstotliwości i amplitudy cyfrowego analizatora widma posługując
się interfejsem graficznym widmo podobnie jak w przykładzie 2. Wybierz jedno z dostępnych
okien i wybierz jego długość N. Narysuj widmo z zaznaczoną rozdzielczością częstotliwości i
widmo z zaznaczoną rozdzielczością amplitudy. Przedyskutuj uzyskane wyniki, porównaj z
przewidywaniami teoretycznymi.

4. Fala trójkątna o amplitudzie

8

2

π

ma następujące rozwinięcie w szereg Fouriera

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

K

+

+

+

+

+

=

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

x

0

0

0

0

0

9

2

cos

81

1

7

2

cos

49

1

5

2

cos

25

1

3

2

cos

9

1

2

cos

π

π

π

π

π

Podobnie jak w przykładzie 3 pokaż, jakie jest widmo tego sygnału w cyfrowym analizatorze
widma (stosuj skalę liniową i decybelową) z wybranym oknem o wybranej długości. Narysuj
sygnał i jego widmo. Czy prążki widma występują na częstotliwościach takich jak
przewidywano? Czy wysokości prążków są takie jak przewidywano, np. czy prążek trzeciej
harmonicznej jest 9 razy mniejszy niż prążek podstawowej harmonicznej? Przedyskutuj jak
zależy kształt prążków widma sygnału od rodzaju i długości okna.

5. Wybierz do badań inny sygnał niż w przykładzie 4. Zbadaj właściwości widmowe
wybranego sygnału posługując się interfejsem graficznym stft. Opisz te właściwości. Jakie
wnioski wynikają z obserwacji uśrednionego widma sygnału, a jakie ze spektrogramu?


4. Zadania testowe na wejściówkę i sprawdzian

1. Narysuj okno:

a) prostokątne

o długości ;

[ ]

n

w

7

=

N

b) trójkątne

o długości ;

[ ]

n

w

7

=

N

c) von Hanna w

o długości ;

[ ]

n

7

=

N

d) Hamminga w

o długości ;

[ ]

n

7

=

N

e) Blackmana w

o długości .

[ ]

n

7

=

N

Oblicz i wykreśl widmo okna

( )

ω

j

e

W

. Oblicz szerokość listka głównego W , i tłumienie

listków bocznych

. Jaka będzie w przybliżeniu rozdzielczość częstotliwości i

rozdzielczość amplitudy analizatora widma z takim oknem?

M

B

[

dB

R

]

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 16/19

2. Sygnał

jest kosinusoidą o amplitudzie 1 i okresie 8 , gdzie T jest okresem

próbkowania. Sygnał ten przepuszczono przez:

[ ]

n

x

T

a) okno prostokątne

o długości ;

[ ]

n

w

5

=

N

b) okno Bartletta

o długości ;

[ ]

n

w

5

=

N

c) okno von Hanna

o długości ;

[ ]

n

w

5

=

N

d) okno Hamminga

o długości ;

[ ]

n

w

5

=

N

e) okno Blackmana

o długości ;

[ ]

n

w

5

=

N

i otrzymano sygnał

. Narysuj sygnały

,

,

i ich widma amplitudowe.

[ ]

n

y

[ ]

n

x

[ ]

n

w

[ ]

n

y

3. Naszkicuj spektrogram sygnału świergotowego

( )

(

)

2

0

2

cos

t

t

f

t

x

πµ

π

+

=

p

f

o czasie trwania od

zera do

próbkowanego z częstotliwością

przy następujących wartościach

parametrów:

max

t

a) ,

,

,

;

0

0

=

f

kHz

2

=

µ

s

t

2

max

=

kHz

4

=

p

f

b)

,

, t

,

;

kHz

2

0

=

f

kHz

2

=

µ

s

2

max

=

kHz

8

=

p

f

c)

,

,

,

.

kHz

2

0

=

f

kHz

2

=

µ

s

t

4

max

=

kHz

8

=

p

f

Literatura

Zieliński T.: Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów. WKŁ, Warszawa 2005

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 17/19

Nazwisko i imię........................................................nr indeksu........................data.....................
Nr komputera..................................dzień tygodnia......................................godz.........................

LABORATORIUM PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW

Sprawozdanie z ćwiczenia 3

„Analiza widmowa z zastosowaniem okien czasowych”

Ad. 1. Wybierz do badań dwa okna, podobnie jak w przykładzie 1. Narysuj te okna i ich
widma, podaj wartości parametrów. Przedyskutuj wyniki wykazując wymienność parametrów
okien.



















Ad. 2. W literaturze podaje się, że okno Kaisera z odpowiednio dobraną wartością parametru

aproksymuje inne okno. I tak, dla

jest aproksymowane okno von Hanna, dla

jest aproksymowane okno Hamminga, dla

jest aproksymowane okno Blackmana.

Wybierz jeden z tych trzech przypadków i pokaż na ile dokładna jest ta aproksymacja w
dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości.

β

5

=

β

6

=

β

6

,

8

=

β

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 18/19

Ad. 3. Zmierz rozdzielczość częstotliwości i amplitudy cyfrowego analizatora widma
posługując się interfejsem graficznym widmo podobnie jak w przykładzie 2. Wybierz jedno z
dostępnych okien i wybierz jego długość N. Narysuj widmo z zaznaczoną rozdzielczością
częstotliwości i widmo z zaznaczoną rozdzielczością amplitudy. Przedyskutuj uzyskane
wyniki, porównaj z przewidywaniami teoretycznymi.
















Ad. 4. Fala trójkątna o amplitudzie

8

2

π

ma następujące rozwinięcie w szereg Fouriera

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

K

+

+

+

+

+

=

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

x

0

0

0

0

0

9

2

cos

81

1

7

2

cos

49

1

5

2

cos

25

1

3

2

cos

9

1

2

cos

π

π

π

π

π

Podobnie jak w przykładzie 3 pokaż, jakie jest widmo tego sygnału w cyfrowym analizatorze
widma (stosuj skalę liniową i decybelową) z wybranym oknem o wybranej długości. Narysuj
sygnał i jego widmo. Czy prążki widma występują na częstotliwościach takich jak
przewidywano? Czy wysokości prążków są takie jak przewidywano, np. czy prążek trzeciej
harmonicznej jest 9 razy mniejszy niż prążek podstawowej harmonicznej? Przedyskutuj jak
zależy kształt prążków widma sygnału od rodzaju i długości okna.

 Andrzej Leśnicki Laboratorium PS Ćwiczenie 3 19/19

Ad.5. Wybierz do badań inny sygnał niż w przykładzie 4. Zbadaj właściwości widmowe
wybranego sygnału posługując się interfejsem graficznym stft. Opisz te właściwości. Jakie
wnioski wynikają z obserwacji uśrednionego widma sygnału, a jakie ze spektrogramu?