Ć w i c z e n i e 9

WYZNACZANIE NAPIĘCIA POWIERZCHNIOWEGO ZA

POMOCĄ KAPILARY

9.1 Opis teoretyczny

9.1.1. Napięcie powierzchniowe cieczy

Średnie odległości cząsteczek w cieczach są znacznie mniejsze niż w gazach, dlatego siły wzajem-
nego ich oddziaływania odgrywają istotną rolę. Zasięg działania tych sił jest bardzo mały, rzędu

10

5

⋅

-8

m, a więc około 50 średnic cząsteczki. Jak pokazuje rys.9.1 siły van der Waalsa kompensują

się wówczas, gdy cząsteczka znajdzie się głęboko wewnątrz cieczy. Natomiast w jej powierzchnio-
wej warstwie siły międzycząsteczkowe nie kompensują się. Na cząsteczki cieczy znajdujące się w
tej warstwie pozostała część cząsteczek wywiera siłę przyciągania skierowaną w głąb cieczy i pro-
stopadłą do jej powierzchni. Dlatego powierzchniowa warstwa wywiera na ciecz wielkie ciśnienie
wewnętrzne dochodzące do dziesiątków tysięcy atmosfer ( dla wody ~1700 at.). Ciśnienia we-
wnętrznego nie można zmierzyć doświadczalnie, gdyż zawsze skierowane jest w głąb cieczy, a
więc nie działa na ścianki naczynia i na ciała w niej zanurzone.

Średnia energia kinetyczna cząsteczek określana jest wyłącznie przez temperaturę. Dlatego

w stanie równowagi energie cząsteczek warstwy powierzchniowej i znajdujących się wewnątrz cie-
czy są identyczne. Natomiast energia potencjalna uwarunkowana jest siłami wzajemnego oddziały-
wania międzycząsteczkowego. Cząsteczka przechodząc z wewnętrznych części cieczy na jej po-
wierzchnię musi wykonać pracę przeciwko jej siłom przyciągania skierowanym w głąb cieczy
(rys.9.1). Dlatego cząsteczki warstwy powierzchniowej mają większą energię potencjalną niż czą-
steczki wewnątrz cieczy.

Rys. 9.1. Siły oddziaływań międzycząsteczkowych w cieczy

Właściwsze i precyzyjniejsze niż pojęcie energii potencjalnej jest pojęcie energii swobodnej ciała,
które jest miarą maksymalnej pracy jaką mogłoby ciało wykonać w odwracalnym procesie izoter-
micznym. W przybliżeniu można je oczywiście utożsamiać z energią potencjalną.

Z termodynamiki wynika, że w stanie równowagi stałej układ zachowuje się tak, że posiada mini-
malną wartość energii swobodnej. Dlatego każda ciecz w stanie równowagi zachowuje się tak, aby
mieć najmniejsze pole powierzchni. Świadczy to o tym, że warstwa powierzchniowa jest podobna
do rozciągniętej błonki sprężystej. Działają w niej siły molekularne leżące w płaszczyźnie po-
wierzchni cieczy i skierowane na wszystkie jej strony - są to siły napięcia powierzchniowego.
Zilustrujemy to zjawisko doświadczeniem (rys.9.2.).

a)

b)

Rys. 9.2.a. Równoważące się siły napięcia

Rys. 9.2.b Mechanizm rozciągania

powierzchniowego,

błony powierzchniowej.

Pozioma prostokątna druciana ramka ABCD i ruchoma poprzeczka a b dzieląca ją na dwie części
zaciągnięte są całkowicie błonką wody mydlanej (rys.9.2a). Siły działające na ramkę po obu jej
stronach równoważą się i poprzeczka pozostaje nieruchoma. Natomiast po rozerwaniu jednej z bło-
nek (rys.9.2b) zaczyna przesuwać się w kierunku pozostawionej błonki. W celu zrównoważenia
działania błonki do poprzeczki należy przyłożyć siłę F. Doświadczalnie stwierdzono, że jest ona
proporcjonalna do długości i poprzeczki

F = 2

δ l

(9.1)

Współczynnik proporcjonalności

δ nazywamy współczynnikiem napięcia powierzchniowego cie-

czy. We wzorze pojawia się czynnik 2, gdyż błonka mydlana ma dwie ograniczające ją warstwy
powierzchniowe, z których każda działa na poprzeczkę a siłą

δ l.

Ze wzoru (9.1) wynika, że wartość liczbowa współczynnika napięcia powierzchniowego równa się
sile działającej na jednostkę długości obwodu ograniczającego powierzchnię cieczy. Siła ta jest
spowodowana wzajemnym przyciąganiem między cząsteczkami warstwy powierzchniowej i jest
skierowana wzdłuż stycznej do powierzchni oraz prostopadle do obwodu. W układzie SI jednostką
napięcia powierzchniowego jest więc N/m.
Współczynnik napięcia powierzchniowego zależy od składu chemicznego cieczy i od temperatury.
Znajdźmy wyrażenie swobodną energię warstwy powierzchniowej cieczy równej pracy wykonanej
nad układem przez siły zewnętrzne w odwracalnym procesie izotermicznym. Przy przesunięciu
granicy błonki a b na odległość dx (rys.9.2b) siła zewnętrzna F wykonuje pracę dL:

A

B

a

b

C

D

A

B

a

b

C

D

dx

F

l

dL = F dx = 2

δ l dx

(9.2)

Iloczyn 2 l dx oznacza powiększenie pola powierzchni cieczy dS. (dS = 2 l dx), a więc

DL =

δ ds.

(9.3)

Całkowita praca wykonana przez siły zewnętrzne przy zmianie pola powierzchni błonki od S

1

do S

2

będzie wynosiła

(

)

S

S

S

dS

L

S

S

∆

⋅

=

−

=

⋅

=

∫

δ

δ

δ

2

1

1

2

(9.4)

Zmiana swobodnej energii warstwy powierzchniowej cieczy równa się więc iloczynowi współ-
czynnika

δ i zmiany pola powierzchni

S

∆

. Wobec tego wartość liczbowa współczynnika napięcia

powierzchniowego równa się również swobodnej energii warstwy powierzchniowej, której pole jest
równe jedności, a jego jednostka w układzie SI jest J/m

2

.

Reasumując możemy powiedzieć, że napięcie powierzchniowe ma podwójne znaczenie: siłowe i
energetyczne. Warto zauważyć, że analogie między zachowaniem błonki powierzchniowej cieczy i
błonki sprężystej są przybliżone. Napięcie błonki sprężystej jest wprost proporcjonalne do jej od-
kształcenia (rozciągnięcia) i jest równe zeru dla pewnego skończonego pola powierzchni błonki.
Natomiast napięcie powierzchniowe w cieczach nie zależy od rozmiarów powierzchni swobodnej -
usiłuje ono zmniejszyć jej wielkość do zera. Dzieje się tak, gdyż siły oddziaływania międzyczą-
steczkowego nie ulegają zmianie.
Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy przeprowadzane jest trzema metodami:

1) przez rozrywanie błonki powierzchniowej wskutek jej rozciągnięcia;
2) przez pomiar wzniesienia włoskowatego w rurkach włoskowatych (kapilarach);
3) na podstawie wypływu kroplowego.

W naszym ćwiczeniu korzystamy z drugiej metody.

9.1.2. Zwilżanie i zjawisko włoskowatości

Doświadczenie pokazuje, że swobodna powierzchnia cieczy przy ściankach naczynia na ogół jest
zakrzywiona i ma kształt przedstawiony na rys.9.3. Zakrzywiona swobodna powierzchnia cieczy
nazywa się meniskiem. W celu jego scharakteryzowania wprowadza się pojęcie kąta granicznego

θ

między zwilżoną powierzchnią ścianki i meniskiem w punktach ich przecięcia się. Jeżeli

θ < 90

0

(rys.9.3a) mówimy, że ciecz zwilża ściankę, jeżeli

θ > 90

0

(rys.9.3b) mówimy, że ciecz nie zwilża

ścianki.
Występowanie menisku jest spowodowane tym, że cząsteczki cieczy znajdujące się w pobliżu
ścianki ciała stałego oddziałują z jego cząsteczkami.
Rozpatrzmy cząsteczkę A warstwy powierzchniowej cieczy znajdującą się w pobliżu ścianki na-
czynia (rys.9.3). Zakres jej cząsteczkowego działania jest zaznaczony na rysunku konturem K.
Działają na nie dwie siły:

1.

2

F

r

z jaką jest przyciągana przez cząsteczki ścianki. Ze względu na symetrię siła ta jest pro-

stopadle skierowana do ścianki naczynia.

2.

1

F

r

, która jest wypadkową sił przyciągania cząsteczki A przez wszystkie pozostałe czą-

steczki cieczy. Jej kierunek zależy od kształtu menisku i położenia cząsteczki A względem

ścianki. Ciężar cząsteczki w porównaniu z siłami

1

F

r

i

2

F

r

jest tak mały, że można go po-

minąć. Siłą wypadkowa (gdy cząsteczka A znajduje się w równowadze), jest skierowana
prostopadle do powierzchni cieczy. Gdyby siła

F

r

nie była prostopadła do powierzchni cie-

czy, wówczas cząsteczka będzie się przesuwać wzdłuż powierzchni.

a)

b)

Rys.9.3. Rozkład sił działających na cząsteczkę cieczy znajdującą się na powierzchni meni-

sku wklęsłego (a) i wypukłego (b).

Mogą zaistnieć trzy następujące przypadki:

1. Siła

F

r

jest równoległa do powierzchni ścianki, wówczas powierzchnia cieczy jest płaska i

θ = 90

0

.

2. Siła

F

r

jest skierowana w stronę ścianki, tzn. że siły przyciągania cząsteczki A przez czą-

steczki ścianki przeważają nad siłami przyciągania jej przez cząsteczki cieczy. Wtedy ciecz
ma menisk wklęsły i

θ < 90

0

, tzn., że ciecz zwilża ściankę (rys.9.3a).

3. Siła

F

r

jest skierowana w stronę cieczy, tzn., że siły przyciągania cząsteczki A przez czą-

steczki cieczy przeważają nad siłami przyciągania jej przez cząsteczki ścianki. Wtedy ciecz
ma menisk wypukły i

θ > 90

0

, tzn., że ciecz nie zwilża ścianki (rys.9.3b).

Dzięki działaniu sił napięcia powierzchniowego zakrzywiona warstwa powierzchniowa wywiera na
ciecz pewne ciśnienie P

k

, dodające się do zewnętrznego ciśnienia P

atm

. Analogicznie działa rozcią-

gnięta sprężysta powłoka na zamknięty wewnątrz niej gaz.
Gdy menisk jest wypukły, ciśnienie to jest skierowane ku dołowi (wówczas P

k

> 0) i dlatego po-

ziom cieczy w kapilarze będzie wtedy niższy niż w naczyniu (rys.9.4a). Natomiast gdy menisk jest
wklęsły, dodatkowe ciśnienie P

k

jest skierowane ku górze (wówczas P

k

< 0) i dlatego poziom cie-

czy w kapilarze będzie wtedy wyższy niż w naczyniu (rys.9.4b).
Pierre Laplace wprowadził następującą zależność między ciśnieniem P

k

a geometrią powierzchni

cieczy













+

=

2

1

1

1

R

R

P

k

δ

(9.5)

gdzie: R

1

i R

2

oznaczają promienie krzywizn dwóch dowolnych, ale wzajemnie prostopadłych

przekrojów normalnych w danym punkcie cieczy.

K

F

2

A

F

F

1

θ

K

θ

F F

2

F

F

1

a)

b)

Rys.9.4. Zjawisko włoskowatości: a) gdy ciecz nie zwilża ścianek naczynia, b) gdy ciecz zwilża

ścianki naczynia.

Przekrojem normalnym powierzchni w danym punkcie nazywamy krzywą otrzymaną w przecięciu
powierzchni płaszczyzną przechodzącą przez normalną (prostopadłą) do powierzchni w tym punk-
cie. R

1

lub R

2

przyjmuje się za dodatnie, gdy środek krzywizny przekroju leży wewnątrz cieczy.

Rozważmy kilka przypadków szczególnych:

1. Dla powierzchni płaskiej R

1

= R

2

=

∞ i wtedy P

k

= 0.

2. Dla powierzchni cylindrycznej (np. dla cieczy między dwoma równoległymi pionowymi szy-

bami położonymi bardzo blisko siebie) R

1

=R. a R

2

=

∞ i wtedy

R

P

k

δ

=

(9.6)

3. Dla powierzchni kulistej R

1

= R

2

= R

R

P

k

δ

2

=

(9.7)

Takie jest ciśnienie wewnątrz pęcherzyka gazu o promieniu R, znajdującego się wewnątrz cieczy w
pobliżu jej powierzchni.
4. Dla kapilary o małym promieniu r powierzchnia cieczy jest kulista, przy czym jej promień

θ

cos

r

R

=

(9.8)

Dla cieczy z meniskiem wklęsłym ciśnienie P

k

jest równoważone ciśnieniem hydrostatycznym słu-

pa cieczy w kapilarze

P

k

=

ρ g h

(9.9)

gdzie:

ρ - gęstość cieczy; h - wysokość słupa cieczy w kapilarze mierzona od poziomu cieczy w

naczyniu; g - przyśpieszenie ziemskie.

Szkło

h>0

h<0

Rtęć

Woda

Zestawiając wzory (9.7), (9.8) i (9.9) otrzymujemy możliwość wyznaczenia współczynnika napię-
cia powierzchniowego cieczy badając efekt kapilarny

θ

ρ

δ

cos

2

g

h

r

=

(9.10)

W przypadku czystych rurek szklanych zetknięcie wielu cieczy z jej ściankami cechuje tzw. zwil-
żanie doskonałe o kącie granicznym bardzo bliskim zeru (

θ = 0 ). W ćwiczeniu mamy właśnie taką

sytuację.

9.2. Opis układu pomiarowego

W skład układu pomiarowego wchodzą trzy naczynia napełnione badanymi cieczami. Do każdego z
nich wstawiona jest pionowa kapilara. Naczynie z badaną cieczą ustawia się na stoliczku z regulo-
waną wysokością. Do zmierzenia wysokości słupa cieczy służy katetometr, tzn. przyrząd do wy-
znaczania pionowych odległości między punktami. Składa się on z kilku podstawowych elemen-
tów:

- masywnego pręta umocowanego na trójnożnej podstawie ze śrubą regulującą pionowe ustawie-

nie katetometru; na pręcie naniesiona jest skala milimetrowa;

- lunetki, w polu widzenia której znajdują się dwie skrzyżowane nici ( przy pomiarach punkt

przecięcia nici należy nastawić na wybrane poziomy - dolny menisk cieczy w kapilarze i na
dolny menisk cieczy w naczyniu).

Lunetka przymocowana jest do cylindra obejmującego pręt katetometru. Cylinder ten wraz z lunet-
ką można z łatwością przesuwać wzdłuż pręta i zamocować za pomocą odpowiedniej śruby w wy-
branym miejscu. W cylindrze zrobione jest prostokątne wycięcie dla odczytu na skali milimetrowej
położenia lunetki. Położenie to może być określone z dokładnością do 0,05 milimetra, dzięki skali
noniusza umieszczonej wzdłuż wycięcia.

9.3. Przebieg pomiarów

1. Zapoznać się z budową katetometru.
2. Ustawić stoliczek w odległości około 2 m . Umieścić na mim naczynie z badaną cieczą. Dobrać

odpowiednią wysokość pozwalającą na swobodne dokonywanie odczytów poziomów cieczy na
skali katetometru.

3. Zmierzyć wysokość słupa cieczy h w kapilarze. Wykonać co najmniej 5 pomiarów.
4. Wykonać pomiary według punktów 2 i 3 dla dwóch pozostałych cieczy.
5. Odczytać jaka jest temperatura w pomieszczeniu.
6. Zanotować wartość promienia kapilary r podaną w instrukcji załączonej do układu pomiarowe-

go.

9.4. Opracowanie wyników pomiarów

1. Wyznaczyć wartość średniej arytmetycznej h

śr

z wykonanych pomiarów.

2. Obliczyć współczynnik napięcia powierzchniowego korzystając ze wzoru (9.10), podstawiając

obliczoną h

Sr

. Wartości

ρ, g, przyjąć z tablic. Zakładamy, że kąt graniczny θ = 0.

3. Przeprowadzić dyskusję błędu, biorąc pod uwagę, że jedynie wielkość h

śr

jest obarczona błędem

i jest on przypadkowy.

4. Obliczyć dla współczynnika napięcia powierzchniowego odchylenie standardowe oraz dla poda-

nego przez prowadzącego zajęcia poziomu ufności p obliczyć przedział ufności.

5. Obiczenia według punktów 1-4 wykonać dla dwóch pozostałych cieczy.

L i t e r a t u r a

;

[1] Bartnicki S, .Borys. W, , Kostrzyński T.: Fizyka ogólna – ćwiczenia laboratoryjna, skrypt WAT
[2] Dryński T.: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. PWN, Warszawa, 1976
[3] Massalski J., Massalska M.: Fizyka dla inżynierów, cz.I. WNT, Warszawa 1980.