W

W

Y

Y

M

M

I

I

A

A

N

N

A

A

(

(

T

T

R

R

A

A

N

N

S

S

P

P

O

O

R

R

T

T

)

)

C

C

I

I

E

E

P

P

Ł

Ł

A

A

Trzy podstawowe mechanizmy transportu ciepła

(wymiany ciepła):

1.

P

P

P

R

R

R

Z

Z

Z

E

E

E

W

W

W

O

O

O

D

D

D

Z

Z

Z

E

E

E

N

N

N

I

I

I

E

E

E

- przekazywanie energii od jednej cząstki do

drugiej, za pośrednictwem ruchu drgającego tych cząstek. Proces ten
trwa dopóty, dopóki temperatura ciała nie zostanie wyrównana w
całej rozpatrywanej objętości. Dotyczy to bezpośredniego kontaktu
ciała z ciałem, części ciała z ciałem.

2.

P

P

P

R

R

R

O

O

O

M

M

M

I

I

I

E

E

E

N

N

N

I

I

I

O

O

O

W

W

W

A

A

A

N

N

N

I

I

I

E

E

E

- przekazywanie ciepła w postaci energii

promieniowania, którego natura jest taka sama jak energii świetlnej.
Energia cieplna przekształca się w energię promieniowania, przebywa

określoną przestrzeń z prędkością światła, aby w innym miejscu
przekształcić się całkowicie lub częściowo w energię cieplną.

3.

K

K

K

O

O

O

N

N

N

W

W

W

E

E

E

K

K

K

C

C

C

J

J

J

A

A

A

(

(

(

W

W

W

N

N

N

I

I

I

K

K

K

A

A

A

N

N

N

I

I

I

E

E

E

)

)

)

- wiąże się z ruchem konwekcyjnym

gazów lub cieczy, wywołanym bądź różnicą gęstości (różnicą
temperatur), bądź przez wymuszenie czynnikami zewnętrznymi.

P

P

R

R

Z

Z

E

E

W

W

O

O

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

E

E

Stan cieplny ciała określa temperatura. Miejsca geometryczne o

jednakowej temperaturze tworzą powierzchnie izotermiczne, linie o
jednakowej temperaturze tworzą izotermy.
Temperatura ciała zmienia się najszybciej w kierunku
prostopadłym do izoterm.

Przewodzenie dotyczy głównie ciał stałych, gdyż to ciała stałe
najlepiej przewodzą ciepło.

PODSTAWOWE

DEFINICJE

PODSTAWOWE DEFINICJE

NATĘŻENIE PRZEPŁYWU CIEPŁA

(STRUMIEŃ CIEPLNY) Q

*

ilość ciepła jaka przepływa przez dane ciało w jednostce czasu

[ ]

*

J

W

s

dQ

Q

dt

⎡ ⎤

=

=

⎢ ⎥

⎣ ⎦

gdzie:
Q-ciepło,
t-czas,

GĘSTOŚĆ STRUMIENIA CIEPLNEGO q (OBCIĄŻENIE CIEPLNE)

natężenie przepływu ciepła odniesione do jednostki powierzchni (straty

ciepła przypadające na jednostkę powierzchni)

2

W

m

Q

q

A

∗

⎡

⎤

=

⎢

⎥

⎣

⎦

gdzie:
A-powierzchnia,

Natężenie przepływu ciepła

[W]

*

A

q

Q

⋅

=

Przewodzenie ciepła jest USTALONE gdy

dQ/dt=const lub

Q

*1

= Q

*2

= Q

*3

Przewodzenie ciepła jest NIEUSTALONE gdy

dQ/dt≠const lub

Q

*1

≠ Q

*2

≠ Q

*3

Ścianka płaska jednowarstwowa:

gęstość strumienia cieplnego

]

m

W

[

)

(

2

2

1

T

T

q

−

⋅

=

σ

λ

temperatura T

1

>temperatury T

2

gdzie:
σ-grubość warstwy (ścianki),

natężenie przepływu ciepła

[W]

)

(

*

2

1

T

T

A

Q

−

⋅

⋅

=

σ

λ

Całkowita ilość przewodzonego ciepła przez ciało:

[J]

t

A

q

Q

⋅

⋅

=

Ścianka płaska wielowarstwowa:

natężenie przepływu ciepła

1

2

*

1

(

)

[W]

i n

i

i

i

A T T

Q

σ

λ

=

=

⋅

−

=

∑

gęstość strumienia cieplnego

1

2

2

1

(

)

W

m

i n

i

i

i

T T

q

σ

λ

=

=

−

⎡

⎤

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

Ś

Ś

C

C

I

I

A

A

N

N

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

A

A

S

S

K

K

A

A

T

T

1

5

σ

Q

*

σ

1

σ

2

σ

3

σ

4

T

1

T

2

T

3

T

4

T

5

Q

*

T

Q

*

x

P

P

R

R

Z

Z

E

E

W

W

O

O

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

E

E

C

C

I

I

E

E

P

P

Ł

Ł

A

A

–

–

Ś

Ś

C

C

I

I

A

A

N

N

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

A

A

S

S

K

K

A

A

O

O

p

p

ó

ó

r

r

t

t

e

e

r

r

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

y

y

O

O

p

p

ó

ó

r

r

t

t

e

e

r

r

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

y

y

d

d

e

e

f

f

i

i

n

n

i

i

u

u

j

j

e

e

m

m

y

y

j

j

a

a

k

k

o

o

s

s

t

t

o

o

s

s

u

u

n

n

e

e

k

k

r

r

ó

ó

ż

ż

n

n

i

i

c

c

y

y

t

t

e

e

m

m

p

p

e

e

r

r

a

a

t

t

u

u

r

r

(

(

n

n

a

a

p

p

o

o

w

w

i

i

e

e

r

r

z

z

c

c

h

h

n

n

i

i

o

o

g

g

r

r

a

a

n

n

i

i

c

c

z

z

a

a

j

j

ą

ą

c

c

y

y

c

c

h

h

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

ę

ę

m

m

a

a

t

t

e

e

r

r

i

i

a

a

ł

ł

u

u

,

,

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

ę

ę

p

p

o

o

w

w

i

i

e

e

t

t

r

r

z

z

a

a

l

l

u

u

b

b

p

p

r

r

z

z

e

e

g

g

r

r

o

o

d

d

ę

ę

)

)

d

d

o

o

g

g

ę

ę

s

s

t

t

o

o

ś

ś

c

c

i

i

s

s

t

t

r

r

u

u

m

m

i

i

e

e

n

n

i

i

a

a

c

c

i

i

e

e

p

p

l

l

n

n

e

e

g

g

o

o

q

q

.

.

W

W

i

i

e

e

l

l

k

k

o

o

ś

ś

ć

ć

t

t

a

a

o

o

k

k

r

r

e

e

ś

ś

l

l

a

a

„

„

o

o

p

p

ó

ó

r

r

”

”

j

j

a

a

k

k

i

i

s

s

t

t

a

a

w

w

i

i

a

a

d

d

a

a

n

n

y

y

m

m

a

a

t

t

e

e

r

r

i

i

a

a

ł

ł

p

p

r

r

z

z

e

e

m

m

i

i

e

e

s

s

z

z

c

c

z

z

a

a

j

j

ą

ą

c

c

e

e

m

m

u

u

s

s

i

i

ę

ę

c

c

i

i

e

e

p

p

ł

ł

u

u

.

.

Ś

Ś

c

c

i

i

a

a

n

n

k

k

a

a

j

j

e

e

d

d

n

n

o

o

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

o

o

w

w

a

a

W

W

p

p

r

r

z

z

y

y

p

p

a

a

d

d

k

k

u

u

ś

ś

c

c

i

i

a

a

n

n

e

e

k

k

j

j

e

e

d

d

n

n

o

o

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

o

o

w

w

y

y

c

c

h

h

(

(

j

j

e

e

d

d

n

n

o

o

f

f

a

a

z

z

o

o

w

w

y

y

c

c

h

h

)

)

w

w

a

a

r

r

t

t

o

o

ś

ś

ć

ć

o

o

p

p

o

o

r

r

u

u

t

t

e

e

r

r

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

e

e

g

g

o

o

j

j

e

e

s

s

t

t

t

t

y

y

m

m

w

w

i

i

ę

ę

k

k

s

s

z

z

a

a

i

i

m

m

ś

ś

c

c

i

i

a

a

n

n

k

k

a

a

j

j

e

e

s

s

t

t

g

g

r

r

u

u

b

b

s

s

z

z

a

a

i

i

i

i

m

m

g

g

o

o

r

r

z

z

e

e

j

j

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

z

z

i

i

c

c

i

i

e

e

p

p

ł

ł

o

o

.

.

Ś

Ś

c

c

i

i

a

a

n

n

k

k

a

a

w

w

i

i

e

e

l

l

o

o

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

o

o

w

w

a

a

W

W

p

p

r

r

z

z

y

y

p

p

a

a

d

d

k

k

u

u

ś

ś

c

c

i

i

a

a

n

n

e

e

k

k

w

w

i

i

e

e

l

l

o

o

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

o

o

w

w

y

y

c

c

h

h

n

n

a

a

o

o

p

p

ó

ó

r

r

t

t

e

e

r

r

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

y

y

s

s

k

k

ł

ł

a

a

d

d

a

a

j

j

ą

ą

s

s

i

i

ę

ę

g

g

r

r

u

u

b

b

o

o

ś

ś

c

c

i

i

i

i

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

n

n

i

i

c

c

t

t

w

w

a

a

c

c

i

i

e

e

p

p

l

l

n

n

e

e

p

p

o

o

s

s

z

z

c

c

z

z

e

e

g

g

ó

ó

l

l

n

n

y

y

c

c

h

h

w

w

a

a

r

r

s

s

t

t

w

w

w

w

ś

ś

c

c

i

i

a

a

n

n

c

c

e

e

.

.

2

T

m deg

=

q

R

W

σ

λ

⎡

⎤

Δ

⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

2

1

T

m deg

=

q

i n

i

i

i

R

W

σ

λ

=

=

⎡

⎤

Δ

⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

Ś

Ś

C

Przewodzenie ciepła przez ściankę cylindryczną:

natężenie wymiany ciepła (strumień cieplny)

1

2

*

1

1

(

)

[W]

1

ln

2

i n

i

i

i

i

L T T

Q

r

r

π

λ

=

+

=

⋅ ⋅

−

=

⋅

∑

gęstość strumienia cieplnego

2

W

m

Q

q

A

∗

⎡

⎤

=

⎢

⎥

⎣

⎦

C

I

I

A

A

N

N

K

K

A

A

C

C

Y

Y

L

L

I

I

N

N

D

D

R

R

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

A

A

Q

*

Q

*

T

1

T

1

T

2

T

3

T

3

L

r

3

r

2

r

1

r

1

r

2

r

3

PRZEWODZENIE opiera się na prawie FOURIERA
mówiącym o ilości ciepła przewodzonego przez
powierzchnię A prostopadłą do kierunku ruchu

ciepła:

T

1

Q

T

2

x( )

σ

)

(

τ

λ

d

gradT

A

dQ

⋅

⋅

⋅

−

=

gdzie:
T-temperatura,
λ-współczynnik przewodzenia ciepła,
τ-czas,

podstawiając za:

dx

dT

gradT

=

otrzymujemy:

)

(

)

(

τ

λ

d

dx

dT

A

dQ

⋅

⋅

⋅

−

=

gdzie:
x (

σ)-grubość warstwy,

dalej:

*

Q

d

dQ

=

τ

zakładamy

const

d

dQ

=

τ

– ustalone przewodzenie ciepła

otrzymujemy:

[W]

)

(

*

dx

dT

A

Q

⋅

⋅

−

=

λ

rozważając dalej:

A

q

Q

⋅

=

*

stąd:

]

m

W

[

)

(

2

dx

dT

q

⋅

−

=

λ

Z powyższych równań wynika, że:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

⋅

⋅

−

=

deg

m

W

)

m

deg

(m

W

)

(

2

dx

dT

A

d

dQ

τ

λ

zatem

współczynnik przewodzenia ciepła (λ) jest to ilość

ciepła przewodzona przez ciało o powierzchni 1m

2

, grubości

ścianki 1m, gdy różnica temperatur pomiędzy przeciwległymi
ściankami wynosi 1deg, w ciągu 1s.

W

W

S

S

P

P

Ó

Ó

Ł

Ł

C

C

Z

Z

Y

Y

N

N

N

N

I

I

K

K

P

P

R

R

Z

Z

E

E

W

W

O

O

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

A

A

C

C

I

I

E

E

P

P

Ł

Ł

A

A

M

M

A

A

T

T

E

E

R

R

I

I

A

A

Ł

Ł

Ó

Ó

W

W

W

W

I

I

E

E

L

L

O

O

F

F

A

A

Z

Z

O

O

W

W

Y

Y

C

C

H

H

(

(

K

K

O

O

M

M

P

P

O

O

Z

Z

Y

Y

T

T

Ó

Ó

W

W

)

)

Przewodzenie w kierunku prostopadłym do warstw

(model szeregowy):

1

2

2

1

2

1

V

V

⋅

⋅

⋅

+

=

λ

λ

λ

λ

λ

Przewodzenie w kierunku równoległym do warstw

(model równoległy):

2

2

1

1

V

V

⋅

+

⋅

=

λ

λ

λ

gdzie:
V

1

, V

2

– udziały objętościowe składników kompozytu,

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

ZADANIE 1

Dane:

σ=0,2 m T

1

=300

°C

λ=0,252 [W/m·deg] T

2

=275

°C

A=3,5 m

2

Obliczyć natężenie przepływu ciepła,
gęstość strumienia cieplnego, opór termiczny

oraz wyznaczyć izotermę, dla której
temperatura ścianki będzie równa 280

°C.

Ponadto:

1) tak dobrać współczynnik przewodzenia

ciepła żeby

ΔT=45°C;

2) obliczyć całkowite ciepło przewodzone
przez tą ściankę w ciągu 1s ?

ZADANIE 2

Dane:

σ

1

=0,5 m

σ

2

=0,2 m

λ

1

= 2 [W/m·deg]

λ

2

= 0,07 [W/m·deg]

T

1

= 2500

°C T

2

= 200

°C

Obliczyć natężenie przepływu ciepła

wiedząc, że A=2m

2

. Obliczyć gęstość

strumienia cieplnego dla tej ścianki, opór
termiczny oraz wyznaczyć temperaturę T

x

.

Następnie dobrać grubość warstwy drugiej
tak, żeby T

2

wynosiła 80

°C oraz wyznaczyć

izotermę gdzie temperatura ścianki wynosi

2000

°C?

ZADANIE 3

Określić minimalną grubość ściany
paleniska, jeśli wiadomo, że ściana

składa się z dwóch warstw:
wewnętrznej z cegły szamotowej i
zewnętrznej z cegły czerwonej, straty

cieplne 1m

2

ściany wynoszą 1,2 kW.

Współczynniki przewodzenia ciepła
obu materiałów są następujące: cegła

szamotowa

λ

1

=1,3 W/m·deg, cegła

czerwona

λ

2

=0,5 W/m·deg.

Temperaturowy przekrój przez ścianę
przedstawiono na rysunku.

ZADANIE 4

Dany jest rurociąg, którego podstawowe parametry są następujące:

r

1

= 0,1 m r

3

= 0,5 m

σ

1

=0,05 m

λ

1

= 3,8 [W/m·deg]

λ

2

= 0,05 [W/m·deg]

L= 2 m

Temperatura wewnętrznej ścianki wynosi 500

°C, zaś zewnętrznej 50°C.

Wyznaczyć natężenie przepływu ciepła na drodze przewodzenia

i temperaturę na połączeniu warstw. Następnie dobrać grubość warstwy
izolacji tak, żeby temperatura powierzchni zewnętrznej rury wynosiła

20ºC.

ZADANIE 5
Z dużym przybliżeniem cegła dziurawka jest przykładem kompozytu

warstwowego złożonego z warstw cegły (ciała stałego) i warstw porów.
Wyznaczyć współczynniki przewodzenia ciepła w kierunku równoległym
i prostopadłym do warstw, wiedząc, że:

V

ciała stałego

=78%

λ

ciała stałego

=0,2 W/m·deg

V

porów

=22%

λ

porów

=0,001 W/m·deg

ZADANIE 6
Obliczyć natężenie przepływu ciepła na drodze przewodzenia przez

ściankę szamotową o powierzchni 10m

2

i grubości 200mm, jeżeli

temperatury wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni ściany wynoszą
odpowiednio 800

°C i 40°C. Współczynnik przewodzenia ciepła szamotu

wynosi 0,7 W/m·deg.

ZADANIE 7
Jaka jest temperatura wewnętrznej powierzchni ściany o grubości
210mm , wykonanej z kształtek bazaltowych, jeżeli straty cieplne ściany
od powierzchni zewnętrznej do otoczenia wynoszą 840 W/m

2

, a

temperatura zewnętrznej powierzchni ściany równa jest 40

°C.

Współczynnik przewodzenia ciepła bazaltu wynosi 2,8 W/m·deg.

T

z

L

T

w

r

3

r

1

r

2

σ

1

ZADANIE 8
Ściana igloo zbudowana jest z desek o grubości

σ

1

= 0,02 m, warstwy

ziemi

σ

2

= 0,15 m i warstwy śniegu. Współczynniki przewodzenia ciepła

wynoszą odpowiednio: λ

1

=

0,2 W/(m K), λ

2

=0,5 W/(m deg), λ

3

=

0,4

W/(m deg). Obliczyć gęstość strumienia cieplnego, dopuszczalną grubość

σ

3

warstwy śniegu, jeżeli temperatura powierzchni desek wewnątrz igloo

wynosi T

1

=10

o

C, temperatura wewnętrznej powierzchni śniegu jest

równa temperaturze topnienia lodu a temperatura zewnętrznej
powierzchni śniegu wynosi T

4

=-40

o

C. Wyznaczyć również temperaturę

na połączeniu warstwy desek i ziemi oraz opór termiczny poszczególnych
warstw w ściance.

ZADANIE 9

Dane:
T

1

=1000

°C

T

2

=70

°C

σ

1

=0,5 m

σ

2

=0,6 m

λ

1

=1 [W/m·deg]

λ

2

=0,45 [W/m·deg]

Przewodzenie ciepła ustalone Q

*1

=Q

*2

.

Obliczyć strumień cieplny, gęstość

strumienia cieplnego i opór termiczny dla tej ścianki. Następnie
wyznaczyć temperaturę T

x

? Powierzchnia tej ścianki wynosi 1 m

2

.

ZADANIE 10
Rura stalowa o średnicy 102/112 mm jest zaizolowana warstwą waty

azbestowej o grubości

σ=70mm. Różnica temperatur pomiędzy

powierzchnią wewnętrzną a zewnętrzną wynosi 200

°C. Obliczyć

natężenie przepływu ciepła, jeżeli długość rury wynosi 15m.

Współczynniki przewodzenia ciepła wynoszą: 50 W/m·deg dla stali, zaś
dla waty azbestowej

λ=0,05 W/m·deg.

ZADANIE 11
Ściana pieca składa się z trzech warstw. Wewnętrzną warstwę stanowi
cegła ognioodporna o grubości

σ

1

=0,1 m i współczynniku przewodzenia

ciepła

λ

1

=0,95 W/m·deg. Środkową warstwą jest cegła zwykła o

σ

2

=0,2m i

λ

2

=0,65 W/m·deg, zewnętrzną natomiast izolacja o σ

3

=0,06m

i

λ

3

=0,1 W/m·deg. Pomiary temperatury wykazały, że temperatura

wewnętrzna ściany wynosi 750

°C, a ściany zewnętrznej 80°C. Obliczyć

straty cieplne pieca z 1m

2

powierzchni ściany oraz zakres temperatur, w

jakim znajduje się warstwa cegły zwykłej.

ZADANIE 12

Stalowy rurociąg o średnicach dw/dz =100/110mm i współczynniku

przewodzenia ciepła λ

1

= 40 W/(m·K) pokryto dwoma warstwami izolacji

o grubości

σ

2

=

σ

3

=30mm. Temperatura wewnętrznej powierzchni

rurociągu T1=623K i zewnętrznej powierzchni izolacji T

4

=323K. Określić

natężenie przepływu ciepła Q

*

, oraz temperaturę T

3

na styku izolacji,

jeżeli warstwy przylegają do siebie. Ile będzie wynosić natężenie
przepływu ciepła Q

*

oraz temperatura T

3

, jeżeli warstwy izolacji zostaną

zamienione w kolejności. Współczynniki przewodzenia ciepła izolacji
wynoszą λ

2

= 0,046 W/(m·K), λ

3

= 0,11 W/(m·K).

ZADANIE 13
Dana jest ścianka wielowarstwowa (A=1x2 m). Przewodzenie ciepła
ustalone.

Wiedząc, że: T

1

=800

°C σ

1

=0,2 m

λ

1

=25 W/m·deg

T

2

=799,4

°C σ

2

=0,1 m

λ

2

=1,0 W/m·deg

T

3

=791,9

°C σ

3

=0,2 m

λ

3

=0,02 W/m·deg

T

4

=40

°C

Obliczyć:
Natężenie przepływu ciepła Q

*

; gęstość strumienia cieplnego q, opór

termiczny poszczególnych warstw w ściance jak również opór termiczny
dla całej ścianki oraz znaleźć izotermę 100

°C.

ZADANIE 14

Dany jest kompozyt warstwowy. Współczynnik przewodzenia ciepła

λ

II

dla tego kompozytu wynosi 0,872 W/m·deg. Udział objętościowy jednej z
faz wynosi 18% zaś jej

λ=4,3 W/m·deg. Wyznaczyć współczynnik

przewodzenia ciepła dla drugiej z faz i zakwalifikować tą fazę do
odpowiedniego rodzaju materiału? Wyznaczyć także

λ dla przewodzenia

ciepła w kierunku prostopadłym do warstw?

ZADANIE 15
Dana jest cylindryczna ścianka o długości 0,7 m. Obliczyć natężenie
przepływu ciepła dla tej ścianki przyjmując jej grubość = 0,12 m. Dobrać
tak materiał (wyznaczyć współczynnik przewodzenia ciepła), żeby

ΔT=20°C? Przewodzenie ciepła ustalone.
Dane do zadania:

λ=0,04 W/m·deg

ΔT=50°C r

1

=0,12 m