Matematyka 1

Układy równań liniowych

dr inż. Rajmund Stasiewicz

2013/2014, semestr I (zimowy)

ELEKTROTECHNIKA

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

1 / 29

Podstawowe definicje

Definicja 1:

Układ równań liniowych

z n niewiadomymi x

1

, x

2

, . . . , x

n

i m

równaniami jest to układ:























a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= b

2

..

.

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= b

m

gdzie m, n ∈ N oraz a

ij

, b

i

∈ R(C) dla 1 ¬ i ¬ m oraz 1 ¬ j ¬ n.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

2 / 29

Podstawowe definicje

Układ ten możemy zapisać w równoważnej postaci równania macierzowego

AX = B,

gdzie

A =









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m1

a

m2

. . .

a

mn









,

B =









x

1

x

2

..

.

x

n









,

C =









b

1

b

2

..

.

b

m









.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 29

Podstawowe definicje

Przykład 1:

Zapisz w postaci macierzowej układ równań:











2x

1

− 3x

2

+ 7x

3

= 5

−x

1

+ 4x

3

= −2

−3x

1

+ x

2

− 3x

3

= 0

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

4 / 29

Podstawowe definicje

Definicja 2:

Rozwiązaniem układu równań liniowych

(z def 1) nazywamy każdy

ciąg (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) liczb rzeczywistych (zespolonych) spełniających ten

układ.

Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy sprzecznym.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

5 / 29

Podstawowe definicje

Definicja 3:

Układ równań liniowych postaci

AX = 0

gdzie A jest macierzą wymiaru m × n, natomiast 0 jest macierzą zerową
wymiaru m × 1, nazywamy

układem jednorodnym

.

Układ równań liniowych postaci

AX = B

nazywamy

układem niejednorodnym

gdy B jest macierzą niezerową.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

6 / 29

Podstawowe definicje

Jednym z rozwiązań układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa

X =









0
0

..

.

0









wymiaru n × 1, gdzie n oznacza liczbę kolumn macierzy A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

7 / 29

Układy Cramera

Definicja 4:

Układem Cramera

nazywamy układ równań liniowych

AX = B,

w którym A jest macierzą kwadratową nieosoblliwą.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

8 / 29

Układy Cramera

Twierdzenie (wzór Cramera)

Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
jest określone wzorem:

X =

1

det A









det A

1

det A

2

..

.

det A

n









gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A

j

dla 1 ¬ j ¬ n oznacza

macierz A, w której j -tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B.

x

1

=

det A

1

det A

,

x

2

=

det A

2

det A

,

. . . ,

x

n

=

det A

n

det A

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 29

Układy Cramera

Twierdzenie (wzór Cramera)

Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
jest określone wzorem:

X =

1

det A









det A

1

det A

2

..

.

det A

n









gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A

j

dla 1 ¬ j ¬ n oznacza

macierz A, w której j -tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B.

x

1

=

det A

1

det A

,

x

2

=

det A

2

det A

,

. . . ,

x

n

=

det A

n

det A

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 29

Układy Cramera

Fakt

Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem:

X = A

−1

B.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

10 / 29

Podstawowe definicje

Przykład 2:

Oszacuj czas potrzebny na odwrócenie macierzy A o wymiarach 30 × 30.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

11 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Definicja 5:

Układ równań liniowych są

równoważne

jeżeli zbiory ich rozwiązań są

identyczne.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

12 / 29

Układy Cramera

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Niech AX = B będzie układem
Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









2

przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci [I |X ] wykonując na jej
wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy
pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im
elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 29

Układy Cramera

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Niech AX = B będzie układem
Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









2

przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci [I |X ] wykonując na jej
wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy
pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im
elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 29

Układy Cramera

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Niech AX = B będzie układem
Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









2

przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci [I |X ] wykonując na jej
wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy

pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im
elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 29

Układy Cramera

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Niech AX = B będzie układem
Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









2

przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci [I |X ] wykonując na jej
wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy
pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera

dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im
elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 29

Układy Cramera

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Niech AX = B będzie układem
Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









2

przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci [I |X ] wykonując na jej
wierszach następujące operacje elementarne:

zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy
pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im
elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 29

Układy Cramera

Operacje elementarne mają na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej
do postaci:

[I |X ] =









1

0

0

· · ·

0

| x

1

0

1

0

· · ·

0

| x

2

..

.

..

.

..

.

. .. ... | ...

0

0

0

· · ·

1

| x

n









Schemat metody eliminacji Gaussa-Jordana

rozwiązywania układów Cramera

[A|B] −→ [I |X ]

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

14 / 29

Układy Cramera

Operacje elementarne mają na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej
do postaci:

[I |X ] =









1

0

0

· · ·

0

| x

1

0

1

0

· · ·

0

| x

2

..

.

..

.

..

.

. .. ... | ...

0

0

0

· · ·

1

| x

n









Schemat metody eliminacji Gaussa-Jordana

rozwiązywania układów Cramera

[A|B] −→ [I |X ]

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

14 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Fakt

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej

[A|B] =






a

11

· · ·

a

1n

|

b

1

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

m1

· · ·

a

mn

| b

m






układu z def 1 przekształcają go na układ równoważny:

zamiana między sobą wierszy

mnożenie wiersza przez stałą różną od zera

dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza

skreślenie wiersza złożonego z samych zer

skreslenia jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych

zmiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie
niewiadomych

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana dla dowolnego układu

Niech AX = B będzie układem m równań o n niewiadomych (macierz A
jest macierzą stopnia m × n.

1

budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

[A|B] =









a

11

a

12

a

13

· · ·

a

1n

| b

1

a

21

a

22

a

23

· · ·

a

2n

| b

2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

|

..

.

a

n1

a

n2

a

n3

· · ·

a

nn

| b

n









R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

16 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana dla dowolnego układu

2

na macierzy rozszerzonej dokonujemy równoważnych przekształceń
układu sprowadzając ją do postaci:

[A

0

|B

0

] =











1

0

0

· · ·

0

a

0

1r +1

· · ·

a

0

1n

|

b

0

1

0

1

0

· · ·

0

a

0

2r +1

· · ·

a

0

2n

|

b

0

2

..

.

..

.

..

.

. .. ...

..

.

..

.

..

.

|

..

.

0

0

0

· · ·

1

a

0

rr +1

· · ·

a

0

rn

|

b

0

r

0

0

0

· · ·

0

0

· · ·

0

| b

0

r +1











przy czym ostatni wiersz może nie pojawić się wcale albo wystąpi ze
współczynnikiem b

0

r +1

6= 0. Wówczas:

a) jeżeli b

0

r +1

6= 0, to układ AX = B jest sprzeczny;

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

17 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana dla dowolnego układu

[A

0

|B

0

] =











1

0

0

· · ·

0

a

0

1r +1

· · ·

a

0

1n

|

b

0

1

0

1

0

· · ·

0

a

0

2r +1

· · ·

a

0

2n

|

b

0

2

..

.

..

.

..

.

. .. ...

..

.

..

.

..

.

|

..

.

0

0

0

· · ·

1

a

0

rr +1

· · ·

a

0

rn

|

b

0

r

0

0

0

· · ·

0

0

· · ·

0

| b

0

r +1











b) jeżeli ostatni wiersz macierzy [A

0

|B

0

] nie pojawi się i n = r , to układ

AX = B

jest równoważny układowi Cramera (układ oznaczony) i jego jedyne
rozwiązanie ma postać:

x

1

= b

0

1

, x

2

= b

0

2

, . . . , x

n

= b

0

n

albo

x

0

1

= b

0

1

, x

0

2

= b

0

2

, . . . , x

0

n

= b

0

n

o ile przy przekształcaniu macierzy wystąpiła operacja zamiany kolumn;

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

18 / 29

Rozwiązywanie układów równań

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana dla dowolnego układu

[A

0

|B

0

] =











1

0

0

· · ·

0

a

0

1r +1

· · ·

a

0

1n

|

b

0

1

0

1

0

· · ·

0

a

0

2r +1

· · ·

a

0

2n

|

b

0

2

..

.

..

.

..

.

. .. ...

..

.

..

.

..

.

|

..

.

0

0

0

· · ·

1

a

0

rr +1

· · ·

a

0

rn

|

b

0

r

0

0

0

· · ·

0

0

· · ·

0

| b

0

r +1











c) jeżeli ostatni wiersz macierzy [A

0

|B

0

] nie pojawi się i n > r , to układ

AX = B ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), przy
czym r spośród niewiadomych oznaczonych symbolami x

0

1

, x

0

2

, . . . , x

0

r

zależy od pozostałych n − r niewiadomych x

0

r +1

, x

0

r +2

, . . . , x

0

n

w

następujący sposób:











x

0

1

= b

0

1

− a

0

1r +1

x

0

r +1

− a

0

1r +2

x

0

r +2

− · · · − a

0

1n

x

0

n

..

.
x

0

r

= b

0

r

− a

0

rr +1

x

0

r +1

− a

0

rr +2

x

0

r +2

− · · · − a

0

rn

x

0

n

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

19 / 29

Rząd macierzy

Definicja 6:

Minorem

stopnia k ∈ N nazywamy wyznacznik utworzony z elementów

macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy.

Przykład 3:

Określ liczbę minorów stopnia 1, 2 i 3 macierzy A.

A =








2

0

1

11

2

2

1

5

2

−7 −2 3

3

7

3

7

3

1

−2 −3 4

0

−3 2








R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

20 / 29

Rząd macierzy

Definicja 6:

Minorem

stopnia k ∈ N nazywamy wyznacznik utworzony z elementów

macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy.

Przykład 3:

Określ liczbę minorów stopnia 1, 2 i 3 macierzy A.

A =








2

0

1

11

2

2

1

5

2

−7 −2 3

3

7

3

7

3

1

−2 −3 4

0

−3 2








R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

20 / 29

Rząd macierzy

Definicja 7:

Rzędem macierzy

nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.

Przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy 0. Rząd
macierzy A oznaczamy rz(A) lub rank(A).

Przykład 4:

Określ rząd macierzy A.

A =








2

0

1

11

2

2

1

5

2

−7 −2 3

3

7

3

7

3

1

−2 −3 4

0

−3 2








R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

21 / 29

Rząd macierzy

Definicja 7:

Rzędem macierzy

nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.

Przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy 0. Rząd
macierzy A oznaczamy rz(A) lub rank(A).

Przykład 4:

Określ rząd macierzy A.

A =








2

0

1

11

2

2

1

5

2

−7 −2 3

3

7

3

7

3

1

−2 −3 4

0

−3 2








R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

21 / 29

Rząd macierzy

Fakt:

Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.

rz(A

T

) = rz(A)

Twierdzenie:

Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:

1

przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny),

2

wiersze (kolumny) pomnożymy przez liczby różne od zera,

3

do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny)
pomnozone przez dowolne liczby.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 29

Rząd macierzy

Fakt:

Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.

rz(A

T

) = rz(A)

Twierdzenie:

Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:

1

przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny),

2

wiersze (kolumny) pomnożymy przez liczby różne od zera,

3

do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny)
pomnozone przez dowolne liczby.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 29

Rząd macierzy

Definicja 8:

Macierz

nazywamy

schodkową

gdy pierwsze niezerowego elementy (tzw.

schodki) w kolejnych niezerowych wierszach tej macierzy znajdują się w
kolumnach o rosnących numerach.

Twierdzenie

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy (tj.
liczbie schodków).

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 29

Rząd macierzy

Definicja 8:

Macierz

nazywamy

schodkową

gdy pierwsze niezerowego elementy (tzw.

schodki) w kolejnych niezerowych wierszach tej macierzy znajdują się w
kolumnach o rosnących numerach.

Twierdzenie

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy (tj.
liczbie schodków).

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 29

Rząd macierzy

Twierdzenie (Kroneckera-Capellego)

Układ równań liniowych AX = B ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] tego
układu.

rz(A) = rz[A|B]

Fakt (o liczbie rozwiązań układu równań liniowych)

Niech AX = B będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi.
Wówczas:

1) rz(A) 6= rz[A|B],

⇒

układ sprzeczny,

2) rz(A) = rz[A|B] = n,

⇒

układ oznaczony,

3) rz(A) = rz[A|B] = r < n,

⇒

układ nieoznaczony zależny od
n − r parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

24 / 29

Rząd macierzy

Twierdzenie (Kroneckera-Capellego)

Układ równań liniowych AX = B ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] tego
układu.

rz(A) = rz[A|B]

Fakt (o liczbie rozwiązań układu równań liniowych)

Niech AX = B będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi.
Wówczas:

1) rz(A) 6= rz[A|B],

⇒

układ sprzeczny,

2) rz(A) = rz[A|B] = n,

⇒

układ oznaczony,

3) rz(A) = rz[A|B] = r < n,

⇒

układ nieoznaczony zależny od
n − r parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

24 / 29

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema
niewiadomymi

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema niewiadomymi:

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układ równań nie ma rozwiązań,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego
parametru,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch
parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 29

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema
niewiadomymi

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema niewiadomymi:

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układ równań nie ma rozwiązań,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego
parametru,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch
parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 29

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema
niewiadomymi

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema niewiadomymi:

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układ równań nie ma rozwiązań,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego
parametru,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch
parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 29

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema
niewiadomymi

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema niewiadomymi:

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układ równań nie ma rozwiązań,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego
parametru,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch
parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 29

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema
niewiadomymi

Interpretacja gepmetryczna układu trzech równan z trzema niewiadomymi:

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie,

układ równań nie ma rozwiązań,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego
parametru,

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch
parametrów.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 29

Wartości i wektory własne

Definicja 9:

Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną).

Wielomianem

charakterystycznym

macierzy A nazywamy wielomian rzeczywisty

(zepolony) postaci:

χ

A

(λ) = det(A − λI ).

Równaniem charakterystycznym

tej macierzy nazywamy równanie

postaci:

χ

A

(λ) = 0

Jeżeli A = [a

ij

]

n×n

to funkcja χ

A

(λ) jest wielomianem zmiennej λ tj.

det(A − λI ) = a

n

λ

n

+ a

n−1

λ

n−1

+ · · · + a

1

λ + a

0

.

Równanie charakterystyczne ma postać

det(A − λI ) = a

n

λ

n

+ a

n−1

λ

n−1

+ · · · + a

1

λ + a

0

= 0.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

26 / 29

Wartości i wektory własne

Definicja 9:

Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną).

Wielomianem

charakterystycznym

macierzy A nazywamy wielomian rzeczywisty

(zepolony) postaci:

χ

A

(λ) = det(A − λI ).

Równaniem charakterystycznym

tej macierzy nazywamy równanie

postaci:

χ

A

(λ) = 0

Jeżeli A = [a

ij

]

n×n

to funkcja χ

A

(λ) jest wielomianem zmiennej λ tj.

det(A − λI ) = a

n

λ

n

+ a

n−1

λ

n−1

+ · · · + a

1

λ + a

0

.

Równanie charakterystyczne ma postać

det(A − λI ) = a

n

λ

n

+ a

n−1

λ

n−1

+ · · · + a

1

λ + a

0

= 0.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

26 / 29

Wartości i wektory własne

Twierdzenie (Caley’a-Hamiltona)

Każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne.

Dla dowolnej macierzy A = [a

ij

]

n×n

kwadratowej mamy:

χ

A

(A) = A

n

+ a

1

A

n−1

+ · · · + a

n−1

A + a

n

I

n

= 0

gdzie 0 oznacza macierz zerową o tych samych wymiarach co A i
A

0

= I = I

n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 29

Wartości i wektory własne

Twierdzenie (Caley’a-Hamiltona)

Każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne.

Dla dowolnej macierzy A = [a

ij

]

n×n

kwadratowej mamy:

χ

A

(A) = A

n

+ a

1

A

n−1

+ · · · + a

n−1

A + a

n

I

n

= 0

gdzie 0 oznacza macierz zerową o tych samych wymiarach co A i
A

0

= I = I

n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 29

Wartości i wektory własne

Definicja 11:

Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zepoloną) stopnia n.

1

Wartością własną

macierzy A nazywamy każdy rzeczywisty

(zespolony) pierwiastek wielomianu charakterystycznego tej macierzy,
tj. liczbę λ ∈ R (λ ∈ C) spełniającą równanie

χ

A

(λ) = 0.

2

Niezerowy wektor ~

x = (x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

(~

x = (x

1

, . . . , x

n

) ∈ C

n

)

nazywamy

wektorem własnym

macierzy A odpowiadającym wartości

własnej λ ∈ R (λ ∈ C) tej macierzy, jeśli spełnia warunek:

AV = λV

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

28 / 29

Wartości i wektory własne

Fakt

Jeżeli liczba V jest rozwiązaniem równania AV = λV , to wektor V
pomnożony przez dowolną liczbę też jest rozwiązaniem tego równania.
Stąd wynika, że układ liniowy jednorodny

(A − λI )V = 0

ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wtedy

det(A − λI ) = 0.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

29 / 29