PDF wygenerowany przy użyciu narzędzi open source mwlib. Zobacz http://code.pediapress.com/ aby uzyskać więcej informacji.

PDF generated at: Thu, 08 Apr 2010 11:17:12 UTC

Fraktale

Treść

Artykuły

Paproć Barnsleya

1

Trójkąt Sierpińskiego

4

Przypisy

Źródła i autorzy artykułu

7

Źródła, licencje i autorzy grafik

8

Licencje artykułu

Licencja

9

Paproć Barnsleya

1

Paproć Barnsleya

Paproć Barnsley'a

Paproć Barnsley'a

Paproć Barnsleya (paprotka Barnsleya, fraktal liść paproci) - fraktal znany

ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w

naturze, spopularyzowany przez Michaela F. Barnsleya. Jest to przykład

złożonego obiektu, który może być opisany za pomocą zaledwie czterech

przekształceń afinicznych (zob. Barnsley (1993), str. 86) jako atraktor

następującego systemu funkcji zwężających (IFS - system funkcji

iterowanych):

Paproć Barnsleya

2

Przekształcenia IFS

Aby wygenerować fraktal, należy użyć powyższych przekształceń w sposób losowy w następujących proporcjach:

85:7:7:1.

Algorytm

Algorytm generowania tego fraktala polega na procesie iteracji (wielokrotnego przekształcania) współrzędnych

rysowanego punktu. Początkowo losowo wybieramy współrzędne punktu, a następnie również losowo wybieramy

jedno z przekształceń afinicznych z odpowiednim prawdopodobieństwem. Po obliczeniu nowych współrzędnych

punktu, proces powtarzamy określoną ilość razy.

Przykładowy program

Paproć Barnsleya

3

Animacja przedstawiająca paproć Barnsley'a dla różnej liczby powtórzeń

algorytmu IFS.

Program napisany w Matlabie generujący

paproć widoczną na animacji obok:

for

max_step=[1000 10000 50000 100000 500000];

x=

zeros

(1,max_step);

y=

zeros

(1,max_step);

for

n=1:max_step

r=

rand

();

if

r

<

=0.01

x(n

+

1)=0;

y(n

+

1)=0.16

*

y(n);

elseif

r

<

=0.08

x(n

+

1)=0.2

*

x(n)

-

0.26

*

y(n);

y(n

+

1)=0.23

*

x(n)

+

0.22

*

y(n)

+

1.6;

elseif

r

<

=0.15

x(n

+

1)=

-

0.15

*

x(n)

+

0.28

*

y(n);

y(n

+

1)=0.26

*

x(n)

+

0.24

*

y(n)

+

0.44;

else

x(n

+

1)=0.85

*

x(n)

+

0.04

*

y(n);

y(n

+

1)=

-

0.04

*

x(n)

+

0.85

*

y(n)

+

1.6;

end

end

plot(x,y,

'.'

,

'Color'

,

'g'

,

'MarkerSize'

,1)

title([

'N = '

num2str(max_step)])

drawnow

pause(0.5)

end

Literatura

• Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993.

ISBN 0-12-079061-0

Linki zewnętrzne

• Paproć Barnsleya

[1]

(

ang.

)

w encyklopedii MathWorld

Zobacz też

• fraktal

• grafika fraktalna
• przekształcenie afiniczne

• odwzorowanie Hutchinsona

• odwzorowania zwężające

Paproć Barnsleya

4

Przypisy

[1] http:/

/

mathworld.

wolfram.

com/

BarnsleysFern.

html

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest

jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem

tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była

podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

[1]

Trójkat Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie

równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na

cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech

pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na

cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych

czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu

powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby

[2]

.

Definicja formalna

Niech

będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc

na cztery mniejsze trójkąty

i

, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta

,

traktując

jako zbiór otwarty, a trójkąty

za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne:

i

. Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np

zawiera dokładnie jeden punkt

– środek odpowiedniej krawędzi).

• Każdy trójkąt

dzieli się na cztery mniejsze trójkąty

i

w podobny sposób.

• Każdy trójkąt

dzieli się na cztery mniejsze trójkąty

i

, i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego

5

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te

punkty trójkąta ABC, które nie są

elementami zbioru

Trójkąt Sierpińskiego

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1.585...

Trójkąt Sierpińskiego

6

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg

(gdzie

) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt

w zbiorze

. Odwrotnie, dla każdego punktu

można znaleźć taki ciąg określający ten

punkt, tzw reprezentację cyfrową punktu

. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt

trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju

ma

reprezentację

i jednocześnie reprezentację

.

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt

równoboczny ABC, i definiujmy D

0

:= punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację:

losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D

n

i wybranym

punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D

n+1

. Każdy punkt D

n

będzie należeć do trójkąta

Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D

0

, D

1

,...}.

Jeśli wybieramy D

0

nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy

(prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D

0

należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden

punkt D

n

do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów

skupienia ciągu (D

0

, D

1

, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony

trójkąt Sierpińskiego, tzn obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki

• zbiór Cantora

• dywan Sierpińskiego

• piramida Sierpińskiego

• kostka Mengera

• gra w chaos

• fraktal

Linki zewnętrzne

• Trójkąt Sierpińskiego

[3]

(

ang.

)

w encyklopedii MathWorld

Przypisy

[1] W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, "C. R. Acad. Sci. Paris" 160 (1915): 302-305

[2] Math Forum: Pascal's Triangle (http:/

/

mathforum.

org/

workshops/

usi/

pascal/

pascal_sierpinski.

html)

[3] http:/

/

mathworld.

wolfram.

com/

SierpinskiSieve.

html

Źródła i autorzy artykułu

7

Źródła i autorzy artykułu

Paproć Barnsleya  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20257192  Autorzy: Beaumont, Gknor, Kuszi, Pbnan, Stepa, Stotr, 2 anonimowych edycji

Trójkąt Sierpińskiego  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20989156  Autorzy: 4C, Akramm, Al matach, Alef, Byczek1, Chymatioq, Googl, Jersz, Joi, Kirq, Kuszi, Olaf,
Pernambuko, Petryk, Piotr Gasiorowski, Rjt, Rosomak, Sblive, Skotos, Stanmar, Stepa, Stotr, Taw, Trang Oul, TreeBeen, Triskaidekafil, Turkusowy smok, Urzyfka, Youandme, Z, conversion
script, Żbiczek, 21 anonimowych edycji

Źródła, licencje i autorzy grafik

8

Źródła, licencje i autorzy grafik

Plik:Bransleys fern.png  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Bransleys_fern.png  Licencja: GNU Free Documentation License  Autorzy: User:Kimbar

Plik:Fractal fern1.png  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern1.png  Licencja: Public Domain  Autorzy: Adam Mihályi

Plik:Fractal fern explained.png  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern_explained.png  Licencja: Public Domain  Autorzy: António Miguel de Campos -

Plik:Fractal fern-Barnsley animation.gif  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern-Barnsley_animation.gif  Licencja: Public Domain  Autorzy: Original uploader was
Gknor at pl.wikipedia

Plik:Sierpinski-zoom4-ani.gif  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Sierpinski-zoom4-ani.gif  Licencja: Public Domain  Autorzy: self Georg-Johann Lay

Plik:Animated construction of Sierpinski Triangle.gif  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif  Licencja: GNU Free
Documentation License  Autorzy: Original uploader was Dino at en.wikipedia (Original text : dino (talk))

Plik:Sierpinski triangle evolution.svg  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Sierpinski_triangle_evolution.svg  Licencja: Public Domain  Autorzy: AnonMoos, D-Kuru, Juiced
lemon, Wereon

Plik:SierpinskiTriangle.PNG  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:SierpinskiTriangle.PNG  Licencja: Public Domain  Autorzy: AVRS, D-Kuru, Nol Aders,
PiAndWhippedCream, Saperaud, 9 anonimowych edycji

Licencja

9

Licencja

Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/

/

creativecommons.

org/

licenses/

by-sa/

3.

0/