21

Fraktale – definicja encyklopedyczna.

fraktal [ang-łac] mat. skomplikowana figura geometryczna, o której na pierwszy rzut oka trudno

powiedzie

ć

, czy jest krzyw

ą

, powierzchni

ą

, czy ma jeszcze wi

ę

kszy wymiar; charakteryzuje j

ą

swoista

regularno

ść

w nieregularno

ś

ci - stopie

ń

tej regularno

ś

ci jest okre

ś

lony liczb

ą

niecałkowit

ą

(wymiar fraktalny).

Fraktale maj

ą

swoje pierwowzory w

ś

wiecie fizycznym; s

ą

nimi krzywe i powierzchnie ilustruj

ą

ce wszelkie

przypadkowe nieregularno

ś

ci: ruchy Browna, wahania cen giełdowych, ró

ż

norodne kształty płatków

ś

niegu,

zakr

ę

ty linii brzegowych i inne; do bada

ń

matematycznych wprowadził je w 1975 francuski matematyk Benoit

Mandelbrot (urodzony 1924 w Warszawie). [12]

Podstawowe cechy fraktali.

B. Mandelbrot w swoim dziele „Fractal Geometry of Nature” podaje trzy charakterystyczne cechy fraktali.

S

ą

to:

a. okre

ś

lenie za pomoc

ą

zale

ż

no

ś

ci rekurencyjnej;

b. posiadanie cechy samopodobie

ń

stwa;

c. wymiar nie b

ę

d

ą

cy liczb

ą

całkowit

ą

.

Fraktal (Wikipedia)

(łac. fractus – złamany, cz stkowy) to zbiór punktów odpowiedniej przestrzeni euklidesowej (np. płaszczyzny), dla
którego dwie wielko ci matematyczne – wymiar topologiczny i wymiar Hausdorffa – s ró ne (wg. definicji
Mandelbrota wymiar Hausdorffa powinien by ci le wi kszy). Dla fraktala mianowicie wymiar Hausdorffa nie jest
liczb całkowit .

Poj cie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego
pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesi tych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota
nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcze niej istniała ju cała gama zbiorów o niecałkowitym
wymiarze Hausdorffa, z tym e nikt nie traktował ich inaczej, ni jako ciekawostki matematyczne, stosowane jako
kontrprzykłady pewnych twierdze . Przykładami tego typu zbiorów, zwanych dzi "klasycznymi fraktalami" s
mi dzy innymi: zbiór Cantora, krzywa Kocha, "diabelskie schody", czy krzywa Peano, smok Heighwaya, trójk t
Sierpi skiego lub kostka Mengera (trzy pierwsze zbiory znane były jeszcze w XIX wieku). Z kolei fraktale
otrzymane przez Mandelbrota s zwi zane ze zbiorami Julii, które pi dziesi t lat wcze niej badał Gaston Julia.

Takie za zbiory jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii, "płon cy statek" s atraktorami dla pewnych odwzorowa , lecz
nie mog by uzyskane na drodze konstrukcji klasycznych, jak to ma miejsce w przypadku klasycznych fraktali.

Za jedn z cech charakterystycznych fraktala uwa a si samopodobie stwo, to znaczy podobie stwo fraktala do
jego cz ci. Co wi cej, zbiory fraktalne mog by samoafiniczne, tj. cz

zbioru mo e by odwzorowaniem cało ci

przez pewne przekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych mo na okre li wielko zwan wymiarem
samopodobie stwa lub wymiarem pudełkowym. S to wielko ci b d ce uogólnieniem klasycznych definicji
wymiaru.

Pierwsze cztery kroki generacji zbioru Cantora.

Konstrukcja krzywej Kocha.

Płatek Kocha

Konstrukcja krzywej Peano.

Konstrukcja krzywej Hilberta.

Konstrukcja trójk

ą

ta Sierpi

ń

skiego.

Konstrukcja dywanu

Sierpi

ń

skiego.

Konstrukcja drzewa pitagorejskiego

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Kopiarka wielokrotnie redukuj ca (KWR)

Krzywa Peano

Zbiór Mandelbrota

Płon cy statek

Zbiór Julii

Niech p b dzie punktem na płaszczy nie zespolonej:

p = x + yi

z

0

= p

(c - liczba zespolona, od której zale y kształt zbioru Julii. Najciekawsze efekty
powstaj , je li c jest blisko brzegu zbioru Mandelbrota.)

Zbiór Julii tworz te punkty, dla których granica ci gu z

n

jest zbie na:

co jest równowa ne:

c<0

c>0