Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

MODELOWANIE i IDENTYFIKACJA

Sprawozdanie z laboratorium 1

15 III 2012

„Eksperymentalna analiza modalna”

Para Paweł

Piecuch Jakub

Pielaszkiewicz Zbigniew

Piróg Arkadiusz

Olchawski Tomasz

AiM, gr. A2, zespół II

1.

Cel ćwiczenia

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było zapoznanie się z eksperymentalną analizą modalną

poprzez wyznaczenie częstości drgań własnych oraz współczynników tłumienia badanej

konstrukcji (łopatka śmigła) za pomocą modelu ARMA oraz porównanie otrzymanych

wyników z parametrami wyznaczonymi dzięki szybkiej transformacie Fourier’a (FFT).

2.

Przebieg ćwiczenia

Aby zrealizować zadany cel na zawieszonym swobodnie badanym obiekcie umieszczono trzy

czujniki przyspieszenia podłączone do komputera pomiarowego oraz wzbudnik drgań

wymuszający drgania (o charakterze szumu białego) konstrukcji w zakresie 0 – 500Hz.

Wykonano trzy różne pomiary dla trzech różnych konfiguracji położenia akcelerometrów.

Przed każdym z pomiarów sprawdzono poprawność zamocowania czujników. Dane zostały

zarejestrowane za pomocą komputera pomiarowego. Poniższy rysunek przedstawia

umiejscowienie czujników podczas ćwiczenia.

3.

Opis stanowiska

Stanowisko pomiarowe składa się z zawieszonej swobodnie łopaty ogonowej śmigłowca do

której przymocowano wzbudnik drgań połączony za pomocą wzmacniacza mocy ze

sterującym nim komputerem. W celu rejestrowania odpowiedzi układu do badanego obiektu

przyłączono trzy akcelerometry jednoosiowe PCB połączone ze środowiskiem TestLAB,

pracującym na komputerze pomiarowym.

4.

FFT przebiegów czasowych

Dla zarejestrowanych przebiegów wyznaczono szybką transformatę Fourier’a:

Z powyższych wykresów odczytano częstotliwości drgań własnych:

• f

1

≈40Hz

• f

2

≈120Hz

• f

3

≈220Hz

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

x 10

5

Gęstość widmowa mocy

Częstotliwość [Hz]

P

o

m

ia

r

1

czujnik 1

czujnik 2
czujnik 3

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

5

x 10

4

Częstotliwość [Hz]

P

o

m

ia

r

2

czujnik 1

czujnik 2
czujnik 3

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

x 10

5

Częstotliwość [Hz]

P

o

m

ia

r

3

czujnik 1

czujnik 2
czujnik 3

5.

Tabele z częstotliwościami drgań własnych i współczynnikami tłumienia obiektu uzyskanymi

za pomocą modelu ARMA.

Po analizie uzyskanych przebiegów FFT (trzy różne częstotliwości drgań własnych ω

r

)

,

przyjęto postać modelu ARMA o następujących wartościach opóźnień: p=6 oraz q=5.

Pozwoliło to na uzyskanie trzech różnych par sprzężonych pierwiastków równania

charakterystycznego, odpowiadających trzem różnym częstotliwościom drgań własnych

układu (oraz trzem różnym współczynnikom tłumienia). Rezultaty otrzymane na podstawie

wzorów zamieszczonych w instrukcji do laboratorium, zweryfikowano przy użyciu

wbudowanej w środowisko MATLAB/SIMULINK funkcji damp (funkcja zwraca współczynniki

tłumienia oraz częstości drgań własnych na podstawie transmitancji obiektu).

Poniżej zamieszczono tabelę otrzymanych wyników (w nawiasie podano wartości obliczone

za pomocą funkcji damp):

Tabela częstotliwości drgań własnych ω

r

[Hz] (zaokrąglone do części setnych)

czujnik 1

czujnik 2

czujnik 3

pomiar

1

239,57 (233,95)

244,71 (238,97)

219,29 (214,14)

114,47 (111,78)

114,15 (111,47)

112,71 (110,07)

39,93 (38,99)

39,68 (38,74)

39,59 (38,66)

pomiar

2

244,71 (238,97)

231,26 (225,84)

221,51 (216,31)

114,15 (111,47)

115,56 (112,85)

121,48 (118,63)

39,68 (38,74)

39,61 (38,68)

44,84 (43,78)

pomiar

3

219,29 (214,14)

223,15 (217,91)

222,62 (217,40)

112,71 (110,07)

115,41 (112,70)

119,03 (116,24)

39,59 (38,66)

- *

47,50 (46,38)

Tabela współczynników tłumienia ξ

r

[1/s]

czujnik 1

czujnik 2

czujnik 3

pomiar

1

0,0103 (0,0103)

0,0097 (0,0097)

0,0294 (0,0294)

0,0089 (0,0089)

0,0078 (0,0078)

0,0149 (0,0149)

0,0078 (0,0078)

0,0073 (0,0073)

0,0078 (0,0078)

pomiar

2

0,0097 (0,0097)

0,1096 (0,1096)

0,3466 (0,3466)

0,0078 (0,0078)

0,0161 (0,0161)

0,0863 (0,0863)

0,0073 (0,0073)

0,0117 (0,0117)

0,0109 (0,0109)

pomiar

3

0,0294 (0,0294)

0,0258 (0,0258)

0,5082 (0,5082)

0,0149 (0,0149)

0,011 (0,011)

0,0691 (0,0691)

0,0078 (0,0078)

- *

0,0158 (0,0158)

* brak wyniku liczbowego dla drugiego czujnika w trzecim pomiarze spowodowany jest

dwoma pierwiastkami rzeczywistymi (jedna z trzech par), które użyte w algorytmie

przystosowanym do pierwiastków zespolonych dały zespolone wartości parametrów.

Poniżej zamieszczono skrypt pliku wykorzystanego do uzyskania wyników przedstawionych w

punktach 4 i 5:

clc
clear

all

P11=load(

'pomiary\mii_lab_1_11.txt'

);

P12=load(

'pomiary\mii_lab_1_12.txt'

);

P13=load(

'pomiary\mii_lab_1_13.txt'

);

P21=load(

'pomiary\mii_lab_1_21.txt'

);

P22=load(

'pomiary\mii_lab_1_22.txt'

);

P23=load(

'pomiary\mii_lab_1_23.txt'

);

P31=load(

'pomiary\mii_lab_1_31.txt'

);

P32=load(

'pomiary\mii_lab_1_32.txt'

);

P33=load(

'pomiary\mii_lab_1_33.txt'

);

p11=[];
p12=[];
p13=[];
p21=[];
p22=[];
p23=[];
p31=[];
p32=[];
p33=[];

for

i=1:length(P32(:,1))

p11=[p11;P11(i,:)'];
p12=[p12;P12(i,:)'];
p13=[p13;P13(i,:)'];
p21=[p21;P21(i,:)'];
p22=[p22;P22(i,:)'];
p23=[p23;P23(i,:)'];
p31=[p31;P31(i,:)'];
p32=[p32;P32(i,:)'];
p33=[p33;P33(i,:)'];

end

dt=1/1024;

p=[p11,p12,p13,p21,p22,p23,p31,p32,p33];

Px=[];
O=[];
Odamp=[];
K=[];
Kdamp=[];

for

i=1:9

X=fft(p(:,i),(1/dt));
XX=X.*conj(X);
Px=[Px,XX];

M=armax(p(:,i),[6,5]);
pr=polydata(M);
T=tf(M);
[W,D]=damp(T);
W=1000*W/(2*pi);
r=roots(pr);

r11=r(1,1); r12=r(2,1);
wr1=(1/dt)*sqrt(log(r11)*log(r12));
fr1=wr1/(2*pi);
ksi1=-log(r11*r12)/(2*wr1*dt);


r21=r(3,1); r22=r(4,1);
wr2=(1/dt)*sqrt(log(r21)*log(r22));
fr2=wr2/(2*pi);
ksi2=-log(r21*r22)/(2*wr2*dt);

r31=r(5,1); r32=r(6,1);
wr3=(1/dt)*sqrt(log(r31)*log(r32));
fr3=wr3/(2*pi);

ksi3=-log(r31*r32)/(2*wr3*dt);

O=[O;fr1,fr2,fr3];
Odamp=[Odamp;W'];
K=[K;ksi1,ksi2,ksi3];
Kdamp=[Kdamp;D'];

end

okno1=figure(1);

subplot(3,1,1);
plot(Px((1:500),1),

'red'

);

hold

on

grid

on

plot(Px((1:500),2),

'green'

);

plot(Px((1:500),3),

'blue'

);

title(

'Gęstość widmowa mocy'

,

'fontsize'

,16);

legend(

'czujnik 1'

,

'czujnik 2'

,

'czujnik 3'

);

xlabel(

'Częstotliwość [Hz]'

);

ylabel(

'Pomiar 1'

);

subplot(3,1,2);
plot(Px((1:500),4),

'red'

);

hold

on

grid

on

plot(Px((1:500),5),

'green'

);

plot(Px((1:500),6),

'blue'

);

legend(

'czujnik 1'

,

'czujnik 2'

,

'czujnik 3'

);

xlabel(

'Częstotliwość [Hz]'

);

ylabel(

'Pomiar 2'

);

subplot(3,1,3);
plot(Px((1:500),7),

'red'

);

hold

on

grid

on

plot(Px((1:500),8),

'green'

);

plot(Px((1:500),9),

'blue'

);

legend(

'czujnik 1'

,

'czujnik 2'

,

'czujnik 3'

);

xlabel(

'Częstotliwość [Hz]'

);

ylabel(

'Pomiar 3'

);

6.

Wnioski

Eksperymentalna analiza modalna pozwala wyznaczyć parametry badanego obiektu na

podstawie przebiegu zmiennej wyjściowej. W przeprowadzonym ćwiczeniu zastosowano

model ARMA, dzięki któremu wyznaczono częstotliwości drgań własnych oraz współczynniki

tłumienia badanego obiektu. Weryfikacja otrzymanych wyników dwoma innymi metodami

potwierdza poprawność obliczeń.

Alternatywną metodą wyznaczenia częstotliwości drgań własnych jest szybka transformata

Fourier’a, dzięki której wskazać można częstotliwości sygnału, które przenoszą największe

moce. W zarejestrowanym przebiegu widoczne są trzy prążki odpowiadające trzem

częstotliwościom drgań własnych (w tym jednej dominującej). Na podstawie ilości prążków

ustalono rząd modelu ARMA.

Metoda oparta na szybkiej transformacie Fouriera pozwala na szybsze i łatwiejsze

oszacowanie wartości częstotliwości drgań własnych. Minusem jest jednak to, że nie pozwala

na wyznaczenie współczynnika tłumienia. W obu metodach należy wzbudzić badany obiekt w

takim zakresie częstotliwości wymuszenia, w jakim poszukujemy wyżej wymienionych

parametrów.

Aby otrzymać końcowy wynik uśredniono wartości wyznaczone przy użyciu modelu ARMA:

f

1

=41,55Hz

ξ

1

=0,1198

1

/

s

f

2

=115,51Hz

ξ

2

=0,0263

1

/

s

f

3

=229,56Hz

ξ

3

=0,0098

1

/

s

Podane wyżej pary (częstotliwość drgań własnych – współczynnik tłumienia) spełniają

zależność odwrotnej proporcjonalności.