1

1

Narzędzia obliczeniowe

inżyniera

MathCAD cz.1

Opracował: Zbigniew Rudnicki

2

Spis treści wykładu:

1)Narzędzia obliczeniowe inżyniera

2) Mathcad - cechy, struktura dokumentu, kursory, ..

3) Tworzenie regionów tekstowych, polskie litery, ..

4) Liczby, zmienne, wyrażenia i ich wprowadzanie

5) Wstawianie funkcji standardowych i ich opisy

6) Typy regionów matematycznych

7) Wyświetlanie wartości wyrażeń

8) Definicje zmiennych lokalnych i globalnych

9) Wstawianie jednostek miar i ich zmiana w wynikach

10) Zmienne zakresowe i ich dwie role

11) Zmienne indeksowane, wektory, macierze

12) Tworzenie wykresu XY

2

3

Komputerowe narzędzia obliczeniowe

Dla obliczeń niezbędnych przy projektowaniu, inżynier może:

A) zakupić wąsko wyspecjalizowane programy opracowane

specjalnie dla danej tematyki, np.: program do obliczeń wałów,

lub

B) samodzielnie opracować aplikacje (programy) obliczeniowe

przy użyciu jednego lub kilku wybranych narzędzi, którymi są:

• arkusze kalkulacyjne - jak

Excel, Calc

lub inne

• uniwersalne programy matematyczne - jak na przykład

Mathcad

• języki programowania (np.: Basic, Fortran, Pascal,

MATLAB,

C, C++, i in.)

4

Wymagane oraz pożądane cechy

aplikacji obliczeniowych

1) Ułatwienia we wprowadzaniu danych (np. wybór z listy)

2) Kontrola ich poprawności (np.: przez podanie dopuszczalnych zakresów wartości

3) Różne sposoby prezentowania wyników (tabele, wykresy, ...)

4) Możliwości wczytywania danych z plików i różnych urządzeń wejściowych

oraz zapisywania wyników do plików

5) Zapobieganie omyłkom w jednostkach miar oraz dokonywanie ich

konwersji

6) Prezentowanie (bezpośrednie lub na żądanie) informacji dotyczących:

– tematyki i zakresu obliczeń

– znaczenia poszczególnych zmiennych

– dopuszczalnych zakresów zmiennych

– metod lub wzorów obliczeniowych

– dokładności obliczeń

– wersji, daty opracowania i autorów (instytucja, nazwiska)

3

5

Wyrażenia w aplikacjach obliczeniowych

W każdym z narzędzi obliczeniowych występują wyrażenia

składane z takich elementów jak:

• Stałe

(literały) oraz

zmienne

różnych

typów:

np.:liczby i zmienne liczbowe

teksty i zmienne tekstowe,
daty i zmienne typu data
ciągi liczb i zmienne wektorowe,
tablice liczb i zmienne tablicowe

• Operatory

działań arytmetycznych: +, -, *, /, ...

relacji: >, < , ...
i operacji logicznych: NIE, I, LUB,

• Nawiasy

• Funkcje

• Procedury obliczeniowe

Budując model matematyczny trzeba przede wszystkim zdefiniować zmienne.

6

Zmienne

ZMIENNA

- to symboliczna reprezentacja cechy badanego obiektu,

procesu lub samego modelu. W aplikacjach obliczeniowych
zmienna stanowi pojemnik przechowujący wartość.

Każda

zmienna

musi mieć ściśle określoną

rolę

oraz:

• Typ

zdefiniowany przez:

-

rodzaj wartości

(liczbowe, tekstowe, logiczne),

-

strukturę

(skalar, wektor, tablica, lista, drzewo, sieć),

- dopuszczalny

zakres

wartości

• Nazwę

czyli identyfikator

(

a w arkuszach kalkulacyjnych: ADRES)

• Wartość

,

która w każdym momencie może być inna

(lub zbiór wartości jeśli jest zmienną złożoną)

4

7

Zmienne a struktury danych

Oprócz zmiennych prostych - skalarnych stosuje się zmienne

złożone - odpowiadające różnym strukturom danych - a
mianowicie:

– wektory (tablice jednowymiarowe),

– tablice wielowymiarowe (macierze i in.),

– rekordy (zestawy pól różnych typów),

– listy jedno i dwukierunkowe

– stosy

– kolejki

– drzewa

– sieci

– ...

8

MATHCAD

• Uniwersalny program do obliczeń matematycznych

• Nie wymaga stosowania języka programowania

• Pozwala tworzyć

dokumenty w formie publikacji

zawierające:

– dowolne

teksty

– wzory matematyczne

(z wszelkimi symbolami)

– wykresy

• po zmianie danych - automatycznie oblicza nowe wyniki

• umożliwia używanie i przeliczanie

fizycznych

jednostek miar

• kontroluje

zgodność jednostek

miar przy dodawaniu i

odejmowaniu:
np można dodać: 3.5m + 54cm

ale nie:

2cm + 5 sec

5

9

MATHCAD - niektóre możliwości

W zakresie matematyki można m.in.:

• prowadzić obliczenia z udziałem zmiennych, funkcji i ciągów

arytmetycznych
i uzyskiwać wyniki w formie tabel i wykresów

• znajdować pierwiastki wielomianów

• rozwiązywać układy równań i nierówności nieliniowych

• prowadzić działania na wektorach, macierzach,

• wyznaczać sumy i iloczyny ciągów oraz całki i pochodne,

• rozwiązywać równania różniczkowe i ich układy,

• wyznaczać regresje, korelacje i różne parametry statystyczne

• generować liczby przypadkowe według róznych rozkładów

• automatyczne przekształcać wzory (wykonywać obliczenia symboliczne)

jak: wyciaganie przed nawias, rozkład na czynniki,
wyznaczanie wzorów całek nieoznaczonych i pochodnych

10

Dokument Mathcad’a

zawiera: 1) regiony tekstowe,

2) regiony matematyczne
3) wykresy

6

11

Paski narzędzi i palety symboli matematycznych

12

Nazwy palet symboli matematycznych

Calculator

– działania takie jak na kalkulatorze

Evaluation

– m.in. symbole przypisywania zmiennym wartości

(podstawiania) oraz rozkazy wyświetlenia obliczonej wartości

Graph

– wstawianie różnego rodzaju wykresów

Matrix

– operacje wektorowe i macierzowe

Boolean

– relacje i operacje logiczne

Calculus

– analiza matematyczna (całki, pochodne, sumy, iloczyny,

granice)

Greek

– greckie litery

Symbolic

– przekształcenia symboliczne (działania na wzorach a nie

liczbach)

Programming

– programowanie

7

13

Symbole można także wpisywać z klawiatury

poniżej podano klawisze, symbole i ich znaczenie:

14

Kolejne symbole używane w wyrażeniach

oraz klawisze do ich wstawiania

Zamiast klawiszami można oczywiście wybierać te symbole

myszką z palet

8

15

Kursory

Najważniejsze kursory to:

•

czerwony krzyżyk (cross-hair) - pokazuje

punkt wstawiania

nowego

regionu (lub usuwania pustych linii), istnieje zawsze w dokumencie i nie
służy do poprawiania istniejącego regionu

•

niebieska pionowa kreska lub pół-ramka

- to

kursor edycyjny

,

pojawia się po kliknięciu danego regionu i służy do wpisywania,
poprawiania, dopisywania, formatowania itp.

Uwaga: Aby poprawiać istniejący region trzeba kliknąć tak aby otrzymać

kursor niebieski bo wpisywanie w miejscu czerwonego krzyżyka nie
zmodyfikuje istniejącego regionu tylko utworzy nowy!

16

Zaznaczanie, przemieszczanie, wymazywanie regionów

W Mathcadzie 6:

•

kliknięcie - zaznacza region do edycji (modyfikacji) jego zawartości.
Pojawi się niebieski kursor (lub pół-ramka) klawisze SPACJA oraz
STRZAŁKI w górę i w dół powiększają lub zmniejszają obszar zaznaczony
niebieską pół-ramką.

•

zakreślenie z zewnątrz jednego lub kilku regionów przerywanym
prostokątem - zaznacza je do przemieszczania, kopiowania, wymazywania,
...
Aby to zrobić wciśnij lewy przycisk gdy myszka wskazuje pusty obszar
dokumentu i trzymając wciśnięty zakreśl regiony

:

W Mathcadzie 2001 oba te sposoby mogą być stosowane z jednakowym

skutkiem to znaczy nie ma dwu typów zaznaczeń tylko jeden.

9

17

Regiony tekstowe

•

Dokument Mathcad'a powinien zawierać niezbędne dla jego czytelności teksty
a przynajmniej nagłówki i objaśnienia.

•

Regiony tekstowe należy wstawiać klawiszem cudzysłowu ["]. Cudzysłów
nie pojawi się na ekranie lecz utworzy się region (ramka) do wpisywania tekstu.

•

UWAGA: Jeśli tekstu nie rozpoczniemy od naciśnięcia cudzysłowu to zostanie
potraktowany jako region matematyczny (każdy wyraz traktowany będzie jako
osobna nazwa zmiennej).

•

W wersji 6 prawidłowo wprowadzone teksty są w kolorze niebieskim a wzory
matematyczne w kolorze czarnym. Zrezygnowano z tego w wersji 2001.

•

Uwaga: Naciskanie klawisza ENTER pozwala pisać dalsze linie tekstu a NIE
kończy regionu tekstowego, dlatego aby zakończyć pisanie tekstu należy
kliknięciem na zewnątrz regionu.

18

Polskie litery:

•

Gdy w Windows jest ustawiony język polski (PL) i "klawiaturę
programisty" to

wpisujemy polskie litery tak jak w edytorach

tekstowych czyli:

z trzymaniem wciśniętego klawisza [prawy ALT].

•

Otrzymanie poprawnego widoku tych liter na ekranie i wydruku
bywa nieco kłopotliwe. Można w tym celu przed pisaniem
spróbować ustawić jako domyślną czcionkę dla Centralnej Europy
(CE) np. Times New Roman CE lub Arial CE. W wersji 6 z menu:
Text - Change Defaults – Font.

•

Jeśli to się nie uda to:
-

po napisaniu trzeba tekst zaznaczyć ("zamalować")

i wybrać czcionkę z polskimi literami (CE).

10

19

Regiony matematyczne

20

Podstawowy element regionów matematycznych

stanowią

wyrażenia

, które mogą zawierać:

•

liczby

•

zmienne różnych typów

•

nawiasy – tylko okrągłe

•

funkcje

•

symbole matematyczne – wstawiane z palet lub przy
pomocy klawiszy

Przykład

:

Ψ a

4.23

2 α

⋅

x

2

acot

α

x













−

⋅

x

α

−

(

)

3

x

1

+

−

:=

11

21

Liczby dziesiętne

•

Mathcad próbuje interpretować jako liczby wszystko to co
zaczyna się od cyfry.

•

Przy pisaniu ułamków dziesiętnych należy stosować
kropkę pozycyjną a nie przecinek.

•

Nie stosuje się tzw. notacji naukowej (z literą E) bo zamiast tego
można pisać odpowiednią potęgę dziesięciu (np 2.5*10^5).

•

Oprócz kropki dziesiętnej nie może być w zapisie liczby żadnych
innych kropek, przecinków, spacji ani liter.

22

Liczby zespolone

Część urojona liczby zespolonej musi mieć na końcu

literę i albo j (bez odstępu) na przykład:

1i,

-3.56j,

5+12.8i

Nie można napisać samej litery i lub j bo byłaby

potraktowana jako tekst dlatego musi być

1i

zamiast i.

12

23

Nazwy zmiennych

•

Nazwy zmiennych mogą być wieloliterowe,

•

Nazwy mogą zawierać tylko duże i małe litery alfabetu angielskiego oraz
cyfry i podkreślnik (shift minus) ale muszą zaczynać się od litery.

•

Mathcad rozróżnia duże i małe litery ! A więc nie dziwmy się kiedy
podstawimy "SILA:=5" że zmienne "sila" oraz "Sila" są nieokreślone.

•

Wszystkie znaki w nazwie zmiennej muszą mieć ten sam format (m.in.
rodzaj i wielkość czcionki). Mathcad 2001 rozróżnia zmienne napisane
różnymi czcionkami

•

Nazwy zmiennych muszą być różne od nazw funkcji oraz nazw stałych
Mathcad'a i nazw jednostek miar. Lepiej używać nazw wieloliterowych na
przykład "masa1", "masa2" lub nazw z numerkami m1, m2 i.tp.
a nie "m" bo to oznaczenie metra

•

Nazwy zmiennych skalarnych (t.zn. nie wektorowych i nie indeksowanych)
mogą mieć u dołu oznaczenie przy wpisywaniu poprzedzane kropką (np.:

H.max

da na ekranie

H

max

).

Takie dolne oznaczenie nie jest indeksem

przyjmującym wartości liczbowe i jeśli miałoby się nam mylić z indeksami
to lepiej go nie stosować (np.: napisać Hmax).

24

Stałe i zmienne wbudowane

13

25

Wpisywanie wyrażeń matematycznych

•

W wyrażeniach można używać nawiasów ale tylko okrągłych.
Mathcad dopasuje na ekranie ich wielkość i kształt do danego wyrażenia.

•

Można uniknąć pisania nawiasów przez odpowiednie poszerzenie
- klawiszem SPACJA - obszaru zaznaczonego niebieską pół-ramką czyli
kursorem edycji.
Przykład: Chcemy napisać

możemy to zrobić albo z użyciem nawiasów: ((x+y)/p)+q albo powiększając
w odpowiednich miejscach obszar zaznaczony niebieskimi liniami edycji:

26

Składnia wyrażeń matematycznych c.d.

Mimo podobieństwa do swobodnego zapisu matematycznego w Mathcadzie

obowiązują pewne reguły (języka formalnego) zapewniające jednoznaczność
zapisu a odbiegające od "niechlujnych" przyzwyczajeń matematyków, a
mianowicie:

•

nie wolno pomijać znaku mnożenia

•

argumenty funkcji muszą być w nawiasach np.:

sin(X) a nie sinX

•

wykładnik potęgi nie może być pisany przy nazwie funkcji posiadającej

argumenty np.: nie wolno pisać

sin

2

(x)

a należy pisać:

sin(x)

2

lub (sin(x))

2

14

27

Wstawianie funkcji z wykazu

wywołanego przyciskiem

f(x)

lub z menu

Insert Function

.

W oknie pojawi się objaśnienie.

28

Ważniejsze kategorie funkcji Mathcad’a

(z HELP’u)

•

Podstawowe matematyczne

•

Trygonometryczne

•

Wykładnicze i logarytmiczne

•

Zaokrąglania

•

Wyszukiwania

•

Statystyczne

•

Operowania na tekstach

•

Wektorowe i macierzowe

•

Przekształceń symbolicznych

•

Bessel'a

•

Zmiennej zespolonej

•

Warunkowe

•

Transformacji współrzędnych

•

Dopasowania krzywych

•

Analizy danych

•

Impulsowe

•

Transformacji dyskretnych

•

Rozkładów prawdopodobieństwa

•

Rozwiązywania równań
algebraicznych

•

Rozwiązywania równań
różniczkowych

•

Dostępu do plików dyskowych

•

Finansowe

•

Optymalizacji

•

Histogramy

•

Hiperboliczne

•

Interpolacji

•

Operowania na obrazach

15

29

Nazwa funkcji?

czy nazwa zmiennej?

• Po nazwie funkcji zawsze występują nawiasy okrągłe a

w nich: argumenty funkcji

• Liczba i kolejność (oraz znaczenie) argumentów są

takie jak w opisie (funkcji wbudowanej) lub jak w
definicji funkcji (zdefiniowanej przez użytkownika)

Przykład:

moja_funkcja(x,y):= 3*sin(2*x)+log(4*y)

30

Typy regionów matematycznych

Aby Mathcad mógł realizować obliczenia musi rozpoznawać polecenia jakie mu wydajemy.
Dlatego musimy wpisywać tylko

dopuszczalne typy regionów matematycznych

przedstawione poniżej, a ich budowa mysi być zgodna z regułami Mathcad’a

16

31

Instrukcja „wyświetl wartość”

zwykły znak

=

umieszczony po nazwie zmiennej lub po wyrażeniu

jest dla Mathcad’a rozkazem:

„wyświetl aktualną wartość”

Zmienne występujące po lewej stronie muszą mieć już

nadane wartości. Na przykład gdy poprzednio wpisano:

To po wpisaniu

z=

Mathcad wyświetli obliczoną wartość

z

32

Nadawanie wartości zmiennym lokalnym

Lokalna definicja zmiennej:

zmienna := wyrażenie

oblicza wartość

wyrażenia

i podstawia tą wartość do

zmiennej

a zmienna ta

będzie dostępna

dla następnych instrukcji

. Wymusza to

porządek

.

W najprostszych przypadkach wyrażenie może być pojedynczą

liczbą

lub

zmienną

.

Przykłady:

UWAGA: W tego typu definicjach ważna jest kolejność. Mathcad nie zna w

danym miejscu zmiennych które nie określono

wcześniej

czyli powyżej lub

na lewo od tego miejsca i sygnalizuje to. A więc po zmianie kolejności
mamy:

17

33

Wstawianie jednostek miar:

wartość liczbowa jest mnożona przez jednostkę miary

34

Nadawanie wartości zmiennym globalnym

zmienna

≡

≡

≡

≡

wyrażenie

Znak

≡

≡

≡

≡

nadaje wartość zmiennej globalnej, która będzie

dostępna w całym dokumencie

• Definicje globalne są wykonywane w pierwszym przebiegu to

znaczy przed wszystkimi definicjami lokalnymi (zawierającymi :=)

• W drugim przebiegu wykonywane są wszystkie definicje zarówno

lokalne jak i globalne.

• Globalne definicje używane bywają na przykład do definiowania

nowych jednostek miar a także w przypadkach gdy dane chcemy
umieścić nie na początku lecz na końcu dokumentu

18

35

Zmienne zakresowe

- to pomocnicze zmienne, które mogą być używane tylko jako:

a) indeksy

(gdy mają wartości całkowite, nieujemne)

- w definicjach

zmiennych indeksowanych,
np.:

i := 1.. 5 X

i

:= 2

⋅⋅⋅⋅

i - 1

b) argumenty funkcji

- w definicjach funkcji oraz na wykresach.

Zmienne zakresowe

przechowują

ciągi

typu „

postęp arytmetyczny

”.

36

Ciągi: definiowanie zmiennych zakresowych

Definicja zm. zakresowej wpisywana z klawiatury ma składnię:

Na ekranie zamiast dwukropka [:] pojawi się [

:=

] a zamiast

ś

rednika [

;

] pojawią się dwie kropki [

..

]

Ten sam symbol [

..

] można wstawić z palety macierzowej gdzie

oznaczony jest jako[

m..n

] a NIE wolno klawiszem kropki

Jeśli pominiemy drugi element to domyślnie będzie
przyjęty przyrost równy 1

19

37

Indeksy i zmienne indeksowane (ciągi)

Przykład: zdefiniuj ciąg (wektor) C

1

, C

2

, ...

zawierający siedem kolejnych liczb nieparzystych:

Mathcad domyślnie numeruje elementy OD ZERA

bo wbudowana zmienna ORIGIN = 0

38

Wektory i Macierze

Nazwy wektorów i macierzy tworzone są według tych samych

reguł co nazwy innych zmiennych (litery angielskie i cyfry,
rozróżnianie są duże i małe litery)

Wartości elementów wektorów i macierzy można:

• 1) wpisywać bezpośrednio do macierzy

• 2) definiować jako zmienne indeksowane

(po ustaleniu ORIGIN :=1)

– a) wzorem zawierającym indeksy

– b) wpisując wartości oddzielane przecinkami

• 3) wczytywać z plików dyskowych

20

39

Definiowanie wektora jako zmiennej

indeksowanej

Mathcad domyślnie numeruje elementy wektorów i macierzy od ZERA

Aby numerował od 1 należy zmienić wartość zmiennej ORIGIN na 1

40

ORIGIN i zmienne wbudowane

Zmienna ORIGIN określa minimalną wartość indeksu:

zero

lub

jeden

Wartości zmiennych wbudowanych (Buit-in) można zmieniać:

21

41

Zmienna zakresowa jako argument funkcji

(Przy sporządzaniu tabel wartości oraz wykresów)

Przykład:

42

Wykresy typu XY

Zanim wstawisz wykres (z palety), przygotuj:

• dla osi x (poziomej): ciąg wartości zmiennej niezależnej

• dla osi y (pionowej): zdefiniuj funkcję lub możesz zamiast tego

wpisać wyrażenie bezpośrednio przy osi wykresu. Poniżej masz
oba sposoby

• Dla kilku wykresów: oddzielaj przecinkiem ich wzory przy osi y

22

43

Tworzenie wykresu X-Y

Tworzenie dowolnego wykresu typu XY - dla danego wyrażenia

lub funkcji - warto wykonywać według następujących kroków:

•

Określić zakres np.:

Xmin, Xmax -

dla zmiennej niezależnej.

•

Wyznaczyć przyrost zmiennej niezależnej np.:

Dx

, tak aby otrzymać zawsze 100

(lub 200) punktów wykresu, niezależnie od danych:

Dx := (Xmax-Xmin)/100

•

Zdefiniować, na podstawie

Xmin, Xmax, Dx

, ciąg wartości zmiennej

niezależnej

X

- jako zmiennej zakresowej:

X=Xmin,Xmin+Dx .. Xmax

•

Wstawić szablon wykresu (z palety wykresów Graph) i wpisać w środkowe
znaczniki przy osiach odpowiednio”: zmienną niezależną oraz funkcję lub
wyrażenie. Jeśli konieczne jest poszerzenie lub zawężenie przedziałów na osiach
to można (po kliknięciu wykresu) wpisać ich dolne i górne granice.

•

Powiększyć wykres myszką

•

Sformatować wykres, po podwójnym kliknięciu (

Grid Lines, Axes style Crossed, ...)

Gdy ma być kilka wykresów w jednym układzie to przy każdej z osi można wpisać

kilka wyrażeń oddzielanych przecinkami

44

Argumenty funkcji trygonometrycznych

Jeśli nie podasz jednostek to Mathcad domyślnie przyjmie, że

argumenty te są w RADIANACH. Przykład: oblicz sin 30 stopni

23

45

Wykres funkcji sinus

Należy pamiętać o jednostkach kątów

oraz o formatowaniu wykresów