Strona 1

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

Definicja intuicyjna:
Pochodna funkcji opisuje szybkość zmian
wartości funkcji względem szybkości
zmian jej argumentów.

Pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Pochodna funkcji)

Pochodna – narzędzie analizy matematycznej służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji
przy zmianie jej argumentów. Proces odnajdywania pochodnej nazywa się różniczkowaniem, a dział
matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

Spis treści

1 Definicja

1.1 Przykład

2 Interpretacja geometryczna
3 Przykład interpretacji fizycznej
4 Różniczkowalność w zbiorze
5 Druga i dalsze pochodne

5.1 Klasa

6 Własności

6.1 Podstawowe wzory
6.2 Pochodne funkcji elementarnych

7 Zastosowania
8 Pochodna cząstkowa
9 Uogólnienia
10 Zobacz też
11 Linki zewnętrzne

Definicja

Niech

będzie przedziałem otwartym i funkcja

.

Jeśli dla pewnego

istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

to mówimy, że

jest różniczkowalna w punkcie

. Z kolei punkt

nazywamy punktem różniczkowalności funkcji .

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji

w punkcie

i oznaczamy symbolem

. Czasem używa się też symboli:

Stosowane są również inne oznaczenia.

Przykład

Niech

W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej

w dowolnym punkcie

.

Interpretacja geometryczna

Strona 2

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność

w punkcie

oznacza istnienie stycznej do wykresu

w

punkcie

nierównoległej do osi

, zaś wartość

jest współczynnikiem kierunkowym tej

prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi

).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji
(duża pochodna – stromy wykres, niewielka pochodna – wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna
– wykres opadający itp.).

Przykład interpretacji fizycznej

Niech ciało porusza się wzdłuż prostej. Wtedy współrzędna

tego ciała jest funkcją czasu. Iloraz różnicowy wynosi

. Przedstawia on prędkość średnią tego ruchu między chwilą

i chwilą

.

Granicę właściwą tego ilorazu, gdy

, nazywamy pochodną w punkcie

, i jest ona prędkością chwilową

tego ciała w chwili

:

Oczywiście, tu prędkość trzeba rozumieć tak, że może ona być też ujemna; znak zależy od kierunku ruchu.

Różniczkowalność w zbiorze

Jeśli dziedziną funkcji

jest zbiór otwarty

i jeśli

ma pochodną we wszystkich punktach tego zbioru, to

nazywamy funkcją różniczkowalną

na zbiorze

, a funkcję

, która każdej liczbie

przyporządkowuje liczbę

, nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną)

funkcji

na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli

jest funkcją

drogi od czasu, to jej pochodna

jest prędkością chwilową.

Jeśli

jest funkcją prędkości od czasu, to

jest przyspieszeniem.

Druga i dalsze pochodne

Jeżeli pochodna

funkcji

jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez

i nazywa pochodną drugiego rzędu

funkcji

lub prościej drugą pochodną funkcji .

Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu primami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej
włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

albo arabskimi – jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą jej stopień ujmuje się w nawiasy:

Zgodnie z tą konwencją, samą funkcję

oznacza się czasem jako jej własną "pochodną zerową":

W równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się również kropkami nad funkcją (zmienną w równaniach różniczkowych):

itp.

Dla funkcji

liczbę

nazywamy rzędem pochodnej.

O funkcji, która ma drugą pochodną (w punkcie lub w przedziale), mówimy, że jest dwukrotnie różniczkowalna (odpowiednio w punkcie lub
przedziale). Podobnie dla dalszych pochodnych. Ogólnie, jeżeli dla funkcji

istnieje

na pewnym zbiorze otwartym, to nazywamy ją n-krotnie

różniczkowalną na tym zbiorze.

Klasa

Strona 3

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

Jeżeli funkcja

w zbiorze otwartym

jest n-krotnie różniczkowalna, a jej n-ta pochodna

jest ciągła na

, to

nazywamy funkcją klasy

.

Funkcje klasy

to funkcje, które mają pochodne dowolnego rzędu. Natomiast funkcje klasy C

ω

to funkcje analityczne.

Własności

Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
Funkcja różniczkowalna w

jest w tym punkcie ciągła.

Podstawowe wzory

Niech

będą różniczkowalne na zbiorze otwartym

, zaś

będzie ustalonym skalarem (tzw. stałą). Zachodzą wtedy poniższe

wzory:

Funkcja

Pochodna

Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze

.

W tym wypadku zakładamy, że

jest różniczkowalna na

oraz

jest różniczkowalna na

.

Warto zauważyć, że pojęcie pochodnej wprowadzane jest nie tylko dla funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych i, na przykład, dla
funkcji o argumentach i wartościach zespolonych powyższe wzory są też poprawne.

Pochodne funkcji elementarnych

Strona 4

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

W tabelce poniżej x to zawsze zmienna, a wszystkie inne litery to stałe.

Strona 5

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

Funkcja

Pochodna

Uwagi

Strona 6

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

Dla n = 1 wzór jest też poprawny, ale z wyjątkiem punktu x = 0, w którym pochodna istnieje, ale podany wzór nie jest określony.

W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast

także w dziedzinie zespolonej.

Zastosowania

Pochodne funkcji mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej
otrzymać można informacje o bardziej złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:

matematyka – badania przebiegu zmienności funkcji, w tym szukanie jej ekstremów:

monotoniczność funkcji – jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to
funkcja w tym przedziale jest rosnąca; z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje
wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca; podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne,
funkcja jest w przedziale niemalejąca; a jeśli niedodatnie – nierosnąca;
punkt, w którym pochodna jest równa zeru lub nie istnieje, jest punktem krytycznym funkcji, i ekstrema funkcji szuka się pomiędzy
takimi punktami;
wypukłość funkcji – o ile w danym przedziale istnieje druga pochodna i jest ona nieujemna, to funkcja jest wypukła ("wypukła w dół"),
gdy jest niedodatnia, to funkcja jest wklęsła ("wypukła w górę");
pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się za pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych;

inne dziedziny:

w fizyce, jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową; druga pochodna położenia
(pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia natomiast to zryw;
w ekonomii, np. jeśli funkcja wyraża koszt w zależności od wielkości produkcji, to jej pochodna jest kosztem marginalnym
(krańcowym);
w informatyce, uczenie sztucznych sieci neuronowych (wyznaczanie/korekcja wartości wag węzłów sieci).

Pochodna cząstkowa

W przypadku funkcji wielu zmiennych można obliczyć jej tzw. pochodną cząstkową, czyli pochodną funkcji względem jednej ze zmiennych przy
ustaleniu pozostałych. Pochodną cząstkową funkcji f po zmiennej x oznacza się symbolami:

Pochodną cząstkową funkcji f po zmiennej a

k

w punkcie

definiuje się jako:

o ile granica ta istnieje.

Uogólnienia

Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej pochodna to operator liniowy. Pojęcie pochodnej uogólnia się m.in. na przestrzenie unormowane.

Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki
różniczka

Strona 7

Pochodna – Wikipedia, wolna encyklopedia

2011-01-28 21:28:05

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji

całka
regularność funkcji
wzór Taylora
pochodna kierunkowa
pochodna Diniego
pochodna Gâteaux
twierdzenie Radona-Nikodýma
słaba pochodna
funkcja holomorficzna

Linki zewnętrzne

Profesjonalny internetowy kalkulator pochodnych (http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en)

(

ang.

)

Ź

ródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna”

Kategoria: Pochodne

Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 22:54, 3 sty 2011. Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych
warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.

Zasady ochrony prywatności O Wikipedii Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność