Kolokwium nr 2 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dany jest rozk lad zmiennej losowej X

X

:

x

i

-2

-1

0

2

p

i

0.1

0.3

0.4

0.2

Wyznaczy´c:

a) rozk lad p-stwa zmiennej losowej Y = X

2

b) dystrybuant¸e zmiennej losowej Y oraz narysowa´c jej wykres

c) P (Y ≥

1
2

), korzystaj¸ac z funkcji p-stwa oraz z dystrybuanty

d) EY oraz E(2Y − 1)

Zad.2. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c zbi´

or tych x ∈ R, dla kt´orych szereg

∞

P

n

=0

x

2n+1

(−9)

n

(2n+1)

jest zbie˙zny (ustali´c tak˙ze rodzaj zbie˙zno´sci). Poda´c promie´

n zbie˙zno´sci tego szeregu oraz obliczy´c jego sum¸e

wewn¸atrz przedzia lu zbie˙zno´sci.

Zad.3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Dana jest funkcja f (x) = xe

−x

3

.

a) Funkcj¸e f (x) rozwin¸a´c w szereg Maclaurina.

b) Obliczy´c f

(61)

(0).

c) Ca lk¸e

1
2

R

0

xe

−x

3

dx

obliczy´c w przybli˙zeniu z dok ladno´sci¸a do 0.01.

Zad.4. [4p+4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c kryterium por´ownawcze zbie˙zno´sci szeregu a nast¸epnie korzystaj¸ac z tego kryterium wykaza´c, ˙ze

∞

P

n

=1

sin

1

n

tg

1

n

jest zbie˙zny.

b) Poda´c warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu oraz sprawdzi´c, czy zbie˙zny jest szereg

∞

P

n

=1

cos(

√

n

+1−

√

n

n

).